第 48 章主理想整环上的模¶

前置：向量空间 (Ch4) · 多项式代数 (Ch0) · Jordan 形 (Ch12) · 有理标准形 (Ch13B)

本章脉络：模的定义 → 自由模 → 子模 → 商模 → 挠模 → PID 上有限生成模的结构定理 → 不变因子与初等因子 → 应用到 $\mathbb{F}[x]$-模 → 重新推导 Jordan 形与有理标准形

延伸：模论是交换代数和代数几何的基础语言；有限生成 Abel 群基本定理是 $\mathbb{Z}$-模的特例；层论中的 sheaf of modules 将模论推广到几何对象上

向量空间理论的核心在于域 $\mathbb{F}$ 的每个非零元素都可逆——正是这一性质保证了维数的良定义性和基的存在性。当我们将标量环从域放宽到一般的交换环 $R$ 时，便进入了模论（module theory）的范畴。模论不仅是向量空间理论的自然推广，更为我们提供了一个统一的框架：有限维向量空间的线性变换的分类问题（Jordan 标准形、有理标准形）与有限生成 Abel 群的结构定理，在模论的视角下不过是同一个定理的不同特例。

本章将聚焦于主理想整环（principal ideal domain, PID）上的有限生成模。PID 是一类特别良好的环——包括整数环 $\mathbb{Z}$ 和域上的一元多项式环 $\mathbb{F}[x]$——在其上可以建立类似于向量空间的结构理论。最终我们将看到，著名的 Jordan 标准形和有理标准形，本质上是 $\mathbb{F}[x]$-模的结构定理的直接推论。

48.1 模的基本概念¶

核心问题：如何将向量空间的定义从域推广到一般环？推广后会失去哪些性质？

定义 48.1 (左 $R$-模)

设 $R$ 是一个含幺环（不一定交换）。一个左 $R$-模是一个 Abel 群 $(M, +)$ 连同一个标量乘法映射 $R \times M \to M$，记为 $(r, m) \mapsto rm$，满足以下公理：对所有 $r, s \in R$ 和 $m, n \in M$，

分配律 I：$r(m + n) = rm + rn$；
分配律 II：$(r + s)m = rm + sm$；
结合律：$(rs)m = r(sm)$；
幺元作用：$1_R \cdot m = m$。

定义 48.2 (右 $R$-模)

类似地，右 $R$-模是一个 Abel 群 $(M, +)$ 连同映射 $M \times R \to M$，记为 $(m, r) \mapsto mr$，满足相应的公理。当 $R$ 是交换环时，左 $R$-模和右 $R$-模没有本质区别。本章主要讨论交换环上的模，因此简称为 $R$-模。

例 48.1 (模的基本例子)

(a) 向量空间作为 $\mathbb{F}$-模。 设 $\mathbb{F}$ 是一个域，$V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。那么 $V$ 自然就是一个 $\mathbb{F}$-模。事实上，$\mathbb{F}$-模与 $\mathbb{F}$-向量空间完全等价。

(b) Abel 群作为 $\mathbb{Z}$-模。 任何 Abel 群 $(G, +)$ 都自然地成为 $\mathbb{Z}$-模：对 $n \in \mathbb{Z}$，$g \in G$，定义

\[ng = \underbrace{g + g + \cdots + g}_{n \text{ 个}}, \quad n > 0; \qquad 0 \cdot g = 0; \qquad ng = -((-n)g), \quad n < 0.\]

反之，每个 $\mathbb{Z}$-模的底层 Abel 群就是它本身。因此 $\mathbb{Z}$-模与 Abel 群等价。

(c) 线性变换诱导的 $\mathbb{F}[x]$-模。 设 $V$ 是有限维 $\mathbb{F}$-向量空间，$T: V \to V$ 是线性变换。定义 $\mathbb{F}[x]$ 在 $V$ 上的作用：对 $f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \in \mathbb{F}[x]$ 和 $v \in V$，

\[f(x) \cdot v = a_0 v + a_1 T(v) + a_2 T^2(v) + \cdots + a_n T^n(v) = f(T)(v).\]

容易验证这使得 $V$ 成为 $\mathbb{F}[x]$-模。这个构造是本章的关键——线性变换 $T$ 的全部信息都编码在 $\mathbb{F}[x]$-模结构中。

例 48.2 (理想作为模)

设 $R$ 是交换环，$I \subseteq R$ 是一个理想。那么 $I$ 自然是一个 $R$-模（作为 $R$ 的子模）。特别地，$R$ 本身是一个 $R$-模。

定义 48.3 ($R$-模同态)

设 $M, N$ 是 $R$-模。映射 $\varphi: M \to N$ 称为 $R$-模同态（或 $R$-线性映射），若对所有 $r \in R$，$m, m' \in M$：

$\varphi(m + m') = \varphi(m) + \varphi(m')$；
$\varphi(rm) = r\varphi(m)$。

所有从 $M$ 到 $N$ 的 $R$-模同态构成的集合记为 $\operatorname{Hom}_R(M, N)$，它自然是一个 $R$-模。若 $\varphi$ 是双射，则称为同构，记 $M \cong N$。

定理 48.1 (向量空间 vs. 模的关键区别)

