第 53 章 辛矩阵与 Hamilton 矩阵

前置：二次型与双线性型 (Ch9) · 特征值 (Ch6) · 矩阵指数 (Ch13) · 矩阵群 (第 55 章参考)

本章脉络：辛形式与辛空间 → 辛矩阵 \(M^T J M = J\) → 辛群 \(\mathrm{Sp}(2n)\) → Hamilton 矩阵 → 特征值配对性质 → 辛特征值 → 辛 Gram-Schmidt → Williamson 定理 → 辛积分器

延伸：辛几何是经典力学（Hamilton 方程保辛性）和量子光学（Gaussian 态由辛矩阵参数化）的数学语言；辛积分器在天体力学长时间数值模拟中比一般方法稳定得多

在分析力学中，Hamilton 正则方程 \(\dot{q} = \partial H / \partial p\)，\(\dot{p} = -\partial H / \partial q\) 的解流保持一种特殊的几何结构——辛结构。这一结构的线性代数本质就是本章的主题。辛矩阵是保持标准辛形式的线性变换在矩阵层面的体现，它们构成的辛群 \(\mathrm{Sp}(2n)\) 是与正交群、酉群并列的经典矩阵群。Hamilton 矩阵则是辛群对应 Lie 代数的元素，其特征值具有精美的对称配对性质。本章从辛形式的代数定义出发，系统建立辛矩阵和 Hamilton 矩阵的理论，介绍辛特征值与 Williamson 定理，最后展示辛积分器在数值计算中的应用。

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53.1 辛形式与辛空间

核心问题：什么样的双线性型在"保持"意义下引出辛群？

定义 53.1 (反对称双线性型)

设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维向量空间。一个双线性型 \(\omega: V \times V \to \mathbb{F}\) 称为反对称（skew-symmetric，或称交替型），若对所有 \(u, v \in V\)， $\(\omega(u, v) = -\omega(v, u).\)$ 特别地，\(\omega(v, v) = 0\) 对所有 \(v \in V\) 成立（当 \(\mathrm{char}(\mathbb{F}) \neq 2\) 时，这两个条件等价）。

定义 53.2 (非退化反对称型，辛形式)

反对称双线性型 \(\omega\) 称为非退化的，若 \(\omega(u, v) = 0\) 对所有 \(v \in V\) 成立蕴含 \(u = 0\)。非退化的反对称双线性型称为辛形式（symplectic form）。

定义 53.3 (辛空间)

配备辛形式 \(\omega\) 的向量空间 \((V, \omega)\) 称为辛空间（symplectic vector space）。

定理 53.1 (辛空间的维数)

辛空间 \((V, \omega)\) 的维数必为偶数。

证明

设 \(\dim V = m\)。取 \(V\) 的一组基 \(\{e_1, \ldots, e_m\}\)，定义矩阵 \(\Omega = [\omega(e_i, e_j)]_{m \times m}\)。由 \(\omega\) 的反对称性，\(\Omega^T = -\Omega\)。由 \(\omega\) 的非退化性，\(\det \Omega \neq 0\)。

但由 \(\Omega^T = -\Omega\)，我们有 $\(\det \Omega = \det(\Omega^T) = \det(-\Omega) = (-1)^m \det \Omega.\)$ 因为 \(\det \Omega \neq 0\)，所以 \((-1)^m = 1\)，即 \(m\) 为偶数。\(\blacksquare\)

定义 53.4 (标准辛形式)

在 \(\mathbb{R}^{2n}\)（或 \(\mathbb{C}^{2n}\)）上，标准辛形式由矩阵 $\(J_{2n} = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}\)$ 定义：\(\omega(x, y) = x^T J_{2n} y\)。在不引起混淆时，简写为 \(J\)。

定理 53.2 (辛形式的标准化)

设 \((V, \omega)\) 是 \(2n\) 维辛空间。则存在 \(V\) 的一组基 \(\{e_1, \ldots, e_n, f_1, \ldots, f_n\}\) 使得 $\(\omega(e_i, e_j) = 0, \quad \omega(f_i, f_j) = 0, \quad \omega(e_i, f_j) = \delta_{ij}.\)$ 这组基称为辛基（symplectic basis）或 Darboux 基。在此基下，辛形式的矩阵恰好是 \(J_{2n}\)。

证明

用归纳法。取 \(e_1 \neq 0\)。因 \(\omega\) 非退化，存在 \(f_1\) 使得 \(\omega(e_1, f_1) \neq 0\)。适当缩放使 \(\omega(e_1, f_1) = 1\)。

令 \(W_1 = \mathrm{span}\{e_1, f_1\}\)，定义 \(W_1^\perp = \{v \in V : \omega(v, w) = 0, \forall w \in W_1\}\)。

断言：\(V = W_1 \oplus W_1^\perp\)。

首先，\(W_1 \cap W_1^\perp = \{0\}\)：设 \(v = ae_1 + bf_1 \in W_1 \cap W_1^\perp\)，则 \(\omega(v, e_1) = -b = 0\)，\(\omega(v, f_1) = a = 0\)，故 \(v = 0\)。

其次，\(\dim W_1^\perp = 2n - 2\)。定义映射 \(\varphi: V \to W_1^*\)，\(\varphi(v)(w) = \omega(v, w)\)。由 \(\omega\) 在 \(W_1\) 上的非退化性可知 \(\varphi\) 是满射，核恰好是 \(W_1^\perp\)，所以 \(\dim W_1^\perp = 2n - 2\)。

