第 50 章 Clifford 代数与几何代数¶
前置：向量空间 (Ch4) · 二次型 (Ch9) · 外代数 (Ch49)
本章脉络：Clifford 代数 \(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 定义 → 几何积 = 内积 + 楔积 → 低维例子（复数、四元数）→ 旋量（rotor）与旋转 → Spin 群 → 矩阵表示 → Bott 周期性 → 几何代数在物理中的应用
延伸：Clifford 代数统一了复数、四元数和外代数；Spin 群是正交群的二重覆盖，是量子场论中旋量场的数学基础；几何代数在计算机图形学中提供了比矩阵方法更优雅的旋转和反射表示
外代数 \(\Lambda(V)\) 将向量空间 \(V\) 的反对称乘法系统化，但它完全忽略了 \(V\) 上的度量结构（内积或更一般的二次型）。William Kingdon Clifford 在 1878 年提出的 Clifford 代数巧妙地将度量信息编码到乘法规则中：向量的"平方"不再为零（如外代数中 \(v \wedge v = 0\)），而是等于其二次型值 \(Q(v)\)。
这一看似微小的修改带来了深远的后果。Clifford 代数统一了实数、复数、四元数——它们不过是 \(\mathbb{R}^0, \mathbb{R}^1, \mathbb{R}^2\) 上特定二次型的 Clifford 代数。更重要的是，Clifford 代数为旋转和反射提供了一种纯代数的、坐标无关的表示，催生了物理学中旋量的概念和计算机图形学中的几何代数方法。
50.1 Clifford 代数的定义¶
核心问题：如何构建一个代数，使得向量的乘积编码内积信息？
定义 50.1 (二次型与对称双线性形式)
回顾：设 \(V\) 是 \(\mathbb{F}\)-向量空间。二次型 \(Q: V \to \mathbb{F}\) 满足 \(Q(\lambda v) = \lambda^2 Q(v)\)，且
是对称双线性形式（假设 \(\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2\)）。\(Q\) 由 \(B\) 确定：\(Q(v) = B(v, v)\)。
典型例子：\(V = \mathbb{R}^n\)，\(Q(v) = v_1^2 + \cdots + v_p^2 - v_{p+1}^2 - \cdots - v_{p+q}^2\)（符号 \((p, q)\)）。
定义 50.2 (Clifford 代数)
设 \((V, Q)\) 是配备二次型 \(Q\) 的 \(\mathbb{F}\)-向量空间。\((V, Q)\) 的 Clifford 代数 \(\mathrm{Cl}(V, Q)\) 是满足以下万有性质的结合 \(\mathbb{F}\)-代数：
存在线性映射 \(\iota: V \to \mathrm{Cl}(V, Q)\) 使得
且对任意结合代数 \(A\) 和线性映射 \(f: V \to A\) 满足 \(f(v)^2 = Q(v) \cdot 1_A\)，存在唯一的代数同态 \(\tilde{f}: \mathrm{Cl}(V, Q) \to A\) 使得 \(\tilde{f} \circ \iota = f\)。
定理 50.1 (Clifford 代数的构造与维数)
Clifford 代数可以构造为张量代数的商：
若 \(\dim V = n\)，则 \(\dim \mathrm{Cl}(V, Q) = 2^n\)。
证明
存在性： 令 \(\mathcal{I}_Q = \langle v \otimes v - Q(v) \cdot 1 : v \in V \rangle\)。定义 \(\mathrm{Cl}(V,Q) = T(V)/\mathcal{I}_Q\)，\(\iota: V \to \mathrm{Cl}(V,Q)\) 为自然映射。万有性质由张量代数的万有性质继承。
维数： 选取 \(V\) 的正交基 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\)（即 \(B(e_i, e_j) = 0\)（\(i \neq j\)））。在 \(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 中，\(\iota(e_i)\)（简记 \(e_i\)）满足
后者由 \(\iota(e_i + e_j)^2 = Q(e_i + e_j) = q_i + q_j\) 和 \(\iota(e_i + e_j)^2 = e_i^2 + e_i e_j + e_j e_i + e_j^2\) 比较得到。
因此 \(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 由单项式 \(e_{i_1} e_{i_2} \cdots e_{i_k}\)（\(i_1 < i_2 < \cdots < i_k\)）生成（利用 \(e_i e_j = -e_j e_i\) 排序，\(e_i^2 = q_i\) 消除重复）。这些单项式共 \(2^n\) 个。