设 $R$ 是交换环（不一定是域）。$R$-模与 $R$-向量空间（当 $R$ 是域时）的关键区别在于：

不是每个模都有基（即不是每个模都是自由模）；
$rm = 0$ 不一定意味着 $r = 0$ 或 $m = 0$（挠元素的存在）；
子模不一定有补（即不一定存在直和分解）；
模同态的像不一定是直和项。

说明

(1) $\mathbb{Z}$-模 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 没有基：任何元素 $\bar{a}$ 满足 $2\bar{a} = \bar{0}$，故 $\{\bar{a}\}$ 不构成基（系数不唯一：$0 \cdot \bar{a} = 2 \cdot \bar{a} = \bar{0}$）。

(2) 在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中，$2 \cdot \bar{3} = \bar{0}$，但 $2 \neq 0$，$\bar{3} \neq \bar{0}$。

(3) $\mathbb{Z}$-模 $\mathbb{Z}$ 中，子模 $2\mathbb{Z}$ 没有补模 $N$ 使得 $\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z} \oplus N$（因为 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 不可嵌入 $\mathbb{Z}$）。

(4) 包含映射 $2\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Z}$ 的像 $2\mathbb{Z}$ 不是 $\mathbb{Z}$ 的直和项。

48.2 子模与商模¶

核心问题：如何定义模的子对象和商对象？同构定理如何推广？

定义 48.4 (子模)

设 $M$ 是 $R$-模。子集 $N \subseteq M$ 称为子模，若 $N$ 在加法和标量乘法下封闭：

$0 \in N$；
若 $m, n \in N$，则 $m + n \in N$；
若 $r \in R$，$n \in N$，则 $rn \in N$。

定义 48.5 (生成集与有限生成模)

设 $M$ 是 $R$-模，$S \subseteq M$。$S$ 生成的子模定义为

\[\langle S \rangle = \left\{ \sum_{i=1}^{k} r_i s_i : k \in \mathbb{N},\, r_i \in R,\, s_i \in S \right\}.\]

若存在有限集 $S = \{m_1, \ldots, m_n\}$ 使得 $M = \langle S \rangle$，则称 $M$ 是有限生成的，记 $M = Rm_1 + Rm_2 + \cdots + Rm_n$。

定义 48.6 (商模)

设 $N$ 是 $R$-模 $M$ 的子模。商模 $M/N$ 定义为 Abel 群 $M/N$（按 $N$ 的陪集分类），其上的 $R$-作用为

\[r(m + N) = rm + N, \quad r \in R,\, m \in M.\]

自然投射 $\pi: M \to M/N$，$\pi(m) = m + N$ 是满的 $R$-模同态，其核为 $N$。

定理 48.2 (模的同构定理)

(第一同构定理) 设 $\varphi: M \to N$ 是 $R$-模同态。则

\[M / \ker \varphi \cong \operatorname{im} \varphi.\]

(第二同构定理) 设 $A, B$ 是 $M$ 的子模。则

\[(A + B) / B \cong A / (A \cap B).\]

(第三同构定理) 设 $N \subseteq L$ 是 $M$ 的子模。则

\[(M/N) / (L/N) \cong M/L.\]

证明

第一同构定理： 定义 $\bar{\varphi}: M/\ker\varphi \to \operatorname{im}\varphi$，$\bar{\varphi}(m + \ker\varphi) = \varphi(m)$。

良定义性： 若 $m + \ker\varphi = m' + \ker\varphi$，则 $m - m' \in \ker\varphi$，故 $\varphi(m) = \varphi(m')$。

$R$-线性： $\bar{\varphi}(r(m+\ker\varphi) + (m'+\ker\varphi)) = \bar{\varphi}((rm+m')+\ker\varphi) = \varphi(rm+m') = r\varphi(m)+\varphi(m') = r\bar{\varphi}(m+\ker\varphi) + \bar{\varphi}(m'+\ker\varphi)$。

单射： 若 $\bar{\varphi}(m+\ker\varphi) = 0$，则 $\varphi(m) = 0$，即 $m \in \ker\varphi$，故 $m + \ker\varphi = \ker\varphi$。

满射： 由 $\operatorname{im}\varphi$ 的定义显然。

第二和第三同构定理的证明与群的情形完全类似，此处从略。

定义 48.7 (直和)

设 $M_1, \ldots, M_k$ 是 $R$-模。它们的外直和定义为

\[M_1 \oplus M_2 \oplus \cdots \oplus M_k = \{(m_1, m_2, \ldots, m_k) : m_i \in M_i\},\]

其上的 $R$-作用分量逐一进行。

若 $M$ 的子模 $N_1, \ldots, N_k$ 满足：(i) $M = N_1 + N_2 + \cdots + N_k$，且 (ii) 对每个 $i$，$N_i \cap (N_1 + \cdots + N_{i-1} + N_{i+1} + \cdots + N_k) = \{0\}$，则称 $M$ 是 $N_1, \ldots, N_k$ 的内直和，记 $M = N_1 \oplus N_2 \oplus \cdots \oplus N_k$。

例 48.3 (商模的计算)

(a) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$-模 $\mathbb{Z}$ 关于子模 $n\mathbb{Z}$ 的商模。