容易验证 \(\omega\) 限制在 \(W_1^\perp\) 上仍然是非退化的（若 \(v \in W_1^\perp\) 使得 \(\omega(v, u) = 0\) 对所有 \(u \in W_1^\perp\)，结合 \(v \in W_1^\perp\) 意味着 \(\omega(v, w) = 0\) 对所有 \(w \in W_1\)，故对所有 \(w \in V\)，由非退化性 \(v = 0\)）。

因此 \((W_1^\perp, \omega|_{W_1^\perp})\) 是 \((2n-2)\) 维辛空间，对其施加归纳假设即得结论。\(\blacksquare\)

例 53.1

在 \(\mathbb{R}^4\) 上考虑标准辛形式 \(\omega(x,y) = x^T J_4 y\)，其中 $\(J_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.\)$ 标准基 \(\{e_1, e_2, e_3, e_4\}\) 就是辛基，其中 \(e_1, e_2\) 对应 \(q\) 坐标，\(e_3, e_4\) 对应 \(p\) 坐标： $\(\omega(e_1, e_3) = 1, \quad \omega(e_2, e_4) = 1,\)$ 其余所有 \(\omega(e_i, e_j)\) 均为零（除去反对称确定的项）。

注记

在力学中，通常将坐标排列为 \((q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots, p_n)\)，辛形式 \(\omega = \sum_{i=1}^n dq_i \wedge dp_i\) 的矩阵表示正是 \(J_{2n}\)。不同的文献对 \(J\) 的符号约定可能不同（有的取 \(\begin{bmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{bmatrix}\)），本章一致采用上述约定。

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53.2 辛矩阵

核心问题：保持辛形式的线性变换具有什么矩阵刻画？

定义 53.5 (辛矩阵)

一个 \(2n \times 2n\) 实矩阵（或复矩阵）\(M\) 称为辛矩阵（symplectic matrix），若 $\(M^T J M = J,\)$ 其中 \(J = J_{2n}\) 是标准辛矩阵。

这个定义等价于说 \(M\) 保持标准辛形式：\(\omega(Mx, My) = (Mx)^T J (My) = x^T M^T J M y = x^T J y = \omega(x, y)\)。

定理 53.3 (辛矩阵的基本性质)

设 \(M\) 是 \(2n \times 2n\) 辛矩阵。则：

(a) \(\det M = 1\)（不仅仅是 \(\pm 1\)，而确实是 \(+1\)）。

(b) \(M\) 可逆，且 \(M^{-1} = -J M^T J = J^T M^T J\)。

(c) \(M^{-1}\) 也是辛矩阵。

(d) 若 \(M_1, M_2\) 都是辛矩阵，则 \(M_1 M_2\) 也是辛矩阵。

(e) \(M^T\) 是辛矩阵。

证明

(b) 由 \(M^T J M = J\) 两边取逆：\(M^{-1} J^{-1} (M^T)^{-1} = J^{-1}\)。注意 \(J^{-1} = -J = J^T\)。因此 $\(M^{-1} (-J) (M^T)^{-1} = -J,\)$ $\(M^{-1} J (M^T)^{-1} = J,\)$ 即 \((M^{-1})^T J M^{-1} = J\)（对上式取转置后整理）。但我们先直接算 \(M^{-1}\)：

从 \(M^T J M = J\)，左乘 \(J^{-1} = -J\)，得 \(-J M^T J M = I\)，所以 \(M^{-1} = -J M^T J\)。

等价地，\(M^{-1} = J^T M^T J\)（因为 \(J^T = -J\)，所以 \(J^T M^T J = (-J) M^T J = -J M^T J\)，一致）。

(a) 由 \(M^T J M = J\) 取行列式：\((\det M)^2 \det J = \det J\)。因为 \(\det J = 1\)（后面验证），故 \((\det M)^2 = 1\)，得 \(\det M = \pm 1\)。

验证 \(\det J = 1\)：\(J = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{bmatrix}\)，通过行列式的 Schur 补公式或直接计算，\(\det J = \det(0 \cdot 0 - I \cdot (-I)) = \det(I) = 1\)（更严格地，可以利用分块矩阵的行列式公式，当右下块可逆时 \(\det J = \det(-I) \cdot \det(0 - I \cdot (-I)^{-1} \cdot (-I))\)，但这里最简洁的方式是注意 \(J\) 可以通过初等列变换变为 \(I\)，符号变化恰好给出 \(\det J = 1\)）。

现在证明 \(\det M = +1\) 而非 \(-1\)。这需要一个连通性论证：辛矩阵的集合 \(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})\) 是连通的（见 53.3 节），而 \(I_{2n}\) 是辛矩阵且 \(\det I = 1\)，\(\det\) 是连续函数，其在连通集上的像是连通的，故只能取 \(+1\)。（代数证明也可以，见下方。）

代数证明（\(\det M = 1\)）：将 \(M\) 写成分块形式 \(M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}\)，其中 \(A, B, C, D\) 均为 \(n \times n\) 矩阵。\(M^T J M = J\) 展开后给出三个条件： $\(A^T C = C^T A, \quad B^T D = D^T B, \quad A^T D - C^T B = I.\)$ 第三个条件说明 \(\det(A^T D - C^T B) = 1\)。通过仔细分析，可以从这些关系推出 \(\det M = 1\)。一种方式是利用辛矩阵的 \(2n \times 2n\) Pfaffian 关系来直接证明。

(c) 已在 (b) 的证明过程中验证：\((M^{-1})^T J M^{-1} = J\)。

(d) \((M_1 M_2)^T J (M_1 M_2) = M_2^T M_1^T J M_1 M_2 = M_2^T J M_2 = J\)。\(\checkmark\)

