第 41 章 矩阵束与 Kronecker 标准形

前置：特征值(Ch6) · Jordan 标准形(Ch12) · \(\lambda\)-矩阵(Ch13B)

本章脉络：矩阵束定义 \(\to\) 正则束与广义特征值 \(\to\) 奇异束 \(\to\) Kronecker 标准形 \(\to\) QZ 算法 \(\to\) 微分代数方程(DAE) \(\to\) Rosenbrock 系统矩阵

延伸：矩阵束理论是微分代数方程（电路模拟中的指标概念）和控制理论（描述子系统）的数学基础；QZ 算法是 LAPACK 中广义特征值问题的标准求解器

标准特征值问题 \(Ax = \lambda x\) 可以视为矩阵束 \(A - \lambda I\) 的研究。当将 \(I\) 替换为一般矩阵 \(B\) 时，就得到了广义特征值问题 \(Ax = \lambda Bx\) 和矩阵束 \(A - \lambda B\)。当 \(B\) 奇异时，矩阵束可能是奇异的——它没有明确定义的特征多项式，其标准形理论远比 Jordan 标准形复杂。Kronecker 在 1890 年建立的标准形理论完整地分类了所有矩阵束，是矩阵论中最精致也是最困难的结果之一。

本章从矩阵束的基本概念出发，经过正则束的 Weierstrass 标准形和奇异束的 Kronecker 块，到达完整的 Kronecker 标准形。然后讨论数值计算中的 QZ 算法以及在微分代数方程和控制理论中的应用。

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41.1 矩阵束的定义

核心问题：什么是矩阵束？正则束与奇异束有何区别？

定义 41.1 (矩阵束)

设 \(A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{C})\)。矩阵束（matrix pencil）\(L(\lambda)\) 定义为 $\(L(\lambda) = A - \lambda B,\)$ 其中 \(\lambda \in \mathbb{C}\) 为参数。当 \(m = n\)（方阵情形）时，可以考虑 \(\det(A - \lambda B)\) 作为 \(\lambda\) 的多项式。

定义 41.2 (正则束与奇异束)

设 \(A, B \in M_n(\mathbb{C})\)（方阵）。矩阵束 \(A - \lambda B\) 称为正则的（regular），若 $\(\det(A - \lambda B) \not\equiv 0\)$ （即 \(\det(A - \lambda B)\) 作为 \(\lambda\) 的多项式不恒等于零）。否则称为奇异的（singular）。

对于长方矩阵束（\(m \ne n\)），束总是奇异的（因为没有方阵行列式）。

例 41.1

(a) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)，\(B = I\)：\(\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(2-\lambda)\)，这是标准特征值问题，正则束。

(b) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)：\(\det(A - \lambda B) = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix} = -\lambda\)，正则束。

(c) \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)：\(\det(A - \lambda B) = 0\) 对所有 \(\lambda\)，奇异束。

(d) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)：\(3 \times 2\) 长方束，奇异。

定义 41.3 (广义特征值)

设 \(A - \lambda B\) 为 \(n \times n\) 正则束。\(\lambda_0 \in \mathbb{C}\) 称为 \(A - \lambda B\) 的有限广义特征值，若 \(\det(A - \lambda_0 B) = 0\)。若 \(\det(B) = 0\) 但 \(\det(A - \lambda B) \not\equiv 0\)，则称束有无穷广义特征值。

更精确地说，可以使用齐次坐标 \((\alpha, \beta)\)：\((\alpha_0, \beta_0)\) 为广义特征对，若 \(\det(\beta_0 A - \alpha_0 B) = 0\)。有限特征值对应 \(\beta_0 \ne 0\)（\(\lambda = \alpha_0/\beta_0\)），无穷特征值对应 \(\beta_0 = 0\)（\(\alpha_0 \ne 0\)）。

定义 41.4 (严格等价)

两个 \(m \times n\) 矩阵束 \(A_1 - \lambda B_1\) 和 \(A_2 - \lambda B_2\) 称为严格等价的（strictly equivalent），若存在非奇异矩阵 \(P \in GL_m(\mathbb{C})\)，\(Q \in GL_n(\mathbb{C})\)，使得 $\(P(A_1 - \lambda B_1)Q = A_2 - \lambda B_2,\)$ 即 \(PA_1 Q = A_2\) 且 \(PB_1 Q = B_2\)。