(b) 设 $R = \mathbb{F}[x]$，$I = (f(x))$ 是 $f(x)$ 生成的理想（$f$ 次数为 $d$）。则 $R/I = \mathbb{F}[x]/(f(x))$ 作为 $\mathbb{F}$-向量空间有基 $\{1, \bar{x}, \bar{x}^2, \ldots, \bar{x}^{d-1}\}$，维数为 $d = \deg f$。

(c) 设 $V$ 是 $n$ 维 $\mathbb{F}$-向量空间，$T: V \to V$ 是线性变换，$V$ 按例 48.1(c) 成为 $\mathbb{F}[x]$-模。$V$ 的 $T$-不变子空间恰好是 $V$ 的 $\mathbb{F}[x]$-子模。

48.3 自由模与秩¶

核心问题：哪些模最像向量空间？PID 上的自由模有什么特殊性质？

定义 48.8 (自由模)

$R$-模 $F$ 称为自由模，若 $F$ 有一个基（basis），即存在子集 $B \subseteq F$ 使得：

$B$ 生成 $F$：$F = \langle B \rangle$；
$B$ 线性无关：若 $\sum_{i=1}^{k} r_i b_i = 0$（$r_i \in R$，$b_i \in B$ 两两不同），则 $r_1 = r_2 = \cdots = r_k = 0$。

基为 $n$ 元集的自由模同构于 $R^n$，其中 $n$ 称为自由模的秩（rank）。

定理 48.3 (秩的良定义性)

设 $R$ 是交换环（具有不变基数性质，IBN）。若 $R^m \cong R^n$，则 $m = n$。特别地，交换环上自由模的秩是良定义的。

证明

设 $\mathfrak{m}$ 是 $R$ 的极大理想（由 Zorn 引理保证存在）。取商得到域 $k = R/\mathfrak{m}$。

若 $R^m \cong R^n$，对两边模掉 $\mathfrak{m}$ 得

\[(R/\mathfrak{m})^m \cong (R/\mathfrak{m})^n, \quad \text{即} \quad k^m \cong k^n.\]

由向量空间维数的唯一性，$m = n$。

定理 48.4 (PID 上自由模的子模是自由的)

设 $R$ 是主理想整环，$F$ 是秩为 $n$ 的自由 $R$-模。则 $F$ 的每个子模 $N$ 也是自由的，且 $\operatorname{rank}(N) \leq n$。

证明

对 $n$ 进行归纳。

$n = 1$： $F = R$，子模 $N$ 是 $R$ 的理想。由于 $R$ 是 PID，$N = (d)$ 对某个 $d \in R$。若 $d = 0$，则 $N = \{0\}$ 是秩 $0$ 的自由模。若 $d \neq 0$，则 $N \cong R$（通过映射 $r \mapsto rd$，注意 $R$ 是整环故此映射为单射），是秩 $1$ 的自由模。

归纳步骤： 设结论对秩 $< n$ 的自由模成立。令 $F = R^n$，$\pi: F \to R$ 为投射到最后一个分量的映射。$\pi(N)$ 是 $R$ 的理想，由 PID 性质，$\pi(N) = (d)$。

若 $d = 0$，则 $N \subseteq \ker \pi = R^{n-1}$，由归纳假设 $N$ 自由且秩 $\leq n - 1$。

若 $d \neq 0$，选取 $e \in N$ 使得 $\pi(e) = d$。对任意 $m \in N$，$\pi(m) = rd$ 对某 $r \in R$，故 $m - re \in N \cap \ker\pi$。令 $N' = N \cap \ker\pi \subseteq R^{n-1}$，由归纳假设 $N'$ 自由。

断言 $N = N' \oplus Re$：$N = N' + Re$ 由上述论证可得；若 $n' + re = 0$（$n' \in N'$），则 $\pi(n' + re) = rd = 0$，由 $R$ 是整环和 $d \neq 0$ 得 $r = 0$，进而 $n' = 0$。故 $N$ 自由，$\operatorname{rank}(N) = \operatorname{rank}(N') + 1 \leq (n-1) + 1 = n$。

例 48.4 (自由模与非自由模)

(a) $\mathbb{Z}^n$ 是秩为 $n$ 的自由 $\mathbb{Z}$-模。$\mathbb{Z}^n$ 的每个子群（子模）都是自由 Abel 群，秩不超过 $n$。

(b) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（$n \geq 2$）不是自由 $\mathbb{Z}$-模——它没有基。

(c) $\mathbb{F}[x]^n$ 是秩为 $n$ 的自由 $\mathbb{F}[x]$-模。

(d) 设 $R = \mathbb{Z}[x, y]$（不是 PID），理想 $I = (x, y)$ 是 $R$ 的子模，但 $I$ 不是自由 $R$-模。这表明定理 48.4 中 PID 的条件不可省略。

48.4 挠模与挠元素¶

核心问题：模中什么元素的行为与向量空间不同？如何刻画这些"病态"元素？

定义 48.9 (挠元素与挠子模)

设 $R$ 是整环，$M$ 是 $R$-模。元素 $m \in M$ 称为挠元素（torsion element），若存在非零 $r \in R$ 使得 $rm = 0$。$m$ 的零化子定义为

\[\operatorname{Ann}(m) = \{r \in R : rm = 0\},\]