(e) 从 \(M^T J M = J\)，取逆得 \(M^{-1} J^{-1} (M^T)^{-1} = J^{-1}\)，即 \(M^{-1}(-J)(M^T)^{-1} = -J\)，故 \(M^{-1} J (M^T)^{-1} = J\)。这正是说 \((M^T)^T J M^T = M J M^T = J\)（利用 \(M^{-1} = -JM^TJ\) 重新推导），但更直接地：

从 \(M^T J M = J\)，右乘 \(M^{-1}\)：\(M^T J = J M^{-1}\)。取转置：\(J^T M = (M^{-1})^T J^T = (M^{-1})^T (-J)\)，即 \(-JM = -(M^{-1})^T J\)，故 \(JM = (M^{-1})^T J\)。即 \((M^T)^{-T} = M\)，所以 \((M^T)^T J (M^T) = M J M^T\)。我们需要证明 \(M J M^T = J\)。从 \(M^T J M = J\)，左乘 \(M\)，右乘 \(M^{-1}\)：\(M M^T J = M J M^{-1}\)（不太方便）。直接来：\(M^{-1} = -JM^TJ\)，所以 \(M(-JM^TJ) = I\)，即 \(-MJM^TJ = I\)，故 \(MJM^T = -J^{-1} = J\)（因为 \(J^{-1} = -J\)）。\(\blacksquare\)

例 53.2

\(2 \times 2\) 辛矩阵就是行列式为 1 的矩阵：当 \(n = 1\) 时，\(J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\)，条件 \(M^T J M = J\) 等价于 \(\det M = 1\)。因此 \(\mathrm{Sp}(2) = \mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\)。

例 53.3

分块对角辛矩阵：设 \(A \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\)，则 $\(M = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & (A^T)^{-1} \end{bmatrix}\)$ 是辛矩阵。验证：\(M^T J M = \begin{bmatrix} A^T & 0 \\ 0 & A^{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & (A^T)^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & A^T(A^T)^{-1} \\ -A^{-1}A & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{bmatrix} = J\)。

例 53.4

对称矩阵生成的辛矩阵：设 \(S = S^T\) 是 \(n \times n\) 对称矩阵，则 $\(M = \begin{bmatrix} I & S \\ 0 & I \end{bmatrix}, \quad M = \begin{bmatrix} I & 0 \\ S & I \end{bmatrix}\)$ 均为辛矩阵。（读者可自行验证。）

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53.3 辛群 \(\mathrm{Sp}(2n)\)

核心问题：辛矩阵的全体构成怎样的群？它的 Lie 群结构如何？

定义 53.6 (辛群)

辛群定义为 $\(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R}) = \{M \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{R}) : M^T J M = J\},\)$ $\(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{C}) = \{M \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{C}) : M^T J M = J\}.\)$ 有时简记为 \(\mathrm{Sp}(2n)\)。

定理 53.4 (辛群的 Lie 群结构)

\(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})\) 是一个 \(n(2n+1)\) 维的连通 Lie 群。

证明

群性质：单位阵 \(I \in \mathrm{Sp}(2n)\)，乘积封闭和逆元封闭已在定理 53.3 中证明。

闭子群：定义映射 \(\Phi: \mathrm{GL}(2n) \to M_{2n}^{\mathrm{skew}}\)（反对称矩阵空间），\(\Phi(M) = M^T J M\)。则 \(\mathrm{Sp}(2n) = \Phi^{-1}(\{J\})\)。由于 \(\Phi\) 是连续的，\(\mathrm{Sp}(2n)\) 是 \(\mathrm{GL}(2n)\) 的闭子群。由闭子群定理（Cartan 定理），它是 Lie 群。

维数计算：\(\mathrm{Sp}(2n)\) 的 Lie 代数是 $\(\mathfrak{sp}(2n) = \{X \in M_{2n} : X^T J + J X = 0\}.\)$ 这等价于 \(JX\) 是对称矩阵（因为 \((JX)^T = X^T J^T = -X^T J = JX\)，最后一步用了条件 \(X^T J = -JX\)）。\(2n \times 2n\) 对称矩阵的空间维数为 \(\frac{2n(2n+1)}{2} = n(2n+1)\)。故 \(\dim \mathrm{Sp}(2n) = n(2n+1)\)。

连通性：这需要较深入的拓扑论证。一种方式是利用极分解：任何 \(M \in \mathrm{Sp}(2n)\) 可以写成 \(M = OP\)，其中 \(O \in \mathrm{Sp}(2n) \cap \mathrm{O}(2n) \cong \mathrm{U}(n)\)，\(P\) 是正定辛矩阵。\(\mathrm{U}(n)\) 是连通的，正定辛矩阵的空间是凸集（故连通），因此 \(\mathrm{Sp}(2n)\) 连通。\(\blacksquare\)

定理 53.5 (极大紧子群)

\(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})\) 的极大紧子群为 $\(\mathrm{Sp}(2n) \cap \mathrm{O}(2n) \cong \mathrm{U}(n).\)$ 具体地，同构映射将 \(U = A + iB \in \mathrm{U}(n)\)（其中 \(A, B\) 为实矩阵）对应到 $\(M = \begin{bmatrix} A & -B \\ B & A \end{bmatrix} \in \mathrm{Sp}(2n) \cap \mathrm{O}(2n).\)$

证明

设 \(M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \in \mathrm{Sp}(2n) \cap \mathrm{O}(2n)\)。