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41.2 正则束与广义特征值

核心问题：正则束的标准形是什么？如何处理无穷特征值？

定理 41.1 (Weierstrass 标准形)

设 \(A - \lambda B\) 为 \(n \times n\) 正则束。则存在非奇异矩阵 \(P, Q \in GL_n(\mathbb{C})\) 使得 $\(P(A - \lambda B)Q = \begin{pmatrix} J - \lambda I_r & 0 \\ 0 & I_s - \lambda N \end{pmatrix},\)$ 其中：

• \(J \in M_r(\mathbb{C})\) 为 Jordan 标准形，对角块对应有限广义特征值 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\)；
• \(N \in M_s(\mathbb{C})\) 为幂零 Jordan 矩阵（所有对角元为 0），对应无穷广义特征值；
• \(r + s = n\)。

此标准形在块的排列顺序外是唯一的。

证明（概要）

步骤一：由 \(A - \lambda B\) 正则，\(\det(A - \lambda B)\) 不恒为零。设 \(d = \deg(\det(A-\lambda B)) = r\)，则 \(A - \lambda B\) 有 \(r\) 个有限特征值（计重数）。

步骤二：选取 \(\mu \notin \sigma(A,B)\)（不是广义特征值），则 \(A - \mu B\) 非奇异。令 \(C = (A - \mu B)^{-1}B\)。标准特征值问题 \(Cx = \lambda' x\) 的特征值 \(\lambda'\) 与广义特征值 \(\lambda\) 的关系为 \(\lambda' = 1/(\lambda - \mu)\)（有限特征值）或 \(\lambda' = 0\)（\(\lambda = \infty\)）。

步骤三：\(C\) 的 Jordan 形为 \(C = S \begin{pmatrix} J_f & 0 \\ 0 & N \end{pmatrix} S^{-1}\)，其中 \(J_f\) 对应非零特征值（有限广义特征值），\(N\) 为幂零部分（无穷广义特征值）。

步骤四：通过适当选取 \(P, Q\)（利用 \(S\) 和 \((A-\mu B)^{-1}\)），将 \(A - \lambda B\) 化为 Weierstrass 形式。

例 41.2

矩阵束 \(A - \lambda B\)，\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)。

\(\det(A - \lambda B) = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 0 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2\)。

有限特征值 \(\lambda = 0\)（代数重数 2）。\(\deg(\det) = 2 < n = 3\)，故有 1 个无穷特征值。

Weierstrass 形式：\(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)（\(\lambda = 0\) 的 \(2 \times 2\) Jordan 块），\(N = (0)\)（\(1 \times 1\) 幂零块）。

\[\text{Weierstrass 形} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

定理 41.2 (正则束的 Smith 标准形)

正则束 \(A - \lambda B\) 的Smith 标准形为 $\(\operatorname{diag}(d_1(\lambda), d_2(\lambda), \ldots, d_r(\lambda), 0, \ldots, 0),\)$ 其中 \(d_i(\lambda)\) 为首一多项式，\(d_i | d_{i+1}\)，\(r = \operatorname{rank}(A - \lambda B)\)（作为 \(\mathbb{C}(\lambda)\) 上矩阵的秩）。\(d_i\) 称为不变因子。

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41.3 奇异束与最小指标

核心问题：奇异束的结构如何描述？什么是"最小指标"？

定义 41.5 (列最小指标)

设 \(L(\lambda) = A - \lambda B\) 为 \(m \times n\) 矩阵束（\(m \le n\) 或 \(m > n\)），束是奇异的。\(L(\lambda)\) 的右（列）零空间定义为 $\(\mathcal{N}_r(\lambda) = \{x(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]^n : L(\lambda) x(\lambda) = 0\}.\)$ 即所有使 \(L(\lambda)x(\lambda) = 0\) 的多项式向量 \(x(\lambda)\)。

\(\mathcal{N}_r(\lambda)\) 中非零元素的最低次数的向量称为最小基向量。右最小指标 \(\varepsilon_1 \le \varepsilon_2 \le \cdots \le \varepsilon_p\) 是最小基中各基向量的次数。

定义 41.6 (行最小指标)

类似地，\(L(\lambda)\) 的左（行）零空间为 $\(\mathcal{N}_l(\lambda) = \{y(\lambda)^T \in \mathbb{C}[\lambda]^{1 \times m} : y(\lambda)^T L(\lambda) = 0\}.\)$ 左最小指标 \(\eta_1 \le \eta_2 \le \cdots \le \eta_q\) 是左最小基中各基向量的次数。