这是 $R$ 的一个理想。$M$ 的挠子模定义为

\[\operatorname{Tor}(M) = \{m \in M : \exists\, r \in R \setminus \{0\},\, rm = 0\}.\]

若 $\operatorname{Tor}(M) = M$，则称 $M$ 是挠模（torsion module）。若 $\operatorname{Tor}(M) = \{0\}$，则称 $M$ 是无挠模（torsion-free module）。

定理 48.5 (挠子模是子模)

设 $R$ 是整环，$M$ 是 $R$-模。则 $\operatorname{Tor}(M)$ 是 $M$ 的子模，且 $M / \operatorname{Tor}(M)$ 是无挠的。

证明

设 $m, n \in \operatorname{Tor}(M)$，$r, s \in R \setminus \{0\}$ 使得 $rm = 0$，$sn = 0$。则 $rs \neq 0$（$R$ 是整环），且

\[rs(m + n) = s(rm) + r(sn) = 0,\]

故 $m + n \in \operatorname{Tor}(M)$。对任意 $a \in R$，$r(am) = a(rm) = 0$，故 $am \in \operatorname{Tor}(M)$。因此 $\operatorname{Tor}(M)$ 是子模。

设 $\bar{m} = m + \operatorname{Tor}(M) \in M/\operatorname{Tor}(M)$ 是挠元素，即存在 $r \neq 0$ 使得 $r\bar{m} = \bar{0}$，即 $rm \in \operatorname{Tor}(M)$。则存在 $s \neq 0$ 使得 $s(rm) = (sr)m = 0$。由于 $sr \neq 0$，$m \in \operatorname{Tor}(M)$，即 $\bar{m} = \bar{0}$。

例 48.5 (挠模的例子)

(a) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是挠 $\mathbb{Z}$-模：每个元素 $\bar{a}$ 满足 $n\bar{a} = \bar{0}$。

(b) $\mathbb{Z}$ 本身是无挠 $\mathbb{Z}$-模。

(c) $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 既不是挠模也不是无挠模。其挠子模为 $\{0\} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。

(d) 设 $V$ 是有限维 $\mathbb{F}$-向量空间，$T \in \operatorname{End}(V)$，视 $V$ 为 $\mathbb{F}[x]$-模。由于 $V$ 有限维，对每个 $v \in V$，向量 $v, Tv, T^2v, \ldots$ 必线性相关，故存在非零多项式 $f(x) \in \mathbb{F}[x]$ 使得 $f(T)v = 0$。因此 $V$ 作为 $\mathbb{F}[x]$-模是挠模。

定义 48.10 (零化子理想)

设 $M$ 是 $R$-模。$M$ 的零化子定义为

\[\operatorname{Ann}(M) = \{r \in R : rm = 0, \forall m \in M\}.\]

这是 $R$ 的一个理想。若 $R$ 是 PID 且 $M$ 是有限生成挠模，则 $\operatorname{Ann}(M) = (d)$ 对某个 $d \in R$。

48.5 PID 上有限生成模的结构定理¶

核心问题：PID 上的有限生成模有怎样的分类？这是本章的中心定理。

定理 48.6 (PID 上有限生成模的结构定理——不变因子形式)

设 $R$ 是主理想整环，$M$ 是有限生成 $R$-模。则存在唯一的非负整数 $r \geq 0$ 和非零非单位元素 $d_1, d_2, \ldots, d_k \in R$（在相伴意义下唯一），满足

\[d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_k,\]

使得

\[M \cong R^r \oplus R/(d_1) \oplus R/(d_2) \oplus \cdots \oplus R/(d_k).\]

其中 $r$ 称为 $M$ 的自由秩（free rank），$d_1, \ldots, d_k$ 称为 $M$ 的不变因子（invariant factors）。

该定理的证明需要几个步骤。我们通过 Smith 标准形给出一个构造性的证明。

定义 48.11 (Smith 标准形)

设 $R$ 是 PID，$A$ 是 $m \times n$ 的 $R$-矩阵。$A$ 的 Smith 标准形是一个对角矩阵

\[S = \begin{pmatrix} d_1 & & & \\ & d_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_s \\ & & & & 0 \\ & & & & & \ddots \end{pmatrix}, \quad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s,\]

使得 $S = PAQ$，其中 $P \in \operatorname{GL}_m(R)$，$Q \in \operatorname{GL}_n(R)$ 是可逆矩阵。

定理 48.7 (Smith 标准形的存在性)

设 $R$ 是 PID。任意 $m \times n$ 的 $R$-矩阵 $A$ 都有 Smith 标准形，且不变因子 $d_1, \ldots, d_s$（在相伴意义下）唯一确定。

证明（存在性，构造法）

通过以下三类初等行列变换（对应于左乘或右乘初等矩阵，这些矩阵在 $R$ 上可逆）：

交换两行（或两列）；
将一行（或一列）加上另一行（或列）的 $R$-倍数；
将一行（或一列）乘以 $R$ 的可逆元（单位）。

步骤 1： 若 $A = 0$，已是 Smith 形。否则，通过行列交换，使左上角元素 $a_{11}$ 非零，且在所有非零元素中的某种度量（例如在 $R = \mathbb{Z}$ 中取绝对值，在 $R = \mathbb{F}[x]$ 中取次数）下最小。