线性无关性可通过构造一个 \(2^n\) 维的忠实表示来证明（例如对 \(\Lambda(V)\) 的作用，见后文）。
定义 50.3 (Clifford 代数的基本关系)
设 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\) 是 \((V, Q)\) 的正交基，\(q_i = Q(e_i)\)。\(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 的乘法完全由以下关系确定：
\(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 的基为
共 \(2^n\) 个。
例 50.1 (退化情形：外代数)
当 \(Q = 0\)（零二次型）时，\(e_i^2 = 0\) 对所有 \(i\)，关系变为 \(e_i e_j = -e_j e_i\) 和 \(e_i^2 = 0\)。这正是外代数 \(\Lambda(V)\) 的定义关系。因此
Clifford 代数是外代数的"带度量版本"。
50.2 几何积¶
核心问题：Clifford 代数中两个向量的乘积如何分解为对称和反对称部分？
定义 50.4 (几何积)
在 \(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 中，两个向量 \(a, b \in V\) 的乘积 \(ab\)（称为几何积，geometric product）可以分解为对称部分和反对称部分：
其中
- 内积（标量部分）：\(a \cdot b = \frac{1}{2}(ab + ba) = B(a, b) \in \mathbb{F}\)；
- 楔积（二向量部分）：\(a \wedge b = \frac{1}{2}(ab - ba) \in \Lambda^2(V) \subset \mathrm{Cl}(V,Q)\)。
特别地，\(a^2 = a \cdot a = Q(a)\)。
定理 50.2 (几何积的性质)
设 \(a, b \in V\)。则：
- \(ab = a \cdot b + a \wedge b\)；
- \(a \cdot b = B(a, b)\)（关联双线性形式）；
- \(a \parallel b\)（即 \(b = \lambda a\)）\(\Leftrightarrow\) \(ab = ba\)（\(\Leftrightarrow\) \(a \wedge b = 0\)）；
- \(a \perp b\)（即 \(B(a,b) = 0\)）\(\Leftrightarrow\) \(ab = -ba\)（\(\Leftrightarrow\) \(a \cdot b = 0\)）；
- 若 \(a\) 可逆（即 \(Q(a) \neq 0\)），则 \(a^{-1} = \frac{a}{Q(a)}\)。
证明
(1)-(2) 由定义直接计算。\((a+b)^2 = Q(a+b) = Q(a) + 2B(a,b) + Q(b)\)。展开左边：\((a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = Q(a) + ab + ba + Q(b)\)。比较得 \(ab + ba = 2B(a,b)\)。
(3) 若 \(b = \lambda a\)，则 \(ab = \lambda a^2 = \lambda Q(a) = ba\)。反之，\(ab = ba\) 意味着 \(a \wedge b = 0\)，即 \(a, b\) 在 \(\Lambda^2(V)\) 中的楔积为零，故 \(a, b\) 线性相关。
(4) \(B(a,b) = 0 \Leftrightarrow ab + ba = 0 \Leftrightarrow ab = -ba\)。
(5) 若 \(Q(a) \neq 0\)，\(a \cdot \frac{a}{Q(a)} = \frac{a^2}{Q(a)} = \frac{Q(a)}{Q(a)} = 1\)。
例 50.2 (欧氏平面中的几何积)
取 \(V = \mathbb{R}^2\)，\(Q(v) = v_1^2 + v_2^2\)（欧氏度量）。正交基 \(\{e_1, e_2\}\) 满足 \(e_1^2 = e_2^2 = 1\)，\(e_1 e_2 = -e_2 e_1\)。
设 \(a = a_1 e_1 + a_2 e_2\)，\(b = b_1 e_1 + b_2 e_2\)。则
标量部分 \(a_1 b_1 + a_2 b_2 = a \cdot b\)（点积），二向量部分 \((a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1 e_2\)（其系数是叉积的"\(z\)-分量"或有向面积）。