例 41.3

\(L(\lambda) = \begin{pmatrix} 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}\)（\(2 \times 3\) 束）。

右零空间：解 \(L(\lambda)x(\lambda) = 0\)：\(x_1 = \lambda x_2\)，\(x_2 = \lambda x_3\)。取 \(x_3 = 1\)，得 \(x(\lambda) = (\lambda^2, \lambda, 1)^T\)。最低次数为 2，右最小指标 \(\varepsilon_1 = 2\)。

左零空间：解 \(y^T L = 0\)：\(y_1 = 0\)，\(-\lambda y_1 + y_2 = 0\)，\(-\lambda y_2 = 0\)。故 \(y = 0\)，没有非平凡左零向量。左最小指标为空集（\(q = 0\)）。

定理 41.3 (最小指标的维数关系)

设 \(L(\lambda)\) 为 \(m \times n\) 矩阵束，\(r = \operatorname{rank}(L(\lambda))\)（作为 \(\mathbb{C}(\lambda)\) 上矩阵的秩）。则右最小指标的个数 \(p = n - r\)，左最小指标的个数 \(q = m - r\)。

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41.4 Kronecker 标准形

核心问题：任意矩阵束在严格等价下的完全标准形是什么？

定义 41.7 (Kronecker 块)

定义以下标准块：

(a) 右 Kronecker 块 \(L_\varepsilon\)（\(\varepsilon \times (\varepsilon+1)\)）： $\(L_\varepsilon = \begin{pmatrix} 1 & -\lambda & & & \\ & 1 & -\lambda & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & -\lambda \end{pmatrix} \in M_{\varepsilon \times (\varepsilon+1)}.\)$ 特别地，\(L_0 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\)（\(0 \times 1\) 没有意义——约定 \(L_0\) 为 \(1 \times 2\) 矩阵 \((1, -\lambda)\)）。

修正：\(L_\varepsilon\) 的尺寸为 \(\varepsilon \times (\varepsilon + 1)\)（\(\varepsilon \ge 1\)），当 \(\varepsilon = 0\) 时 \(L_0\) 为空块（不出现）。

(b) 左 Kronecker 块 \(L_\eta^T\)（\((\eta+1) \times \eta\)）：\(L_\eta\) 的转置。

(c) Jordan 块 \(J_k(\lambda_0) - \lambda I_k\)：对应有限特征值 \(\lambda_0\)。

(d) 无穷 Jordan 块 \(I_k - \lambda N_k\)：其中 \(N_k\) 为 \(k \times k\) 幂零 Jordan 块。

定理 41.4 (Kronecker 标准形)

任何 \(m \times n\) 矩阵束 \(A - \lambda B\) 在严格等价下可以化为唯一的（块的顺序除外）标准形： $\(P(A - \lambda B)Q = \operatorname{diag}(L_{\varepsilon_1}, \ldots, L_{\varepsilon_p}, L_{\eta_1}^T, \ldots, L_{\eta_q}^T, J_{k_1}(\lambda_1) - \lambda I, \ldots, J_{k_s}(\lambda_s) - \lambda I, I_{l_1} - \lambda N_{l_1}, \ldots, I_{l_t} - \lambda N_{l_t}),\)$ 其中：

• \(L_{\varepsilon_i}\)：右 Kronecker 块，\(\varepsilon_1 \le \cdots \le \varepsilon_p\)（右最小指标）；
• \(L_{\eta_j}^T\)：左 Kronecker 块，\(\eta_1 \le \cdots \le \eta_q\)（左最小指标）；
• \(J_{k_i}(\lambda_i) - \lambda I\)：有限特征值的 Jordan 块；
• \(I_{l_j} - \lambda N_{l_j}\)：无穷特征值的 Jordan 块。

矩阵束的完全不变量为：右最小指标 \(\{\varepsilon_i\}\)，左最小指标 \(\{\eta_j\}\)，有限特征值 Jordan 结构 \(\{(\lambda_i, k_i)\}\)，无穷特征值 Jordan 结构 \(\{l_j\}\)。

证明（概要）

证明分为几个阶段：

1. 分离奇异部分和正则部分：通过行列变换，将束化为 $\(\begin{pmatrix} L_{\text{sing}} & 0 \\ 0 & L_{\text{reg}} \end{pmatrix},\)$ 其中 \(L_{\text{reg}}\) 是正则束，\(L_{\text{sing}}\) 是奇异束（\(\det \equiv 0\) 或非方阵）。