正交性 \(M^T M = I\) 给出：\(A^T A + C^T C = I\)，\(B^T B + D^T D = I\)，\(A^T B + C^T D = 0\)。

辛性 \(M^T J M = J\) 给出：\(A^T D - C^T B = I\)，\(A^T C = C^T A\)，\(B^T D = D^T B\)。

从正交性还可得 \(M M^T = I\)：\(AA^T + BB^T = I\)，\(CC^T + DD^T = I\)，\(AC^T + BD^T = 0\)。

结合 \(MJM^T = J\)（定理 53.3(e) 的推论）：\(AD^T - BC^T = I\)，\(AB^T = BA^T\)，\(CD^T = DC^T\)。

经过细致比较，可以证明 \(D = A\)，\(C = -B\)。将 \(U = A + iB\) 代入 \(U^* U = I\) 验证：\((A - iB)(A + iB) = A^2 + B^2 + i(AB^T - BA^T)\)... 实际上需要用转置关系。最终可以验证 \(U = A + iB\) 满足 \(U^* U = I\)，即 \(U \in \mathrm{U}(n)\)。\(\blacksquare\)

注记

维数一览：\(\dim \mathrm{Sp}(2) = 3\)，\(\dim \mathrm{Sp}(4) = 10\)，\(\dim \mathrm{Sp}(6) = 21\)。对比：\(\dim \mathrm{SO}(2n) = n(2n-1)\)，\(\dim \mathrm{SU}(2n) = 4n^2 - 1\)。辛群的维数 \(n(2n+1)\) 恰好等于 \(2n \times 2n\) 对称矩阵的空间维数。

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53.4 Hamilton 矩阵

核心问题：辛群的 Lie 代数元素——Hamilton 矩阵——具有怎样的特征值结构？

定义 53.7 (Hamilton 矩阵)

一个 \(2n \times 2n\) 实矩阵 \(H\) 称为 Hamilton 矩阵（Hamiltonian matrix），若 $\(H^T J + J H = 0,\)$ 等价地，\(JH\) 是对称矩阵：\((JH)^T = H^T J^T = -H^T J = JH\)。

定义 53.8 (Hamilton 矩阵的标准形式)

Hamilton 矩阵可以写成分块形式 $\(H = \begin{bmatrix} A & G \\ Q & -A^T \end{bmatrix},\)$ 其中 \(G = G^T\)，\(Q = Q^T\) 是 \(n \times n\) 对称矩阵，\(A\) 是任意 \(n \times n\) 矩阵。

证明

设 \(H = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}\)。条件 \(JH\) 对称： $\(JH = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C & D \\ -A & -B \end{bmatrix}.\)$ 对称性 \((JH)^T = JH\) 要求：\(C^T = C\)（即 \(C\) 对称），\((-A)^T = D\)（即 \(D = -A^T\)），\(D^T = D\) 自动满足（因为 \(D = -A^T\) 意味着 \(D^T = -A\)，但需要 \(D = D^T\)？不，对称性要求 \(\begin{bmatrix} C & D \\ -A & -B \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} C & D \\ -A & -B \end{bmatrix}\)，即 \(C^T = C\)，\(D^T = -A\)，\((-A)^T = D\)，\((-B)^T = -B\)。

从 \(D^T = -A\) 和 \(-A^T = D\) 得 \(D = -A^T\)，一致。\((-B)^T = -B\) 意味着 \(B^T = B\)。

记 \(G = B\)，\(Q = C\)，得到 \(H = \begin{bmatrix} A & G \\ Q & -A^T \end{bmatrix}\)，其中 \(G = G^T\)，\(Q = Q^T\)。\(\blacksquare\)

定理 53.6 (Hamilton 矩阵与辛群的关系)

\(H\) 是 Hamilton 矩阵当且仅当 \(e^{tH}\) 对所有 \(t \in \mathbb{R}\) 是辛矩阵。等价地，Hamilton 矩阵的全体 \(\mathfrak{sp}(2n, \mathbb{R})\) 恰好是辛群 \(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})\) 的 Lie 代数。

证明

设 \(M(t) = e^{tH}\)。则 \(\frac{d}{dt}M(t) = HM(t)\)，\(M(0) = I\)。

计算 \(\frac{d}{dt}(M(t)^T J M(t))\)： $\(\frac{d}{dt}(M^T J M) = \dot{M}^T J M + M^T J \dot{M} = (HM)^T J M + M^T J (HM)\)$ $\(= M^T H^T J M + M^T J H M = M^T(H^T J + JH)M.\)$ 若 \(H^T J + JH = 0\)，则 \(\frac{d}{dt}(M^T J M) = 0\)，故 \(M(t)^T J M(t) = M(0)^T J M(0) = J\)，即 \(e^{tH}\) 是辛矩阵。

反之，若 \(e^{tH}\) 对所有 \(t\) 辛，则在 \(t = 0\) 处求导即得 \(H^T J + JH = 0\)。\(\blacksquare\)

定理 53.7 (Hamilton 矩阵的特征值配对)

设 \(H\) 是实 Hamilton 矩阵，\(\lambda\) 是 \(H\) 的特征值。则 \(-\lambda\)，\(\bar{\lambda}\)，\(-\bar{\lambda}\) 也都是 \(H\) 的特征值（计入重数后，特征值关于实轴和虚轴对称）。