特别注意元素 \(I = e_1 e_2\)（称为赝标量）：\(I^2 = e_1 e_2 e_1 e_2 = -e_1 e_1 e_2 e_2 = -1\)。因此 \(I\) 的行为类似于虚数单位！
例 50.3 (欧氏三维空间中的几何积)
取 \(V = \mathbb{R}^3\)，\(Q(v) = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2\)。\(\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^3, Q)\) 的维数为 \(2^3 = 8\)，基为
分次结构：标量（1维）、向量（3维）、二向量（3维）、赝标量（1维），共 \(1+3+3+1 = 8\)。
赝标量 \(I = e_1 e_2 e_3\) 满足 \(I^2 = -1\)，且 \(I\) 与所有元素对易（即 \(I\) 在代数的中心）。
向量叉积可通过几何积表达：
50.3 低维 Clifford 代数¶
核心问题：低维情形的 Clifford 代数同构于哪些熟知的代数？
定理 50.3 (低维 Clifford 代数的分类)
以下是实向量空间上主要的低维 Clifford 代数（\((p,q)\) 表示符号为 \((p,q)\) 的二次型）：
| \((p,q)\) | \(\mathrm{Cl}(p,q)\) | 维数 | 说明 |
|---|---|---|---|
| \((0,0)\) | \(\mathbb{R}\) | \(1\) | 实数 |
| \((1,0)\) | \(\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}\) | \(2\) | 分裂复数 |
| \((0,1)\) | \(\mathbb{C}\) | \(2\) | 复数 |
| \((2,0)\) | \(M_2(\mathbb{R})\) | \(4\) | \(2 \times 2\) 实矩阵 |
| \((1,1)\) | \(M_2(\mathbb{R})\) | \(4\) | \(2 \times 2\) 实矩阵 |
| \((0,2)\) | \(\mathbb{H}\) | \(4\) | 四元数 |
| \((3,0)\) | \(M_2(\mathbb{C})\) | \(8\) | \(2 \times 2\) 复矩阵 |
| \((0,3)\) | \(\mathbb{H} \oplus \mathbb{H}\) | \(8\) | 两份四元数 |
| \((1,3)\) | \(M_2(\mathbb{H})\) | \(16\) | \(2 \times 2\) 四元数矩阵 |
验证主要情形
\(\mathrm{Cl}(0,1) \cong \mathbb{C}\)： \(V = \mathbb{R}\)，\(Q(v) = -v^2\)。\(\mathrm{Cl}(0,1)\) 由 \(1\) 和 \(e_1\) 生成，\(e_1^2 = -1\)。这正是 \(\mathbb{C} = \{a + bi : i^2 = -1\}\)。
\(\mathrm{Cl}(0,2) \cong \mathbb{H}\)： \(V = \mathbb{R}^2\)，\(Q(v) = -(v_1^2 + v_2^2)\)。基 \(\{e_1, e_2\}\) 满足 \(e_1^2 = e_2^2 = -1\)，\(e_1 e_2 = -e_2 e_1\)。
令 \(i = e_1\)，\(j = e_2\)，\(k = e_1 e_2\)。则 \(k^2 = e_1 e_2 e_1 e_2 = -e_1 e_1 e_2 e_2 = -(-1)(-1) = -1\)。且 \(ij = k\)，\(ji = -k\)，\(jk = i\)，\(ki = j\)，等等。这正是四元数 \(\mathbb{H}\) 的定义关系。
\(\mathrm{Cl}(2,0) \cong M_2(\mathbb{R})\)： \(e_1^2 = e_2^2 = 1\)，\(e_1 e_2 = -e_2 e_1\)。对应
验证：\(e_1^2 = I\)，\(e_2^2 = I\)，\(e_1 e_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = -e_2 e_1\)。四个基元素 \(I, e_1, e_2, e_1 e_2\) 线性无关，恰好张成 \(M_2(\mathbb{R})\)。
\(\mathrm{Cl}(1,0) \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}\)： \(e_1^2 = 1\)。令 \(e_+ = \frac{1+e_1}{2}\)，\(e_- = \frac{1-e_1}{2}\)，则 \(e_+^2 = e_+\)，\(e_-^2 = e_-\)，\(e_+ e_- = 0\)，\(e_+ + e_- = 1\)。故 \(\mathrm{Cl}(1,0) = \mathbb{R} e_+ \oplus \mathbb{R} e_- \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}\)。