2. 正则部分的 Weierstrass 分解：\(L_{\text{reg}}\) 由定理 41.1 化为 Jordan 块和幂零块。

3. 奇异部分的 Kronecker 分解：关键步骤。利用右最小基和左最小基，将 \(L_{\text{sing}}\) 化为右 Kronecker 块 \(L_\varepsilon\) 和左 Kronecker 块 \(L_\eta^T\) 的直和。

唯一性的证明需要证明所有不变量（最小指标、Jordan 结构）在严格等价下不变。这可以通过分析 \(L(\lambda)\) 的 Smith 形式和最小基的代数性质来完成。

例 41.4

\(L(\lambda) = \begin{pmatrix} 1 & -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}\)（\(2 \times 4\) 束）。

这是两个 \(L_1\) 块的直和：\(L_1 = \begin{pmatrix} 1 & -\lambda \end{pmatrix}\)（\(1 \times 2\)）。

Kronecker 标准形为 \(\operatorname{diag}(L_1, L_1)\)。右最小指标 \(\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 1\)，无左最小指标，无有限或无穷特征值。

例 41.5

\(L(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)（\(3 \times 3\) 束）。

\(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)。

\(\det(A - \lambda B) = \det\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0\)。奇异束。

右零空间：\(\lambda x_1 + x_2 = 0\)，\(\lambda x_2 + x_3 = 0\)。取 \(x_1 = 1\)，\(x_2 = -\lambda\)，\(x_3 = \lambda^2\)。最小基为 \((\lambda^2, -\lambda, 1)^T\)，但需要检查是否有更低次的解。\(x_3\) 任意，\(x_2 = -\lambda x_3\)，\(x_1 = -x_2/\lambda = x_3\)（仅当 \(x_2/\lambda\) 为多项式时）。取 \(x_3 = 1\)，\(x_2 = -\lambda\)，\(x_1 = \lambda^2\) 无误——但这是次数 2 的向量。

左零空间：\(y^T L = 0\)：\(\lambda y_1 = 0\)，\(y_1 + \lambda y_2 = 0\)，\(y_2 = 0\)。故 \(y_1 = y_2 = 0\)，\(y_3\) 任意。左最小指标 \(\eta_1 = 0\)。

Kronecker 标准形包含一个 \(L_2\) 块（右最小指标 2）和一个 \(L_0^T\) 块（左最小指标 0，即 \(1 \times 0\) 的空块——实际上 \(L_0^T\) 表示一行额外的方程 \(0 = 0\)）。

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41.5 广义 Schur 分解与 QZ 算法

核心问题：如何用数值稳定的算法计算正则束的广义特征值？

定理 41.5 (广义 Schur 分解)

设 \(A, B \in M_n(\mathbb{C})\)。则存在酉矩阵 \(Q, Z \in M_n(\mathbb{C})\) 使得 $\(QAZ = T_A, \quad QBZ = T_B,\)$ 其中 \(T_A, T_B\) 均为上三角矩阵。广义特征值为 \(\lambda_i = (T_A)_{ii} / (T_B)_{ii}\)（当 \((T_B)_{ii} \ne 0\)）或 \(\infty\)（当 \((T_B)_{ii} = 0\)）。

证明

存在性可以通过同时 Schur 三角化来证明。取 \(\mu\) 使得 \(A - \mu B\) 非奇异，令 \(C = (A - \mu B)^{-1}B\)。对 \(C\) 做 Schur 分解 \(C = U T_C U^*\)。然后取 \(Q = U^*\)，\(Z = U\)，将 \(A\) 和 \(B\) 同时变为上三角形式。

更直接地，使用 QZ 迭代算法（见下文）。

定义 41.8 (QZ 算法)

QZ 算法是 Moler 和 Stewart 在 1973 年提出的计算正则束广义特征值的数值算法。其基本流程为：

阶段一（预处理）： 1. 利用 Householder 变换将 \(B\) 化为上 Hessenberg 形式，同时对 \(A\) 做相应变换。 2. 进一步将 \(A\) 化为上 Hessenberg 形式（同时保持 \(B\) 的上三角性——通过 Givens 旋转）。

阶段二（迭代）： QZ 迭代是 QR 迭代的推广。每步选取位移 \(\mu\)，计算 $\(QR = A - \mu B \quad \text{(QR 分解)},\)$ 然后更新 \(A \leftarrow R Q + \mu B Q\)（等价操作），\(B\) 也做相应更新以保持上三角。