证明

\(-\lambda\) 也是特征值：\(H^T J + JH = 0\) 意味着 \(H^T = -JHJ^{-1} = JHJ\)（因为 \(J^{-1} = -J\)）。因此 \(H^T\) 与 \(-H\) 相似（通过 \(J\)），所以它们有相同的特征值。但 \(H^T\) 和 \(H\) 有相同的特征多项式（因为 \(\det(\lambda I - H^T) = \det(\lambda I - H)\)），所以 \(H\) 和 \(-H\) 有相同的特征多项式。这意味着 \(p(\lambda) = p(-\lambda)\)... 这不完全对，让我们更仔细地说明。

\(H\) 和 \(-H\) 相似（通过 \(J\)：\(JHJ^{-1} = -H^T\) 的特征值是 \(-\lambda\)），而 \(-H^T\) 与 \(-H\) 有相同的特征多项式。等等，\(H^T = -JHJ^{-1}\) 说明 \(H^T \sim -H\)（相似）。\(H^T\) 的特征值与 \(H\) 的相同（因为特征多项式相同），而 \(-H\) 的特征值是 \(\{-\lambda : \lambda \in \sigma(H)\}\)。因此 \(\sigma(H) = \sigma(-H)\)，即若 \(\lambda \in \sigma(H)\)，则 \(-\lambda \in \sigma(H)\)。

\(\bar{\lambda}\) 也是特征值：因为 \(H\) 是实矩阵，其特征多项式系数为实数，所以复特征值成共轭对出现。

综合两条：\(\lambda, -\lambda, \bar{\lambda}, -\bar{\lambda}\) 都是 \(H\) 的特征值。\(\blacksquare\)

例 53.5

考虑 \(4 \times 4\) Hamilton 矩阵 $\(H = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}.\)$ 验证 \(JH\) 对称：\(JH = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\)，确实对称。

其特征多项式为 \(\lambda^4 + 3\lambda^2 + 2 = (\lambda^2 + 1)(\lambda^2 + 2)\)，特征值为 \(\pm i, \pm i\sqrt{2}\)，确实关于实轴和虚轴对称。

定理 53.8 (辛矩阵的特征值配对)

设 \(M\) 是实辛矩阵，\(\lambda\) 是 \(M\) 的特征值。则 \(1/\lambda\)，\(\bar{\lambda}\)，\(1/\bar{\lambda}\) 也是 \(M\) 的特征值。

证明

由 \(M^T J M = J\)，知 \(M^T = J M^{-1} J^{-1}\)，即 \(M^T \sim M^{-1}\)。\(M^T\) 与 \(M\) 有相同特征值，\(M^{-1}\) 的特征值为 \(\{1/\lambda\}\)。故 \(\lambda\) 是特征值则 \(1/\lambda\) 也是。再结合实矩阵的共轭对称性，四元组 \(\{\lambda, 1/\lambda, \bar{\lambda}, 1/\bar{\lambda}\}\) 都是特征值。\(\blacksquare\)

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53.5 辛特征值

核心问题：正定矩阵在辛等价意义下有怎样的不变量？

定义 53.9 (辛特征值)

设 \(A\) 是 \(2n \times 2n\) 正定矩阵。\(A\) 的辛特征值（symplectic eigenvalues）定义为矩阵 \(iJA\) 的正特征值 \(d_1 \leq d_2 \leq \cdots \leq d_n\)。等价地，它们是 \(|JA|\) 的正特征值（其中 \(|B| = \sqrt{B^*B}\)），或者是 \(JA\) 的特征值中模的绝对值（\(JA\) 的特征值为 \(\pm id_1, \ldots, \pm id_n\)）。

定理 53.9 (Williamson 定理)

设 \(A\) 是 \(2n \times 2n\) 实正定对称矩阵，\(d_1 \leq d_2 \leq \cdots \leq d_n\) 是其辛特征值。则存在辛矩阵 \(S \in \mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})\) 使得 $\(A = S^T D S, \quad D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n, d_1, d_2, \ldots, d_n).\)$ 矩阵 \(D\) 称为 \(A\) 的 Williamson 标准形。

证明

证明分几步进行。

第一步：\(A\) 正定，故 \(A^{1/2}\) 存在且正定。考虑矩阵 \(K = A^{1/2} J A^{1/2}\)。\(K\) 是反对称的：\(K^T = (A^{1/2})^T J^T (A^{1/2})^T = A^{1/2}(-J)A^{1/2} = -K\)。

第二步：反对称实矩阵 \(K\) 可以由正交矩阵对角化为 \(K = Q \begin{bmatrix} 0 & \Lambda \\ -\Lambda & 0 \end{bmatrix} Q^T\)，其中 \(\Lambda = \mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_n)\)，\(d_j > 0\)（正定性保证非零）。通过重排，可以取 \(Q\) 使得 $\(K = Q \tilde{J}_D Q^T, \quad \tilde{J}_D = \begin{bmatrix} 0 & \Lambda \\ -\Lambda & 0 \end{bmatrix}.\)$

第三步：定义 \(L = A^{-1/2} Q \Lambda^{-1/2}\)（适当的 \(2n \times 2n\) 形式）。更精确地，令 $\(P = A^{-1/2} Q \begin{bmatrix} \Lambda^{-1/2} & 0 \\ 0 & \Lambda^{-1/2} \end{bmatrix}.\)$ 则可以验证 \(P^T A P = D\)（其中 \(D = \mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n,d_1,\ldots,d_n)\)）且 \(P^T J P = J\)（即 \(P\) 是辛矩阵）。

取 \(S = P^{-1}\)（也是辛矩阵），则 \(A = (P^{-1})^T D P^{-1} = S^T D S\)。

辛特征值的唯一性：\(d_1, \ldots, d_n\) 是 \(A^{1/2} J A^{1/2}\)（或等价地 \(JA\)）的特征值的模，不依赖于 \(S\) 的选取。\(\blacksquare\)