步骤 2： 若 $a_{11} \nmid a_{1j}$（某 $j > 1$），则 $\gcd(a_{11}, a_{1j}) = d$（PID 中 gcd 存在），通过初等变换可将 $a_{11}$ 替换为 $d$（Bezout 等式 $d = ua_{11} + va_{1j}$）。类似地处理 $a_{i1}$。反复进行直到 $a_{11}$ 整除第一行和第一列的所有元素。

步骤 3： 用 $a_{11}$ 消去第一行和第一列的其余元素，得到

\[A' = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & A'' \end{pmatrix}.\]

步骤 4： 若 $a_{11}$ 不整除 $A''$ 的某个元素 $a''_{ij}$，将第 $i+1$ 行加到第一行，回到步骤 2。最终 $a_{11}$ 整除 $A''$ 的所有元素。

步骤 5： 对 $A''$ 递归进行上述操作。由于 $R$ 中的整除链是升链，且 PID 满足升链条件（PID 是 Noether 环），此过程必终止。

结构定理的证明

设 $M$ 是有限生成 $R$-模，生成元为 $m_1, \ldots, m_n$。定义满同态

\[\varphi: R^n \to M, \quad \varphi(r_1, \ldots, r_n) = r_1 m_1 + \cdots + r_n m_n.\]

令 $K = \ker \varphi$。由定理 48.4，$K$ 是自由 $R$-模，秩为某个 $s \leq n$。选取 $K$ 的基 $k_1, \ldots, k_s$，将它们作为列写成 $n \times s$ 矩阵 $A$（即关系矩阵）。

对 $A$ 做 Smith 标准形：$PAQ = S$，其中 $P \in \operatorname{GL}_n(R)$，$Q \in \operatorname{GL}_s(R)$。$P$ 对应 $R^n$ 基的变换，$Q$ 对应 $K$ 基的变换。在新基下，关系矩阵变为 $S = \operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_s, 0, \ldots, 0)$，$d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$。

这意味着

\[M \cong R^n / K \cong R/(d_1) \oplus \cdots \oplus R/(d_s) \oplus R^{n-s}.\]

去掉 $d_i$ 为单位的因子（此时 $R/(d_i) = 0$），令 $r = n - s$（自由秩），得到结构定理的结论。

唯一性可通过分析 $p$-部分（对每个素元 $p$，考虑 $M$ 的 $p$-挠子模）来证明。

例 48.6 (Smith 标准形的计算)

对 $\mathbb{Z}$-矩阵

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 4 \\ -6 & 6 & 12 \\ 10 & -4 & -16 \end{pmatrix},\]

通过初等行列变换化为 Smith 标准形：

\[S = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}.\]

不变因子为 $d_1 = 2$，$d_2 = 6$，$d_3 = 12$，满足 $2 \mid 6 \mid 12$。

对应的商模为

\[\mathbb{Z}^3 / \operatorname{im}(A) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}.\]

48.6 不变因子与初等因子¶

核心问题：不变因子分解和初等因子分解有什么关系？各有何优势？

定理 48.8 (PID 上有限生成模的结构定理——初等因子形式)

设 $R$ 是主理想整环，$M$ 是有限生成 $R$-模。则

\[M \cong R^r \oplus R/(p_1^{a_1}) \oplus R/(p_2^{a_2}) \oplus \cdots \oplus R/(p_t^{a_t}),\]

其中 $p_1, \ldots, p_t$ 是 $R$ 中的素元（不一定两两不同），$a_1, \ldots, a_t \geq 1$。素幂 $p_1^{a_1}, \ldots, p_t^{a_t}$（在相伴和排列意义下）唯一确定，称为 $M$ 的初等因子（elementary divisors）。

证明

关键步骤是中国剩余定理：若 $d = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_l^{a_l}$（$p_i$ 两两不相伴的素元），则

\[R/(d) \cong R/(p_1^{a_1}) \oplus R/(p_2^{a_2}) \oplus \cdots \oplus R/(p_l^{a_l}).\]

将不变因子形式中的每个 $R/(d_i)$ 按此方式分解，即得初等因子形式。

反之，从初等因子可恢复不变因子：将初等因子按素元分组，$d_k$（最大的不变因子）是所有不同素元的最高幂次之积，$d_{k-1}$ 是次高幂次之积，依此类推。

例 48.7 (不变因子与初等因子的转换)

考虑 $\mathbb{Z}$-模 $M$ 的不变因子为 $d_1 = 12$，$d_2 = 180$。则

\[M \cong \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/180\mathbb{Z}.\]

将不变因子分解为素幂：

$12 = 2^2 \cdot 3$
$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

初等因子为 $2^2, 3, 2^2, 3^2, 5$，故

\[M \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.\]

反之，从初等因子恢复不变因子：按素数 $2, 3, 5$ 分组，幂次分别为 $(2,2)$，$(1,2)$，$(1)$。最大不变因子 $d_2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180$，次大 $d_1 = 2^2 \cdot 3 = 12$。

定理 48.9 (循环模的分解)

设 $R$ 是 PID，$d \in R$ 非零非单位，$d = u \cdot p_1^{a_1} \cdots p_l^{a_l}$（$u$ 为单位，$p_i$ 两两不相伴的素元）。则

\[R/(d) \cong R/(p_1^{a_1}) \oplus \cdots \oplus R/(p_l^{a_l}).\]