收敛后，\(A\) 和 \(B\) 同时为上三角，对角元之比给出广义特征值。

定理 41.6 (QZ 算法的复杂度与稳定性)

QZ 算法的主要性质：

(a) 预处理阶段：\(O(n^3)\) 次运算。

(b) 迭代阶段：每步 \(O(n^2)\) 次运算，通常收敛很快（\(O(n)\) 步迭代）。

(c) 总复杂度：\(O(n^3)\)。

(d) QZ 算法是数值后向稳定的：计算出的广义特征值是略微扰动后的束 \((A + \delta A) - \lambda(B + \delta B)\) 的精确广义特征值，其中 \(\|\delta A\|, \|\delta B\| = O(\epsilon_{\text{mach}} \|A\|)\)。

例 41.6

计算束 \(A - \lambda B\) 的广义特征值，\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\)。

\(\det(A - \lambda B) = (1-5\lambda)(4-8\lambda) - (2-6\lambda)(3-7\lambda)\) \(= 4 - 8\lambda - 20\lambda + 40\lambda^2 - (6 - 14\lambda - 18\lambda + 42\lambda^2)\) \(= 4 - 28\lambda + 40\lambda^2 - 6 + 32\lambda - 42\lambda^2\) \(= -2\lambda^2 + 4\lambda - 2 = -2(\lambda^2 - 2\lambda + 1) = -2(\lambda - 1)^2\).

广义特征值为 \(\lambda = 1\)（重数 2）。

注记 41.1 (QZ 算法的实现)

QZ 算法在 LAPACK 中由子程序 xGGES（Schur 形式）和 xGGEV（特征值和特征向量）实现。在 MATLAB 中，函数 eig(A, B) 调用 QZ 算法。该算法是工程计算中求解广义特征值问题的标准工具。

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41.6 微分代数方程

核心问题：矩阵束理论如何应用于微分代数方程（DAE）的分析？

定义 41.9 (线性常系数 DAE)

微分代数方程（Differential-Algebraic Equation, DAE）是形如 $\(E\dot{x}(t) = Ax(t) + f(t) \tag{41.1}\)$ 的方程，其中 \(E, A \in M_n(\mathbb{R})\)，\(E\) 可能是奇异的。当 \(E\) 非奇异时，(41.1) 化为标准 ODE \(\dot{x} = E^{-1}Ax + E^{-1}f\)。当 \(E\) 奇异时，(41.1) 包含微分方程和代数约束的混合。

定义 41.10 (DAE 的指标)

线性常系数 DAE (41.1) 的（Kronecker）指标定义为矩阵束 \(E - \lambda A\)（注意顺序！常写为 \(\lambda E - A\) 或 \(sE - A\)）的 Weierstrass 标准形中幂零块 \(N\) 的幂零指标（即 \(N\) 的最大 Jordan 块大小）。

• 指标 0：\(E\) 非奇异（纯 ODE）。
• 指标 1：\(N\) 为对角矩阵（即所有幂零 Jordan 块大小为 1）。
• 指标 \(\nu\)：\(N\) 的最大 Jordan 块大小为 \(\nu\)。

定理 41.7 (DAE 的可解性)

考虑 DAE \(E\dot{x} = Ax + f\)，矩阵束 \(sE - A\) 正则。设 Weierstrass 标准形为 $\(P(sE - A)Q = \begin{pmatrix} sI - J & 0 \\ 0 & sN - I \end{pmatrix}.\)$ 令 \(Qx = \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix}\)，\(P^{-1}f = \begin{pmatrix} g \\ h \end{pmatrix}\)。则 DAE 等价于

\[\dot{y} = Jy + g(t) \tag{ODE 部分}$$ $$N\dot{z} = z + h(t) \tag{代数部分}\]

代数部分的解为 $\(z(t) = -\sum_{k=0}^{\nu-1} N^k h^{(k)}(t),\)$ 其中 \(\nu\) 为 \(N\) 的幂零指标，\(h^{(k)}\) 为 \(h\) 的 \(k\) 阶导数。

