线性代数全览¶
从大一到博士——全面系统的线性代数知识库
关于本站¶
本站是一个全面、系统、自包含的线性代数知识库，涵盖从本科大一基础课程到博士研究生阶段的所有核心线性代数内容。无论你是初学者还是研究者，都可以在这里找到所需的知识。
本站内容按照难度递进、逻辑连贯的方式组织为九个部分，共 70+ 章。每章包含完整的定义、定理、证明和例题，力求做到内容严谨、叙述清晰。
内容导航¶
第一部分：基础线性代数 本科基础¶
适合大一、大二学生，涵盖线性代数入门课程的全部核心内容。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 0 章 多项式代数 | 多项式环、整除理论、最大公因式、不可约分解 |
| 第 1 章 线性方程组 | 线性方程组的求解、高斯消元法、解的结构 |
| 第 2 章 矩阵与矩阵运算 | 矩阵运算、逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、矩阵的秩 |
| 第 3 章 行列式 | 行列式的定义与性质、展开定理、Cramer 法则 |
| 第 4 章 向量空间 | 向量空间公理、子空间、基与维数、秩-零化度定理 |
| 第 5 章 线性变换 | 线性映射、核与像、矩阵表示、基变换 |
| 第 6 章 特征值与特征向量 | 特征多项式、对角化、Cayley-Hamilton 定理 |
| 第 7 章 正交性与最小二乘 | 正交集、Gram-Schmidt、正交投影、最小二乘法 |
第二部分：中级线性代数 本科进阶¶
适合大二至大四学生以及研究生初级阶段，深入探讨线性代数的核心理论。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 8 章 内积空间 | 一般内积空间、正交补、伴随算子、谱定理 |
| 第 9 章 二次型与双线性型 | 二次型、双线性型、辛空间、Hermite 型 |
| 第 10 章 矩阵分解 | LU、Cholesky、QR、Schur 分解 |
| 第 11 章 奇异值分解 | SVD 的理论与应用、低秩近似、伪逆 |
| 第 12 章 Jordan 标准形 | 广义特征向量、Jordan 块、最小多项式 |
| 第 13 章 矩阵函数 | 矩阵指数、矩阵对数、矩阵幂级数 |
| 第 13A 章 商空间与对偶空间 | 商空间、对偶空间、零化子、转置映射、自然同构 |
| 第 13B 章 λ-矩阵与有理标准形 | λ-矩阵、Smith 标准形、不变因子、有理标准形 |
第三部分：高级线性代数 研究生¶
适合硕士及博士研究生，涵盖矩阵分析与高级理论。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 14 章 矩阵分析 | 矩阵序列与级数、谱半径、Gershgorin 定理 |
| 第 15 章 范数与扰动理论 | 矩阵范数、条件数、特征值扰动 |
| 第 16 章 正定矩阵 | 正定矩阵的等价条件、Schur 补、Löwner 偏序 |
| 第 17 章 非负矩阵与 Perron-Frobenius 理论 | Perron-Frobenius 定理、不可约矩阵、随机矩阵 |
| 第 18 章 矩阵不等式 | 特征值不等式、迹不等式、行列式不等式、Majorization |
| 第 19 章 Kronecker 积与 Vec 算子 | Kronecker 积、Vec 算子及其在矩阵方程中的应用 |
| 第 20 章 矩阵方程 | Sylvester 方程、Lyapunov 方程、Riccati 方程 |
第四部分：专题研究 博士¶
面向博士研究生和研究者，介绍线性代数的前沿专题。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 21 章 多线性代数与张量 | 对偶空间、张量积、外代数、张量分解 |
| 第 22 章 数值线性代数 | 迭代法、Krylov 子空间、数值稳定性 |
| 第 23 章 随机矩阵初步 | Wigner 半圆律、Marchenko-Pastur 律、特征值分布 |
| 第 24 章 矩阵流形 | Stiefel 流形、Grassmann 流形、矩阵 Lie 群 |
第五部分：应用专题 跨学科¶
线性代数在各学科中的核心应用。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 25 章 线性代数在优化中的应用 | 半定规划、矩阵补全、压缩感知、PCA |
| 第 26 章 线性代数在微分方程中的应用 | 线性 ODE 系统、矩阵指数、稳定性分析 |
| 第 27 章 线性代数在图论与网络中的应用 | 谱图论、Laplacian、PageRank、扩展图 |
| 第 28 章 线性代数在量子信息中的应用 | 量子态、酉变换、纠缠、量子信道 |
| 第 29 章 线性代数在统计与机器学习中的应用 | PCA、回归、核方法、降维 |
| 第 30 章 线性代数在信号处理与编码中的应用 | DFT、压缩感知、纠错编码、小波变换 |
第六部分：矩阵理论专题 研究生/博士¶