例 50.4 (复数作为 Clifford 代数)
\(\mathbb{C} \cong \mathrm{Cl}(0,1)\)。复数乘法 \((a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\) 正是 Clifford 积。
复数的共轭 \(\overline{a+bi} = a-bi\) 对应 Clifford 代数的主反自同构（reversion）。\(|z|^2 = z\bar{z} = a^2+b^2 = Q(-v) \cdot 1\)（这里 \(Q\) 是负定的）。
例 50.5 (四元数作为 Clifford 代数)
\(\mathbb{H} \cong \mathrm{Cl}(0,2)\)。四元数乘法规则 \(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\) 编码了 \(\mathbb{R}^2\) 上的负定二次型。
四元数的共轭 \(\overline{a+bi+cj+dk} = a-bi-cj-dk\) 对应 Clifford 代数的反自同构。\(|q|^2 = q\bar{q} = a^2+b^2+c^2+d^2\)。
50.4 Clifford 代数的结构¶
核心问题：Clifford 代数有什么内在的代数结构？分次、滤过、周期性？
定义 50.5 (偶子代数)
\(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 有自然的 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)-分次：
其中 \(\mathrm{Cl}^0\) 由偶数个向量的乘积张成（标量、二向量、四向量、...），\(\mathrm{Cl}^1\) 由奇数个向量的乘积张成。\(\mathrm{Cl}^0(V,Q)\) 是一个子代数，称为偶子代数（even subalgebra），维数为 \(2^{n-1}\)。
定理 50.4 (偶子代数的同构)
例如：\(\mathrm{Cl}^0(3,0) \cong \mathrm{Cl}(0,2) \cong \mathbb{H}\)。这意味着三维欧氏空间的 Clifford 代数的偶子代数同构于四元数。
定义 50.6 (Clifford 代数的反自同构)
\(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 上有三个重要的对合/反自同构：
-
分次对合 \(\hat{\phantom{x}}\)（grade involution）：\(\hat{v} = -v\)（\(v \in V\)），\(\widehat{ab} = \hat{a}\hat{b}\)。作用于 \(k\)-向量：\(\hat{a}_k = (-1)^k a_k\)。
-
反转 \(\tilde{\phantom{x}}\)（reversion）：\(\tilde{v} = v\)（\(v \in V\)），\(\widetilde{ab} = \tilde{b}\tilde{a}\)。作用于 \(k\)-向量：\(\tilde{a}_k = (-1)^{k(k-1)/2} a_k\)。
-
Clifford 共轭 \(\bar{\phantom{x}}\)：\(\bar{a} = \widehat{\tilde{a}}\)。作用于 \(k\)-向量：\(\bar{a}_k = (-1)^{k(k+1)/2} a_k\)。
| \(k\) | \(\hat{a}_k\) | \(\tilde{a}_k\) | \(\bar{a}_k\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(+a_0\) | \(+a_0\) | \(+a_0\) |
| 1 | \(-a_1\) | \(+a_1\) | \(-a_1\) |
| 2 | \(+a_2\) | \(-a_2\) | \(-a_2\) |
| 3 | \(-a_3\) | \(-a_3\) | \(+a_3\) |
定理 50.5 (Bott 周期性)
实 Clifford 代数满足 8-周期性（Bott periodicity）：
更一般地，\(\mathrm{Cl}(p+1, q+1) \cong \mathrm{Cl}(p, q) \otimes M_2(\mathbb{R})\)。
完整的 8-周期分类表：
| \(n \bmod 8\) | \(\mathrm{Cl}(n, 0)\) |
|---|---|
| 0 | \(M_{2^{n/2}}(\mathbb{R})\) |
| 1 | \(M_{2^{(n-1)/2}}(\mathbb{C})\) |
| 2 | \(M_{2^{(n-2)/2}}(\mathbb{H})\) |