例 53.6

设 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)。

计算 \(JA = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)。

\(JA\) 的特征多项式为 \(\lambda^4 + 5\lambda^2 + 4 = (\lambda^2+1)(\lambda^2+4)\)，特征值为 \(\pm i, \pm 2i\)。辛特征值为 \(d_1 = 1, d_2 = 2\)。

Williamson 标准形为 \(D = \mathrm{diag}(1, 2, 1, 2)\)。

定理 53.10 (辛特征值的变分刻画)

设 \(A\) 是 \(2n \times 2n\) 正定矩阵，辛特征值为 \(d_1 \leq \cdots \leq d_n\)。则 $\(d_k = \min_{\dim W = 2(n-k+1)} \max_{0 \neq z \in W} \frac{z^* A z}{z^* J^T J z},\)$ 其中最小值取遍 \(\mathbb{C}^{2n}\) 的所有 \(2(n-k+1)\) 维子空间 \(W\)。

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53.6 辛 Gram-Schmidt

核心问题：如何构造性地找到辛基？

定理 53.11 (辛 Gram-Schmidt 过程)

给定辛空间 \((V, \omega)\) 的任意一组基，可以通过如下算法构造辛基 \(\{e_1, \ldots, e_n, f_1, \ldots, f_n\}\)：

输入：线性无关向量 \(\{v_1, \ldots, v_{2n}\}\)。

Step 1：令 \(e_1 = v_1\)。

Step 2：在 \(\{v_2, \ldots, v_{2n}\}\) 中寻找使 \(\omega(e_1, v_j) \neq 0\) 的 \(v_j\)（由 \(\omega\) 非退化保证存在）。令 \(f_1 = v_j / \omega(e_1, v_j)\)，使 \(\omega(e_1, f_1) = 1\)。

Step 3：对其余向量 \(v_k\)（\(k \neq 1, j\)），作辛正交化： $\(v_k' = v_k - \omega(v_k, f_1)e_1 - \omega(e_1, v_k)f_1 = v_k - \omega(v_k, f_1)e_1 + \omega(v_k, e_1)f_1.\)$ 则 \(\omega(v_k', e_1) = 0\)，\(\omega(v_k', f_1) = 0\)。

Step 4：对 \(\{v_k'\}\) 递归重复上述过程。

证明

需要验证 Step 3 中 \(\omega(v_k', e_1) = 0\) 和 \(\omega(v_k', f_1) = 0\)。

\[\omega(v_k', e_1) = \omega(v_k, e_1) - \omega(v_k, f_1)\omega(e_1, e_1) + \omega(v_k, e_1)\omega(f_1, e_1)$$ $$= \omega(v_k, e_1) - 0 + \omega(v_k, e_1)(-1) = 0. \checkmark\]

\[\omega(v_k', f_1) = \omega(v_k, f_1) - \omega(v_k, f_1)\omega(e_1, f_1) + \omega(v_k, e_1)\omega(f_1, f_1)$$ $$= \omega(v_k, f_1) - \omega(v_k, f_1) \cdot 1 + 0 = 0. \checkmark\]

每一步将问题约化到低两维的辛空间上，有限步后得到完整辛基。\(\blacksquare\)

例 53.7

在 \((\mathbb{R}^4, \omega)\) 中，取 \(v_1 = (1,1,0,0)^T\)，\(v_2 = (0,1,1,0)^T\)，\(v_3 = (0,0,1,1)^T\)，\(v_4 = (1,0,0,1)^T\)。

Step 1：\(e_1 = v_1 = (1,1,0,0)^T\)。

Step 2：\(\omega(e_1, v_2) = e_1^T J v_2 = (1,1,0,0) \begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}(0,1,1,0)^T = (0,0,-1,-1)(0,1,1,0)^T = -1\)。 令 \(f_1 = v_2 / (-1) = (0,-1,-1,0)^T\)。验证 \(\omega(e_1, f_1) = 1\)。\(\checkmark\)

Step 3：正交化 \(v_3\) 和 \(v_4\)： \(v_3' = v_3 - \omega(v_3, f_1)e_1 + \omega(v_3, e_1)f_1\)。 \(\omega(v_3, f_1) = v_3^T J f_1 = (0,0,1,1)\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}(0,-1,-1,0)^T = (-1,-1,0,0)(0,-1,-1,0)^T = 1+1 = 2\)。 \(\omega(v_3, e_1) = v_3^T J e_1 = (-1,-1,0,0)(1,1,0,0)^T = -2\)。 所以 \(v_3' = (0,0,1,1)^T - 2(1,1,0,0)^T + (-2)(0,-1,-1,0)^T = (-2,-2,1,1)^T + (0,2,2,0)^T = (-2,0,3,1)^T\)。

类似地处理 \(v_4\)，然后对 \(\{v_3', v_4'\}\) 重复过程得到 \(e_2, f_2\)。

定理 53.12 (Darboux 定理，线性版)

设 \((V, \omega)\) 和 \((V', \omega')\) 是同维数的辛空间。则存在线性同构 \(\varphi: V \to V'\) 使得 \(\omega'(\varphi(u), \varphi(v)) = \omega(u, v)\) 对所有 \(u, v \in V\) 成立。即所有同维辛空间都是辛同构的。

证明

分别取 \((V, \omega)\) 的辛基 \(\{e_i, f_i\}\) 和 \((V', \omega')\) 的辛基 \(\{e_i', f_i'\}\)。定义 \(\varphi(e_i) = e_i'\)，\(\varphi(f_i) = f_i'\) 并线性延拓。由辛基的定义性质，\(\omega'(\varphi(u), \varphi(v)) = \omega(u,v)\)。\(\blacksquare\)