进一步，$R/(p^a)$ 是不可分解模（不能写成两个非零模的直和）。

证明

中国剩余定理的模版本： 令 $d = d_1 d_2$，$\gcd(d_1, d_2) = 1$（即 $(d_1) + (d_2) = R$）。定义

\[\varphi: R/(d) \to R/(d_1) \oplus R/(d_2), \quad \bar{r} \mapsto (\bar{r}_1, \bar{r}_2).\]

由 Bezout 等式 $s d_1 + t d_2 = 1$，可构造逆映射 $(\bar{a}, \bar{b}) \mapsto \overline{a t d_2 + b s d_1}$，故 $\varphi$ 是同构。对多个互素因子递归应用即可。

不可分解性： 若 $R/(p^a) \cong A \oplus B$，$A, B \neq 0$，则 $|A| \cdot |B| = |R/(p^a)|$（元素个数意义下），且 $A, B$ 的零化子理想分别为 $(p^s)$，$(p^t)$，$s, t < a$。但 $p^{\max(s,t)}$ 零化整个 $R/(p^a)$，需 $\max(s,t) \geq a$，矛盾。（严格论证需用素元的幂次分析。）

例 48.8 (小阶Abel群的分类)

阶为 $n$ 的有限 Abel 群的分类等价于 $n$ 的分拆对应的初等因子分解：

阶 $n$	不变因子	初等因子	群
4	(4)	$(2^2)$	$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$
4	(2, 2)	$(2, 2)$	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
8	(8)	$(2^3)$	$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$
8	(2, 4)	$(2, 2^2)$	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$
8	(2, 2, 2)	$(2, 2, 2)$	$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$
12	(12)	$(2^2, 3)$	$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$
12	(2, 6)	$(2, 2, 3)$	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$

48.7 应用：重新推导 Jordan 形¶

核心问题：如何通过 $\mathbb{F}[x]$-模的结构定理统一推导有理标准形和 Jordan 标准形？

设 $V$ 是 $n$ 维 $\mathbb{F}$-向量空间，$T: V \to V$ 是线性变换。回顾例 48.1(c)，$V$ 通过 $f(x) \cdot v = f(T)(v)$ 成为 $\mathbb{F}[x]$-模。

定理 48.10 ($\mathbb{F}[x]$-模的结构定理与有理标准形)

设 $V$ 是 $n$ 维 $\mathbb{F}$-向量空间，$T \in \operatorname{End}(V)$。视 $V$ 为 $\mathbb{F}[x]$-模。则自由秩 $r = 0$（因为 $V$ 是挠 $\mathbb{F}[x]$-模），且

\[V \cong \mathbb{F}[x]/(d_1(x)) \oplus \mathbb{F}[x]/(d_2(x)) \oplus \cdots \oplus \mathbb{F}[x]/(d_k(x)),\]

其中 $d_1(x) \mid d_2(x) \mid \cdots \mid d_k(x)$ 是首一多项式，$\deg d_i \geq 1$，且 $\sum_{i=1}^k \deg d_i = n$。

不变因子 $d_1, \ldots, d_k$ 就是 $T$ 的不变因子。$d_k(x)$ 是 $T$ 的极小多项式 $m_T(x)$，$d_1(x) d_2(x) \cdots d_k(x)$ 是 $T$ 的特征多项式 $\chi_T(x)$。

推导有理标准形

考虑循环模 $C_i = \mathbb{F}[x]/(d_i(x))$，其中 $d_i(x) = x^{n_i} + a_{n_i-1}x^{n_i-1} + \cdots + a_1 x + a_0$（$n_i = \deg d_i$）。$C_i$ 作为 $\mathbb{F}$-向量空间有基 $\{1, \bar{x}, \bar{x}^2, \ldots, \bar{x}^{n_i-1}\}$。

$T$ 在 $C_i$ 上的作用就是"乘以 $x$"：

\[T(\bar{x}^j) = \bar{x}^{j+1}, \quad j = 0, 1, \ldots, n_i - 2,$$ $$T(\bar{x}^{n_i-1}) = -a_0 - a_1 \bar{x} - \cdots - a_{n_i-1}\bar{x}^{n_i-1}.\]

因此 $T$ 在基 $\{1, \bar{x}, \ldots, \bar{x}^{n_i-1}\}$ 下的矩阵是友矩阵（companion matrix）：

\[C(d_i) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n_i-1} \end{pmatrix}.\]

因此 $T$ 的矩阵在适当基下为分块对角矩阵

\[\begin{pmatrix} C(d_1) & & \\ & \ddots & \\ & & C(d_k) \end{pmatrix},\]

这就是 $T$ 的有理标准形（rational canonical form）。

定理 48.11 (Jordan 标准形的模论推导)

设 $\mathbb{F}$ 是代数闭域（例如 $\mathbb{C}$）。将每个不变因子 $d_i(x)$ 分解为一次因子的幂：

\[d_i(x) = (x - \lambda_{i,1})^{e_{i,1}} (x - \lambda_{i,2})^{e_{i,2}} \cdots (x - \lambda_{i,l_i})^{e_{i,l_i}}.\]