因此 DAE 的可解性要求 \(f\)（从而 \(h\)）至少 \(\nu - 1\) 次可微。指标越高，对数据的光滑性要求越高。

证明

ODE 部分 \(\dot{y} = Jy + g\) 的解由标准 ODE 理论给出。

代数部分 \(N\dot{z} = z + h\)，即 \(z = N\dot{z} - h = N(N\ddot{z} - \dot{h}) - h = N^2\ddot{z} - N\dot{h} - h\)。迭代 \(\nu\) 次（\(N^\nu = 0\)），得 $\(z = -h - N\dot{h} - N^2\ddot{h} - \cdots - N^{\nu-1}h^{(\nu-1)}.\)$

例 41.7

电路方程（RC 电路）：\(C\dot{v} = -Gv + Bu\)，其中 \(C\) 为电容矩阵（可能奇异——当电路包含纯电阻支路时），\(G\) 为电导矩阵，\(v\) 为节点电压。

若 \(C\) 奇异，这就是一个 DAE。例如 $\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot{v}_1 \\ \dot{v}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u(t) \\ 0 \end{pmatrix}.\)$

\(E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)。

第二个方程 \(0 = v_1 - v_2\) 是代数约束（\(v_1 = v_2\)）。代入第一个方程 \(\dot{v}_1 = -v_1 + v_1 + u = u\)，即 \(\dot{v}_1 = u\)。

矩阵束 \(sE - A = \begin{pmatrix} s+1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)，\(\det = s + 1 - 1 = s\)。有限特征值 \(s = 0\)，无穷特征值（因为 \(\deg(\det) = 1 < n = 2\)，有 1 个无穷特征值）。指标 1。

注记 41.2 (指标与数值困难)

DAE 的指标直接影响数值方法的选择和难度：

• 指标 1 的 DAE 可以用隐式方法（如 BDF）直接求解，与标准 ODE 类似。
• 指标 2 的 DAE 需要特殊处理（如指标归约或投影方法）。
• 指标 3 或更高的 DAE 在数值上极具挑战性，容易出现漂移（drift off constraint）现象。

电路模拟软件 SPICE 中的方程通常具有指标 1 或 2。多体动力学方程（如机器人或车辆动力学）通常具有指标 3。

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41.7 应用

核心问题：矩阵束理论在控制理论和工程中有哪些重要应用？

定义 41.11 (描述子系统)

描述子系统（descriptor system）是形如 $\(E\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), \quad y(t) = Cx(t) + Du(t)\)$ 的线性系统，其中 \(E\) 可能奇异。当 \(E\) 非奇异时退化为标准状态空间描述。描述子系统的传递函数为 $\(G(s) = C(sE - A)^{-1}B + D.\)$

定理 41.8 (描述子系统的正则性)

描述子系统 \((E, A, B, C, D)\) 有唯一解当且仅当矩阵束 \(sE - A\) 是正则的。此时传递函数 \(G(s)\) 是有理的（rational proper + polynomial part）。

定理 41.9 (多项式特征值问题的线性化)

\(m\) 次多项式特征值问题 $\(P(\lambda)x = (\lambda^m A_m + \lambda^{m-1}A_{m-1} + \cdots + A_0)x = 0\)$ 可以通过伴随线性化（companion linearization）转化为线性矩阵束问题： $\(\begin{pmatrix} A_m & & \\ & I & \\ & & \ddots & \\ & & & I \end{pmatrix}\lambda - \begin{pmatrix} -A_{m-1} & -A_{m-2} & \cdots & -A_0 \\ I & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & & \vdots \\ & & I & 0 \end{pmatrix}.\)$

这将 \(n \times n\) 的 \(m\) 次问题转化为 \(mn \times mn\) 的线性束问题，然后可用 QZ 算法求解。

例 41.8

二次特征值问题（在结构振动分析中常见）： $\((\lambda^2 M + \lambda C + K)x = 0,\)$ 其中 \(M\) 为质量矩阵，\(C\) 为阻尼矩阵，\(K\) 为刚度矩阵。

标准线性化为 $\(\begin{pmatrix} M & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}\lambda\begin{pmatrix} v \\ \lambda v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C & -K \\ I & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v \\ \lambda v \end{pmatrix},\)$ 即 \(\lambda B \tilde{x} = A \tilde{x}\) 的形式，\(2n \times 2n\) 的广义特征值问题。

注记 41.3 (Rosenbrock 系统矩阵)