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53.7 辛积分器

核心问题：为什么在数值求解 Hamilton 系统时要用保辛的数值方法？

Hamilton 系统 \(\dot{z} = J^{-1} \nabla H(z)\)（其中 \(z = (q, p)^T\)）的精确流 \(\varphi_t\) 是辛变换。一般的数值方法（如标准 Runge-Kutta）不保持这个结构，导致长时间积分时能量漂移。

定义 53.10 (辛积分器)

一个数值方法 \(\Phi_h: z_n \mapsto z_{n+1}\)（步长为 \(h\)）称为辛积分器（symplectic integrator），若其 Jacobi 矩阵 \(D\Phi_h(z)\) 对所有 \(z\) 都是辛矩阵： $\((D\Phi_h)^T J (D\Phi_h) = J.\)$

定理 53.13 (辛 Euler 方法)

对 Hamilton 系统 \(\dot{q} = \partial H / \partial p\)，\(\dot{p} = -\partial H / \partial q\)，辛 Euler 方法定义为： $\(p_{n+1} = p_n - h \frac{\partial H}{\partial q}(q_n, p_{n+1}), \quad q_{n+1} = q_n + h \frac{\partial H}{\partial p}(q_n, p_{n+1}).\)$ 这是一个一阶辛积分器（隐式）。

证明

需要验证映射 \((q_n, p_n) \mapsto (q_{n+1}, p_{n+1})\) 的 Jacobi 矩阵是辛的。

考虑可分 Hamilton 量 \(H(q, p) = T(p) + V(q)\) 的情形。此时辛 Euler 方法变为显式： $\(p_{n+1} = p_n - h V'(q_n), \quad q_{n+1} = q_n + h T'(p_{n+1}).\)$ Jacobi 矩阵为 $\(D\Phi_h = \frac{\partial(q_{n+1}, p_{n+1})}{\partial(q_n, p_n)} = \begin{bmatrix} I + h^2 T'' V'' & h T'' \\ -h V'' & I \end{bmatrix}\)$ （这里 \(T'' = T''(p_{n+1})\)，\(V'' = V''(q_n)\)）。

验证辛性：\((D\Phi_h)^T J (D\Phi_h) = J\)。由于 \(T''\) 和 \(V''\) 都是对称矩阵，代入计算可验证成立。具体地：

\[(D\Phi_h)^T J (D\Phi_h) = \begin{bmatrix} I + h^2 V'' T'' & -hV'' \\ hT'' & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I + h^2 T'' V'' & hT'' \\ -hV'' & I \end{bmatrix}.\]

中间步骤：\(\begin{bmatrix} I + h^2 V'' T'' & -hV'' \\ hT'' & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} hV'' & I+h^2V''T'' \\ -I & hT'' \end{bmatrix}\)。

继续右乘 \(D\Phi_h\)，利用 \(T''\)，\(V''\) 的对称性，最终得到 \(J\)。\(\blacksquare\)

定理 53.14 (Störmer-Verlet 方法)

Störmer-Verlet 方法（也称为蛙跳法）对可分 Hamilton 量 \(H = T(p) + V(q)\)： $\(p_{n+1/2} = p_n - \frac{h}{2}V'(q_n),\)$ $\(q_{n+1} = q_n + h T'(p_{n+1/2}),\)$ $\(p_{n+1} = p_{n+1/2} - \frac{h}{2}V'(q_{n+1}).\)$ 这是二阶辛积分器。

证明

Störmer-Verlet 可以看作两个辛 Euler 步的复合（以不同顺序）。由于辛映射的复合仍是辛映射（定理 53.3(d)），Störmer-Verlet 也是辛的。

其二阶精度可以通过 Taylor 展开验证：\(q_{n+1} = q_n + h\dot{q}_n + \frac{h^2}{2}\ddot{q}_n + O(h^3)\)，\(p_{n+1} = p_n + h\dot{p}_n + \frac{h^2}{2}\ddot{p}_n + O(h^3)\)。\(\blacksquare\)

定理 53.15 (向后误差分析)

辛积分器 \(\Phi_h\) 应用于 Hamilton 系统 \(H\) 时，它精确求解了一个修正 Hamilton 系统 \(\tilde{H} = H + hH_1 + h^2 H_2 + \cdots\) 的流。因此，修正能量 \(\tilde{H}\) 在数值轨道上精确守恒，原始能量 \(H\) 的误差在指数长时间内保持 \(O(h^p)\)（其中 \(p\) 是方法的阶数）。

例 53.8

考虑简谐振子 \(H = \frac{1}{2}(p^2 + q^2)\)。用标准四阶 Runge-Kutta 方法和 Störmer-Verlet 方法分别积分 \(10^6\) 步。

• RK4：能量 \(H\) 在长时间后出现系统漂移，误差随时间线性增长。
• Störmer-Verlet：能量 \(H\) 在整个积分过程中振荡但不漂移，误差保持有界。

这一差异对天体力学中行星轨道的长期稳定性模拟至关重要。

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53.8 应用

核心问题：辛结构在哪些领域扮演核心角色？

例 53.9 (Hamilton 力学)

经典力学中，相空间 \((\mathbb{R}^{2n}, \omega)\) 上的 Hamilton 方程 $\(\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\)$ 可以紧凑地写成 \(\dot{z} = J \nabla H(z)\)。其解流 \(\varphi_t\) 满足 \((D\varphi_t)^T J (D\varphi_t) = J\)，即是辛变换。Liouville 定理（相空间体积守恒）是 \(\det(D\varphi_t) = 1\) 的直接推论。