由中国剩余定理，

\[\mathbb{F}[x]/(d_i(x)) \cong \bigoplus_{j=1}^{l_i} \mathbb{F}[x]/((x - \lambda_{i,j})^{e_{i,j}}).\]

因此

\[V \cong \bigoplus_{i,j} \mathbb{F}[x]/((x - \lambda)^{e}),\]

其中 $(x - \lambda)^e$ 遍历所有初等因子。

从 $\mathbb{F}[x]/((x-\lambda)^e)$ 到 Jordan 块

考虑 $W = \mathbb{F}[x]/((x - \lambda)^e)$，它是 $e$ 维 $\mathbb{F}$-向量空间。取基

\[v_1 = \overline{(x-\lambda)^{e-1}}, \quad v_2 = \overline{(x-\lambda)^{e-2}}, \quad \ldots, \quad v_e = \bar{1}.\]

$T$（即乘以 $x = (x - \lambda) + \lambda$）在此基下的作用：

\[T(v_k) = x \cdot v_k = ((x-\lambda) + \lambda) \cdot v_k = \lambda v_k + (x-\lambda) \cdot v_k.\]

注意 $(x-\lambda) \cdot v_k = \overline{(x-\lambda)^{e-k+1}}$：

若 $k > 1$：$(x-\lambda) \cdot v_k = \overline{(x-\lambda)^{e-k+1}} = v_{k-1}$；
若 $k = 1$：$(x-\lambda) \cdot v_1 = \overline{(x-\lambda)^e} = 0$。

因此

\[T(v_1) = \lambda v_1, \quad T(v_k) = v_{k-1} + \lambda v_k, \quad k = 2, \ldots, e.\]

$T$ 在基 $\{v_1, v_2, \ldots, v_e\}$ 下的矩阵为

\[J_e(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & 1 & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix},\]

这正是 $e \times e$ 的 Jordan 块。因此 $T$ 的矩阵在适当基下为 Jordan 标准形

\[J = \begin{pmatrix} J_{e_1}(\lambda_1) & & \\ & J_{e_2}(\lambda_2) & \\ & & \ddots \end{pmatrix}.\]

例 48.9 (从不变因子到 Jordan 形)

设 $T$ 的不变因子为 $d_1(x) = (x-1)(x-2)$，$d_2(x) = (x-1)^2(x-2)$。则：

有理标准形：

\[\begin{pmatrix} C(d_1) & \\ & C(d_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & & \\ 1 & 3 & & \\ & & 0 & 0 & 2 \\ & & 1 & 0 & -5 \\ & & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.\]

初等因子： $(x-1), (x-2), (x-1)^2, (x-2)$。

Jordan 标准形：

\[J = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & 2 & & & \\ & & 1 & 1 & \\ & & & 1 & \\ & & & & 2 \end{pmatrix}.\]

特征多项式 $\chi_T(x) = d_1(x) d_2(x) = (x-1)^3(x-2)^2$，极小多项式 $m_T(x) = d_2(x) = (x-1)^2(x-2)$。

定理 48.12 (模论视角下的 Cayley-Hamilton 定理)

设 $V$ 是 $n$ 维 $\mathbb{F}$-向量空间，$T \in \operatorname{End}(V)$。则 $\chi_T(T) = 0$。

模论证明： 视 $V$ 为 $\mathbb{F}[x]$-模。$\operatorname{Ann}(V) = (m_T(x))$（极小多项式）。由结构定理，$\chi_T(x) = \prod_i d_i(x)$，而 $d_i \mid d_k = m_T$ 对所有 $i$。故 $\chi_T(x) \in \operatorname{Ann}(V)$（因为 $m_T \mid \chi_T$），即 $\chi_T(T) = 0$。

事实上，$m_T(x) \mid \chi_T(x)$ 可以更精确地看到：$\chi_T = d_1 d_2 \cdots d_k$，$m_T = d_k$，而 $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_k$，故 $d_1 d_2 \cdots d_{k-1} \mid d_k^{k-1}$，因此 $m_T \mid \chi_T$。

48.8 应用：有限生成 Abel 群¶

核心问题：有限生成 Abel 群基本定理如何作为 $\mathbb{Z}$-模结构定理的特例得出？

定理 48.13 (有限生成 Abel 群基本定理)

设 $G$ 是有限生成 Abel 群。则

(不变因子形式) 存在唯一的 $r \geq 0$ 和整数 $d_1, \ldots, d_k \geq 2$，$d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_k$，使得

\[G \cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}.\]

(初等因子形式) 存在唯一的 $r \geq 0$ 和素幂 $p_1^{a_1}, \ldots, p_t^{a_t}$（在排列意义下唯一），使得

\[G \cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}/p_1^{a_1}\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/p_t^{a_t}\mathbb{Z}.\]

$r$ 称为 $G$ 的秩（或 Betti 数），挠部分 $G_{\mathrm{tor}} = \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}$ 是有限群。

证明

这正是定理 48.6 和定理 48.8 在 $R = \mathbb{Z}$ 的情形。$\mathbb{Z}$ 是 PID，有限生成 Abel 群就是有限生成 $\mathbb{Z}$-模，直接应用结构定理即可。

例 48.10 (有限 Abel 群的分类)