| 3 | \(M_{2^{(n-3)/2}}(\mathbb{H}) \oplus M_{2^{(n-3)/2}}(\mathbb{H})\) |
| 4 | \(M_{2^{(n-2)/2}}(\mathbb{H})\) |
| 5 | \(M_{2^{(n-1)/2}}(\mathbb{C})\) |
| 6 | \(M_{2^{n/2}}(\mathbb{R})\) |
| 7 | \(M_{2^{(n-1)/2}}(\mathbb{R}) \oplus M_{2^{(n-1)/2}}(\mathbb{R})\) |
证明思路
关键等式 \(\mathrm{Cl}(p+1,q+1) \cong \mathrm{Cl}(p,q) \otimes M_2(\mathbb{R})\) 的证明：
设 \(\{e_1, \ldots, e_p, f_1, \ldots, f_q, e, f\}\) 是 \(\mathbb{R}^{p+1+q+1}\) 的正交基，\(e^2 = 1\)，\(f^2 = -1\)。令 \(\varepsilon = ef\)，则 \(\varepsilon^2 = ef \cdot ef = -e f f e = e^2 = 1\)（利用 \(f^2 = -1\) 和反交换性），且 \(\varepsilon\) 与 \(e_i, f_j\) 反交换。
定义 \(e_i' = e_i \varepsilon\)，\(f_j' = f_j \varepsilon\)，则 \((e_i')^2 = e_i \varepsilon e_i \varepsilon = -e_i^2 \varepsilon^2 = -1 \cdot 1\)... 通过仔细的计算可以建立所需的同构。
8-周期性则由 \(\mathrm{Cl}(n+2,0) \cong \mathrm{Cl}(0,n) \otimes \mathrm{Cl}(2,0) \cong \mathrm{Cl}(0,n) \otimes M_2(\mathbb{R})\) 和类似的关系链式推导得到。
50.5 旋量与旋转¶
核心问题：如何用 Clifford 代数元素表示旋转和反射？Spin 群如何自然出现？
定理 50.6 (Clifford 代数中的反射)
设 \(v \in V\) 满足 \(Q(v) \neq 0\)。映射
是关于 \(v^{\perp}\)（\(v\) 的正交补超平面）的反射。即
证明
\(vwv^{-1} = vw \frac{v}{Q(v)}\)。利用 \(vw = 2B(v,w) - wv\)：
（更直接地：利用 \(vw + wv = 2B(v,w)\)。）
故 \(-vwv^{-1} = -\frac{vwv}{Q(v)} = w - 2\frac{B(v,w)}{Q(v)}v\)，正好是关于 \(v^{\perp}\) 的反射公式。
定义 50.7 (旋量 / Rotor)
旋量（rotor）是 \(\mathrm{Cl}^0(V,Q)\) 中的可逆元素 \(R\)，满足
其中 \(\tilde{R}\) 是 \(R\) 的反转。旋量通过夹心积（sandwich product）作用于向量：
每个旋量定义 \(V\) 上的一个旋转（保持 \(Q\) 的正交变换，且行列式为 \(+1\)）。
定理 50.7 (Cartan-Dieudonné 定理的 Clifford 版本)
每个正交变换 \(\varphi \in O(V, Q)\) 可以写成有限个反射的复合：
对应地，在 Clifford 代数中：
若 \(m\) 为偶数，\(\varphi \in SO(V,Q)\)（旋转），\(R = v_1 v_2 \cdots v_m \in \mathrm{Cl}^0\) 是旋量。
定义 50.8 (Pin 群和 Spin 群)
Pin 群：
Spin 群：
定理 50.8 (Spin 群是 SO 的二重覆盖)
映射 \(\rho: \mathrm{Spin}(V,Q) \to SO(V,Q)\)，\(\rho(R)(w) = R w \tilde{R}\)，是满的群同态，其核为 \(\{+1, -1\}\)。因此
\(\mathrm{Spin}(V,Q)\) 是 \(SO(V,Q)\) 的二重覆盖。
例 50.6 (三维旋转)
在 \(\mathrm{Cl}(3,0)\) 中，绕单位向量 \(\hat{n}\) 旋转角度 \(\theta\) 的旋量为
其中 \(I_3 = e_1 e_2 e_3\) 是赝标量。注意 \(I_3 \hat{n}\) 是一个二向量。
更具体地，绕 \(e_3\) 轴旋转角度 \(\theta\)：
验证：\(R e_1 \tilde{R} = e_1 \cos\theta + e_2 \sin\theta\)，\(R e_2 \tilde{R} = -e_1 \sin\theta + e_2 \cos\theta\)，\(R e_3 \tilde{R} = e_3\)。