矩阵理论中的经典专题，涵盖 Horn & Johnson、Bhatia 等权威著作中的核心内容。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 31 章 Majorization 与双随机矩阵 | 向量 majorization、Hardy-Littlewood-Pólya 定理、Birkhoff 定理、Schur-Horn 定理 |
| 第 32 章 数值域与数值半径 | 数值域 \(W(A)\)、Toeplitz-Hausdorff 凸性定理、数值半径、高阶数值域 |
| 第 33 章 广义逆 | Moore-Penrose 逆、Drazin 逆、群逆、Penrose 条件 |
| 第 34 章 Schur 补 | 块消元、行列式公式、Sherman-Morrison-Woodbury 公式、正定判定 |
| 第 35 章 Hadamard 积 | Schur 积定理、Oppenheim 不等式、Hadamard 不等式、正映射 |
| 第 36 章 矩阵稳定性与惯性 | Hurwitz 矩阵、Routh-Hurwitz 准则、惯性定理、D-稳定性 |
| 第 37 章 结构化矩阵 | Toeplitz、Hankel、循环矩阵、Vandermonde、位移结构 |
| 第 38 章 特殊矩阵类 | M-矩阵、Z-矩阵、P-矩阵、H-矩阵、逆正矩阵 |
| 第 39 章 全正矩阵 | 全正/全非负矩阵、振荡矩阵、双对角分解 |
| 第 40 章 永久式与 Immanant | 永久式、Van der Waerden 猜想、#P-完全性、Immanant |
| 第 41 章 矩阵束与 Kronecker 标准形 | 广义特征值、正则/奇异束、Kronecker 标准形、QZ 算法 |
| 第 42 章 不变子空间与扰动 | 不变子空间格、Davis-Kahan sin Θ 定理、谱投影扰动 |
| 第 43 章 伪谱与非正规矩阵分析 | ε-伪谱、Kreiss 矩阵定理、瞬态增长 |
| 第 44 章 Weyr 标准形 | Weyr 特征、与 Jordan 形的对偶、中心化子代数 |
| 第 45 章 完全正矩阵与共正矩阵 | 完全正锥、共正锥、对偶关系、共正规划 |
| 第 46 章 算子单调函数与矩阵均值 | Löwner 定理、算子凸/凹函数、Kubo-Ando 矩阵均值 |
| 第 47 章 矩阵微积分与 Fréchet 导数 | 矩阵求导、布局约定、Fréchet 导数、条件数 |
第七部分：代数结构与推广 博士/研究¶
线性代数的代数基础与结构推广。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 48 章 主理想整环上的模 | 模的结构定理、不变因子、初等因子、统一推导 Jordan 形与有理标准形 |
| 第 49 章 外代数与 Grassmannian | 楔积、外幂空间、复合矩阵、Grassmannian、Plücker 坐标 |
| 第 50 章 Clifford 代数与几何代数 | 几何积、旋量、Spin 群、Bott 周期性 |
| 第 51 章 四元数矩阵 | 四元数代数、左/右特征值、四元数 SVD、旋转表示 |
| 第 52 章 有限域上的线性代数 | \(\mathrm{GF}(q)\) 上的向量空间、Gauss 二项式、\(\mathrm{GL}(n,q)\)、线性码 |
| 第 53 章 辛矩阵与 Hamilton 矩阵 | 辛群 \(\mathrm{Sp}(2n)\)、Hamilton 矩阵、Williamson 定理、辛积分器 |
| 第 54 章 Quiver 表示 | Quiver 的表示、Gabriel 定理、Dynkin 图、持久同调 |
| 第 55 章 矩阵群与经典 Lie 群 | GL、SL、O、SO、U、SU、Sp、Lie 代数、指数映射、BCH 公式 |
| 第 56 章 Pfaffian | Pfaffian 定义与性质、\(\mathrm{pf}(A)^2=\det(A)\)、FKT 算法、完美匹配 |
第八部分：现代前沿专题 前沿¶
线性代数的现代研究方向与前沿课题。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 57 章 矩阵浓度不等式 | 矩阵 Bernstein/Chernoff/Hoeffding 不等式、内在维度 |
| 第 58 章 非负矩阵分解 | NMF 算法（乘性更新、交替最小二乘）、唯一性、非负秩 |
| 第 59 章 热带线性代数 | 热带半环、热带矩阵乘法、热带特征值、最短路径、调度 |
| 第 60 章 线性保持问题 | Frobenius 定理、秩保持、谱保持、正映射 |
| 第 61 章 逆特征值问题 | 对称/非负/Jacobi 逆特征值问题、NIEP |
| 第 62 章 矩阵补全问题 | 正定补全（弦图）、低秩补全、核范数最小化 |
| 第 63 章 联合谱半径与同时三角化 | 联合谱半径、Berger-Wang 定理、切换系统稳定性 |