(a) 阶为 $36 = 2^2 \cdot 3^2$ 的 Abel 群的分类：

初等因子的可能组合（对 $2$ 的幂次：$\{4\}$ 或 $\{2,2\}$；对 $3$ 的幂次：$\{9\}$ 或 $\{3,3\}$）：

初等因子	不变因子	群
$4, 9$	$(36)$	$\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$
$4, 3, 3$	$(3, 12)$	$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$
$2, 2, 9$	$(2, 18)$	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$
$2, 2, 3, 3$	$(6, 6)$	$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$

共 4 种互不同构的阶为 36 的 Abel 群。

(b) 秩为 2、挠部分同构于 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 的有限生成 Abel 群为

\[G \cong \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.\]

例 48.11 (应用：确定群结构)

设 $G$ 是阶为 $200 = 2^3 \cdot 5^2$ 的有限 Abel 群，且 $G$ 恰好有 $7$ 个阶为 $2$ 的元素。确定 $G$ 的结构。

解：阶为 2 的元素（加上单位元）构成 $G$ 的 $2$-挠子群 $G[2] = \{g \in G : 2g = 0\}$。$|G[2]| = 8$（包含 $7$ 个阶为 $2$ 的元素和单位元）。

$G$ 的 $2$-Sylow 部分 $G_2$ 同构于 $\mathbb{Z}/2^{a_1}\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/2^{a_l}\mathbb{Z}$，$\sum a_i = 3$。$G_2[2] \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^l$，故 $|G_2[2]| = 2^l$。要求 $2^l = 8$，即 $l = 3$，故 $a_1 = a_2 = a_3 = 1$，$G_2 \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$。

$G$ 的 $5$-Sylow 部分 $G_5$ 同构于 $\mathbb{Z}/5^{b_1}\mathbb{Z} \oplus \cdots$，$\sum b_j = 2$。两种可能：$G_5 \cong \mathbb{Z}/25\mathbb{Z}$ 或 $G_5 \cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2$。条件不足以区分，故 $G$ 有两种可能：

\[G \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 \oplus \mathbb{Z}/25\mathbb{Z} \quad \text{或} \quad G \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 \oplus (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2.\]

本章总结¶

模论为线性代数提供了一个更高的视角。PID 上有限生成模的结构定理是核心结果，它统一了：

环 $R$	有限生成 $R$-模	结构定理的含义
$\mathbb{Z}$	有限生成 Abel 群	有限生成 Abel 群基本定理
$\mathbb{F}[x]$（通过 $T$）	线性变换的表示空间	Jordan 标准形 / 有理标准形
$\mathbb{F}[x]$（通用）	$\mathbb{F}[x]$-模	Smith 标准形

这种统一性正是抽象代数的力量所在：看似不同的具体问题，在适当的抽象层次上不过是同一个定理的不同面貌。

习题¶

习题 48.1

设 $R = \mathbb{Z}$，$M = \mathbb{Z}^3$，$N$ 是由 $(2, 0, 0)$，$(0, 6, 0)$，$(0, 0, 8)$ 生成的子模。求 $M/N$ 的不变因子分解和初等因子分解。

习题 48.2

设 $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ 的特征多项式为 $(x-1)^2(x+1)^2$，极小多项式为 $(x-1)^2(x+1)$。求 $T$ 的不变因子、有理标准形和 Jordan 标准形。

习题 48.3

证明：设 $R$ 是 PID，$M$ 是有限生成无挠 $R$-模，则 $M$ 是自由的。

习题 48.4

设 $G$ 是阶为 $72 = 2^3 \cdot 3^2$ 的有限 Abel 群。列出所有可能的同构类（不变因子形式和初等因子形式）。

习题 48.5

对矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$，将 $\mathbb{R}^2$ 视为 $\mathbb{R}[x]$-模（通过 $A$）。求其不变因子分解。将域扩大到 $\mathbb{C}$ 后，求初等因子和 Jordan 形。

习题 48.6

证明：PID 上有限生成模 $M$ 的零化子 $\operatorname{Ann}(M)$ 由最大的不变因子生成。

阶 \(n\)	不变因子	初等因子	群
4	(4)	\((2^2)\)	\(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)
4	(2, 2)	\((2, 2)\)	\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)
8	(8)	\((2^3)\)	\(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)
8	(2, 4)	\((2, 2^2)\)	\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)
8	(2, 2, 2)	\((2, 2, 2)\)	\((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3\)
12	(12)	\((2^2, 3)\)	\(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\)
12	(2, 6)	\((2, 2, 3)\)	\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)

初等因子	不变因子	群
\(4, 9\)	\((36)\)	\(\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}\)
\(4, 3, 3\)	\((3, 12)\)	\(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\)
\(2, 2, 9\)	\((2, 18)\)	\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\)
\(2, 2, 3, 3\)	\((6, 6)\)	\(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\)

环 \(R\)	有限生成 \(R\)-模	结构定理的含义
\(\mathbb{Z}\)	有限生成 Abel 群	有限生成 Abel 群基本定理
\(\mathbb{F}[x]\)（通过 \(T\)）	线性变换的表示空间	Jordan 标准形 / 有理标准形
\(\mathbb{F}[x]\)（通用）	\(\mathbb{F}[x]\)-模	Smith 标准形

第 48 章 主理想整环上的模¶