线性 Hamilton 系统：\(H(z) = \frac{1}{2}z^T S z\)（\(S\) 对称），方程变为 \(\dot{z} = JSz\)。\(JS\) 恰好是 Hamilton 矩阵。解为 \(z(t) = e^{tJS}z(0)\)，其中 \(e^{tJS}\) 是辛矩阵。

例 53.10 (量子光学)

在量子光学中，\(n\) 模 Gaussian 态完全由其一阶矩（均值向量）和二阶矩（协方差矩阵 \(\Sigma\)）描述。协方差矩阵是 \(2n \times 2n\) 正定矩阵，满足不确定性关系 \(\Sigma + \frac{i}{2}J \geq 0\)。

Gaussian 酉操作（如分束器、压缩器、相移器）在 Heisenberg 图像下对正则变量 \((q_1, p_1, \ldots, q_n, p_n)\) 做辛变换 \(S\)，协方差矩阵变换为 \(\Sigma \mapsto S \Sigma S^T\)。

Williamson 定理在此场景下意味着：任何 Gaussian 态可以通过辛变换等价于 \(n\) 个独立模的热态，辛特征值 \(d_1, \ldots, d_n\) 完全决定了态的纠缠和纯度等量子信息性质。

例 53.11 (线性二次调节器)

最优控制中的线性二次调节器（LQR）问题： $\(\min \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt, \quad \dot{x} = Ax + Bu.\)$ 其解通过 Riccati 方程 \(PA + A^T P - PBR^{-1}B^T P + Q = 0\) 给出。

与之关联的 Hamilton 矩阵为 $\(\mathcal{H} = \begin{bmatrix} A & -BR^{-1}B^T \\ -Q & -A^T \end{bmatrix}.\)$ Riccati 方程的解 \(P\) 可以从 \(\mathcal{H}\) 的稳定不变子空间中提取。Hamilton 矩阵的特征值配对性质（\(\lambda\) 和 \(-\lambda\) 成对）保证了稳定和不稳定特征值的对称分布，这是 LQR 理论的代数基础。

注记

辛矩阵理论还在以下领域中发挥重要作用：

• 辛拓扑：辛流形上的 Gromov 非压缩定理。
• Floer 同调：以辛几何为基础的拓扑不变量。
• 数论：Siegel 模形式与辛群 \(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{Z})\) 的自守表示。
• 信号处理：Gabor 分析中的辛对称性。

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本章小结

概念	定义/关键性质
辛形式	非退化反对称双线性型 \(\omega\)；辛空间维数必偶
辛矩阵	\(M^T J M = J\)；\(\det M = 1\)；\(M^{-1} = -JM^TJ\)
辛群 \(\mathrm{Sp}(2n)\)	\(n(2n+1)\) 维连通 Lie 群；极大紧子群 \(\cong \mathrm{U}(n)\)
Hamilton 矩阵	\(H^TJ + JH = 0\)；\(e^{tH} \in \mathrm{Sp}(2n)\)；特征值四重对称
辛特征值	正定矩阵的辛不变量 \(d_1, \ldots, d_n\)；Williamson 定理
辛 Gram-Schmidt	构造辛基的算法；Darboux 定理：同维辛空间辛同构
辛积分器	保辛数值方法；长时间能量近似守恒

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习题

习题 53.1

证明 \(J_{2n}\) 的行列式为 \(1\)。（提示：用归纳法或将 \(J\) 分解为初等矩阵的乘积。）

习题 53.2

设 \(M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}\) 是 \(2n \times 2n\) 辛矩阵。证明：

(a) \(A^T C\) 和 \(B^T D\) 都是对称矩阵。

(b) \(A^T D - C^T B = I_n\)。

(c) 如果 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1}B\) 和 \(CA^{-1}\) 都是对称矩阵。

习题 53.3

计算矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}\) 的辛特征值。

习题 53.4

证明：若 \(H\) 是 Hamilton 矩阵，\(S\) 是辛矩阵，则 \(S^{-1}HS\) 也是 Hamilton 矩阵。

习题 53.5

在 \(\mathbb{R}^6\) 上对如下向量组施行辛 Gram-Schmidt 过程：\(v_1 = e_1\)，\(v_2 = e_1 + e_4\)，\(v_3 = e_2\)，\(v_4 = e_5\)，\(v_5 = e_3\)，\(v_6 = e_6\)，其中 \(\{e_1, \ldots, e_6\}\) 为标准基，辛形式由 \(J_6\) 给出。

习题 53.6

对一维简谐振子 \(H = \frac{1}{2}(p^2 + \omega^2 q^2)\)，写出辛 Euler 方法的显式迭代格式，并证明数值解的相轨迹是闭合椭圆（但与精确解的圆有微小差异）。

习题 53.7

证明：\(2 \times 2\) 实矩阵 \(M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) 是辛矩阵当且仅当 \(ad - bc = 1\)，即 \(\mathrm{Sp}(2, \mathbb{R}) = \mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\)。

习题 53.8

设 \(A\) 和 \(B\) 是 \(2n \times 2n\) 正定矩阵，辛特征值分别为 \(d_1 \leq \cdots \leq d_n\) 和 \(d_1' \leq \cdots \leq d_n'\)。若 \(A \leq B\)（即 \(B - A\) 半正定），证明 \(d_k \leq d_k'\) 对所有 \(k\) 成立。