| 第 64 章 矩阵空间中的凸性 | PSD 锥、双随机多面体、矩阵凸函数、极小极大定理 |
| 第 65 章 组合矩阵论 | 零模式、符号非奇异、最小秩、零强迫、Hadamard 矩阵 |
第九部分：更多应用 跨学科¶
线性代数在更多学科中的应用。
| 章节 | 内容概要 |
|---|---|
| 第 66 章 线性代数在控制理论中的应用 | 状态空间、能控性、能观性、Kalman 分解、极点配置、LQR |
| 第 67 章 线性代数在计算机图形学中的应用 | 齐次坐标、MVP 矩阵、旋转表示、投影、Bézier 曲线 |
| 第 68 章 线性代数在机器人学中的应用 | \(SE(3)\)、旋量理论、正/逆运动学、Jacobi 矩阵 |
| 第 69 章 线性代数在经济学中的应用 | Leontief 模型、Hawkins-Simon 条件、博弈论、线性规划对偶 |
| 第 70 章 线性代数在生物学中的应用 | Leslie 矩阵、房室模型、SEIR 流行病模型、基因调控网络 |
| 第 71 章 Markov 链 | 转移矩阵、稳态分布、混合时间、谱间隙、MCMC、PageRank |
| 第 72 章 矩阵值分布 | Wishart 分布、逆 Wishart、矩阵正态分布、多元分析检验 |
符号约定¶
本站统一使用以下数学符号约定：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}\) | 实数域、复数域、一般数域 |
| \(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^{m \times n}\) | \(n\) 维实向量空间、\(m \times n\) 实矩阵空间 |
| \(A, B, C\) | 矩阵（大写字母） |
| \(\mathbf{v}, \mathbf{u}, \mathbf{w}\) | 向量（粗体小写字母） |
| \(a, b, \lambda, \alpha\) | 标量（小写字母或希腊字母） |
| \(V, W, U\) | 向量空间 |
| \(T, S\) | 线性变换 |
| \(A^T, A^H\) | 转置、共轭转置（Hermitian 转置） |
| \(A^{-1}\) | 逆矩阵 |
| \(\det(A)\) | 行列式 |
| \(\operatorname{tr}(A)\) | 迹 |
| \(\operatorname{rank}(A)\) | 秩 |
| \(\dim(V)\) | 维数 |
| \(\ker(T), \operatorname{im}(T)\) | 核（零空间）、像（值域） |
| \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\) | 内积 |
| \(\|\mathbf{v}\|\) | 范数 |
| \(\sigma_i(A)\) | 第 \(i\) 个奇异值 |
| \(\lambda_i(A)\) | 第 \(i\) 个特征值 |
| \(I_n\) 或 \(I\) | \(n\) 阶单位矩阵 |
| \(O\) | 零矩阵 |
| \(\mathbf{0}\) | 零向量 |
| \(\oplus\) | 直和 |
| \(\otimes\) | 张量积 / Kronecker 积 |
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参考文献¶
本站内容参考了以下经典教材：
- Strang, G. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
- Lay, D.C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson.
- Axler, S. Linear Algebra Done Right. Springer.
- Hoffman, K. & Kunze, R. Linear Algebra. Prentice Hall.
- Horn, R.A. & Johnson, C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press.
- Horn, R.A. & Johnson, C.R. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press.
- Meyer, C.D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM.
- Golub, G.H. & Van Loan, C.F. Matrix Computations. Johns Hopkins University Press.
- Halmos, P.R. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer.
- Lax, P.D. Linear Algebra and Its Applications. Wiley.