这与四元数旋转 \(q = \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}(n_1 i + n_2 j + n_3 k)\)，\(v \mapsto qvq^{-1}\) 完全一致。事实上 \(\mathrm{Spin}(3) \cong SU(2) \cong S^3\)（三维球面/单位四元数群）。
例 50.7 (旋转的复合)
两个旋转的复合在 Clifford 代数中表现为旋量的乘积：
这比旋转矩阵的乘法更紧凑（\(4\) 个分量 vs. \(9\) 个矩阵元素），且避免了万向节锁（gimbal lock）问题。
50.6 矩阵表示¶
核心问题：Clifford 代数如何用矩阵实现？物理学中的 Pauli 矩阵和 Dirac 矩阵从何而来？
定义 50.9 (Pauli 矩阵)
Pauli 矩阵是 \(\mathrm{Cl}(3,0)\) 的 \(2 \times 2\) 复矩阵表示中 \(e_1, e_2, e_3\) 的像：
验证：\(\sigma_i^2 = I_2\)，\(\sigma_i \sigma_j = -\sigma_j \sigma_i\)（\(i \neq j\)），\(\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = iI_2\)。
这些矩阵连同 \(I_2\) 在 \(\mathbb{C}\) 上线性无关，张成 \(M_2(\mathbb{C})\)。这给出同构 \(\mathrm{Cl}(3,0) \cong M_2(\mathbb{C})\)。
定理 50.9 (Pauli 矩阵的性质)
Pauli 矩阵满足：
- \(\sigma_i \sigma_j + \sigma_j \sigma_i = 2\delta_{ij} I_2\)（Clifford 关系）；
- \(\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I_2 + i\varepsilon_{ijk} \sigma_k\)（乘法公式）；
- \(\operatorname{tr}(\sigma_i) = 0\)；
- \(\det(\sigma_i) = -1\)；
- \(\sigma_i^{\dagger} = \sigma_i\)（Hermite 性）。
定义 50.10 (Dirac 矩阵)
Dirac 矩阵（或 \(\gamma\) 矩阵）是 \(\mathrm{Cl}(1,3)\)（闵可夫斯基时空）的 \(4 \times 4\) 复矩阵表示：
满足
其中 \(\eta = \operatorname{diag}(1, -1, -1, -1)\) 是闵可夫斯基度量。
此外定义
满足 \((\gamma^5)^2 = I_4\)，\(\gamma^5 \gamma^{\mu} = -\gamma^{\mu} \gamma^5\)。\(\gamma^5\) 定义了手征性（chirality）。
例 50.8 (旋量表示)
\(\mathrm{Spin}(3) \cong SU(2)\) 的自然表示空间 \(\mathbb{C}^2\) 称为旋量空间。旋量 \(\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2\) 在旋转 \(R = \exp(-\frac{\theta}{2} \hat{n} \cdot \vec{\sigma})\) 下变换为
注意旋转 \(2\pi\)（\(\theta = 2\pi\)）给出 \(R = -I_2\)，即 \(\psi \mapsto -\psi\)。旋量在 \(2\pi\) 旋转下变号！这是 Spin 群二重覆盖的物理表现。
\(\mathrm{Spin}(1,3) \cong SL_2(\mathbb{C})\) 的自然表示空间 \(\mathbb{C}^4\) 是 Dirac 旋量空间，\(\gamma^5\) 的特征子空间给出 Weyl 旋量。
50.7 几何代数的应用¶
核心问题：几何代数如何简化旋转、反射和其他几何运算的表达？它在物理学中有哪些应用？
定理 50.10 (旋转和反射的统一表示)
在 \(\mathrm{Cl}(n,0)\)（欧氏 Clifford 代数）中：
- 反射关于超平面 \(v^{\perp}\)：\(w \mapsto -vwv^{-1}\)（\(v\) 为超平面法向量）；
- 旋转绕平面 \(B = e_i \wedge e_j\)：\(w \mapsto RwR^{-1}\)，\(R = \exp(-\frac{\theta}{2}B)\)；
- 两个反射的复合是旋转：\(\rho_{v_1} \circ \rho_{v_2}\) 对应 \(R = v_1 v_2\)。
这一框架对任意维数都适用，不需要选择坐标系或欧拉角。
例 50.9 (用几何代数做投影)
向量 \(w\) 在向量 \(v\)（\(Q(v) \neq 0\)）上的正交投影：
注意：这里利用了 \(wv = w \cdot v + w \wedge v\)，故 \(w \cdot v = \frac{1}{2}(wv + vw)\)，\(w \wedge v = \frac{1}{2}(wv - vw)\)。