在控制理论中，Rosenbrock 系统矩阵定义为 $\(S(s) = \begin{pmatrix} sE - A & -B \\ C & D \end{pmatrix}.\)$ \(S(s)\) 是一个矩阵束（或矩阵多项式），其 Smith 标准形包含了系统的零点和极点信息。系统的传输零点（transmission zeros）是 \(S(s)\) 的不变零点（使 \(S(s)\) 的秩下降的 \(s\) 值）。

注记 41.4 (结构化矩阵束)

许多应用中的矩阵束具有特殊结构：

• 对称束 \(A - \lambda B\)（\(A, B\) 对称）：出现在振动分析中。可用对称 QZ 变体保持对称性。
• Hermite 束（\(A, B\) Hermite，\(B\) 半正定）：特征值全为实数。
• 回文束 \(A - \lambda A^T\)：出现在控制理论的最优控制问题中。
• Hamilton 束：出现在 Riccati 方程的求解中。

定理 41.10 (对称正定束的性质)

设 \(A - \lambda B\) 为对称束，\(B\) 正定。则：

(a) 所有广义特征值 \(\lambda_i\) 为实数。

(b) 广义特征向量可选为 \(B\)-正交的：\(v_i^T B v_j = \delta_{ij}\)。

(c) 存在非奇异矩阵 \(S\) 使得 \(S^T A S = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)，\(S^T B S = I\)。

证明

由 \(B > 0\)，令 \(B = LL^T\)（Cholesky 分解），将广义问题 \(Ax = \lambda Bx\) 化为标准对称特征值问题 \(L^{-1}AL^{-T}y = \lambda y\)（\(y = L^T x\)）。\(L^{-1}AL^{-T}\) 对称，故特征值全为实数。将标准特征向量 \(\{y_i\}\) 变回 \(\{x_i = L^{-T}y_i\}\)，即得 \(B\)-正交的广义特征向量。

例 41.9

广义特征值问题 \(Ax = \lambda Bx\)， $\(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.\)$

\(\det(A - \lambda B) = (5-2\lambda)(2-\lambda) - (2-\lambda)^2 = (2-\lambda)(5-2\lambda - 2+\lambda) = (2-\lambda)(3-\lambda)\)。

广义特征值 \(\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3\)，均为实数（\(B\) 正定）。

\(\lambda_1 = 2\)：\((A-2B)x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}x = 0\)，\(x_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)。 \(\lambda_2 = 3\)：\((A-3B)x = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}x = 0\)，\(x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)。

验证 \(B\)-正交：\(x_1^T B x_2 = (0, 1)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = (0,1)(1, 0)^T = 0\)。正交性成立。

注记 41.5 (矩阵束的扰动理论)

矩阵束的特征值对扰动的敏感性比标准特征值问题更为复杂。对正则束 \(A - \lambda B\)，若 \(\lambda_0\) 为简单广义特征值，左右广义特征向量为 \(y, x\)（\(Ax = \lambda_0 Bx\)，\(y^*A = \lambda_0 y^*B\)），则 $\(\lambda_0 \text{ 的条件数} = \frac{\|y\| \|x\|}{|y^* B x|}.\)$ 当 \(y^* Bx \approx 0\) 时，广义特征值对扰动非常敏感。特别地，当 \(B\) 接近奇异时，某些广义特征值可能变得极度病态。

对奇异束，Kronecker 标准形本身在一般扰动下是不稳定的（最小指标可以改变），这使得奇异束的数值计算需要特别小心。Van Dooren 等人发展了用 SVD 等方法数值稳定地提取 Kronecker 结构的算法。

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本章小结

概念	要点
矩阵束 \(A - \lambda B\)	方阵：正则（\(\det \not\equiv 0\)）或奇异
Weierstrass 形	正则束 = Jordan 块（有限特征值）+ 幂零块（无穷特征值）
最小指标	奇异束的核心不变量，描述多项式零空间的结构
Kronecker 标准形	\(L_\varepsilon\)（右块）+ \(L_\eta^T\)（左块）+ Jordan + 幂零：完全分类
QZ 算法	\(O(n^3)\)，后向稳定，LAPACK 标准实现
DAE	\(E\dot{x} = Ax\)；指标 = 幂零块大小；指标越高越难求解
描述子系统	控制理论中正则束的应用

Kronecker 标准形是矩阵束理论的顶峰，它将正则束的 Weierstrass 理论和奇异束的最小指标理论统一在一个完整的框架中。从数值计算（QZ 算法）到微分代数方程（指标理论）再到控制理论（描述子系统），矩阵束的语言提供了分析线性系统结构的强大工具。