例 50.10 (Maxwell 方程的几何代数形式)
在时空代数 \(\mathrm{Cl}(1,3)\) 中，电磁场张量 \(F\) 可以写成二向量：
其中 \(\vec{E} = E_1 \gamma_1 \gamma_0 + E_2 \gamma_2 \gamma_0 + E_3 \gamma_3 \gamma_0\) 是电场二向量，\(I = \gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3\) 是赝标量，\(\vec{B}\) 类似。
全部四个 Maxwell 方程统一为一个方程：
其中 \(\nabla = \gamma^{\mu} \partial_{\mu}\) 是时空向量导数，\(J\) 是电流密度四维向量。
标量部分给出 \(\nabla \cdot \vec{E} = \rho\)（Gauss 定律），向量部分给出 \(\nabla \times \vec{B} - \partial_t \vec{E} = \vec{J}\)（Ampere 定律），等等。
例 50.11 (共形几何代数简介)
共形几何代数（CGA）将 \(\mathbb{R}^n\) 嵌入到 \(\mathrm{Cl}(n+1,1)\) 中，使得平移、旋转、缩放和特殊共形变换都可以用旋量表示。
基本思想：\(\mathbb{R}^n\) 中的点 \(x\) 表示为空向量
其中 \(e_0, e_{\infty}\) 是额外的两个基向量，\(e_0 \cdot e_{\infty} = -1\)。
在 CGA 中：
- 球面（含平面）表示为向量；
- 圆（含直线）表示为二向量（两球面的交）；
- 旋转：\(X \mapsto RXR^{-1}\)，\(R = \exp(-\frac{\theta}{2}B)\)；
- 平移：\(X \mapsto TXT^{-1}\)，\(T = 1 - \frac{1}{2}t e_{\infty}\)。
这在计算机图形学和机器人学中极为有用。
定理 50.11 (Clifford 代数的分类定理)
实 Clifford 代数 \(\mathrm{Cl}(p,q)\) 完全由 \((p-q) \bmod 8\) 决定（Bott 周期性），同构于以下形式之一：
复 Clifford 代数更简单（2-周期性）：
本章总结¶
Clifford 代数 \(\mathrm{Cl}(V,Q)\) 是将向量空间的度量结构（二次型 \(Q\)）编码到代数乘法中的万有构造。它的核心思想极为简洁：向量的平方等于其"长度"（\(v^2 = Q(v)\)），而正交向量反交换（\(vw = -wv\)）。从这个简单的出发点，自然地产生了：
| 构造 | 来源 |
|---|---|
| 复数 \(\mathbb{C}\) | \(\mathrm{Cl}(0,1)\) |
| 四元数 \(\mathbb{H}\) | \(\mathrm{Cl}(0,2)\) |
| 外代数 \(\Lambda(V)\) | \(\mathrm{Cl}(V, 0)\) |
| Spin 群 | \(\mathrm{Cl}^0\) 中的特定子群 |
| 旋量表示 | Clifford 代数的矩阵表示 |
习题¶
习题 50.1
在 \(\mathrm{Cl}(2,0)\) 中，验证 \(e_1 \mapsto \sigma_3\)，\(e_2 \mapsto \sigma_1\) 给出同构 \(\mathrm{Cl}(2,0) \cong M_2(\mathbb{R})\)。
习题 50.2
在 \(\mathrm{Cl}(3,0)\) 中，计算绕 \(\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(e_1 + e_2 + e_3)\) 旋转 \(120°\) 的旋量 \(R\)，并验证 \(R e_1 \tilde{R} = e_2\)。
习题 50.3
证明 \(\mathrm{Cl}(0,2) \cong \mathbb{H}\) 中，偶子代数 \(\mathrm{Cl}^0(0,2) \cong \mathbb{C}\)。
习题 50.4
验证 Dirac 矩阵满足 \(\{\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}\} = 2\eta^{\mu\nu}I_4\)。
习题 50.5
设 \(a, b\) 是 \(\mathrm{Cl}(n,0)\) 中的单位向量（\(a^2 = b^2 = 1\)）。证明 \(R = ab\) 是旋量（\(R\tilde{R} = 1\)），并说明 \(v \mapsto RvR^{-1}\) 的几何意义。
习题 50.6
证明：在 \(\mathrm{Cl}(3,0)\) 中，赝标量 \(I = e_1 e_2 e_3\) 满足 \(Iv = vI\)（对所有 \(v \in \mathbb{R}^3\)），即 \(I\) 在代数中心。