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第 54 章 Quiver 表示

前置：向量空间 (Ch4) · 线性变换 (Ch5) · Jordan 形 (Ch12)

本章脉络：Quiver 定义 → 表示 → 态射与直和 → 不可分解表示 → Gabriel 定理（Dynkin 图 \(\leftrightarrow\) 有限型） → Auslander-Reiten 理论初步 → 持久同调中的应用

延伸：Quiver 表示论统一了大量矩阵分类问题；Gabriel 定理揭示了 ADE 分类（与单 Lie 代数、有限子群、奇点分类的惊人对应）；持久模是拓扑数据分析（TDA）的代数基础

线性代数中的许多问题——单个矩阵的相似分类、矩阵对的同时分类、矩阵束的分析——表面上各不相同，但都可以统一到一个优雅的框架中：Quiver 表示。一个 quiver（箭图）就是一个有向图；它的表示是在每个顶点上放一个向量空间，在每条箭头上放一个线性映射。这个看似简单的定义蕴含了极其丰富的结构：Gabriel 于 1972 年证明了一个深刻的定理——quiver 具有有限多个不可分解表示，当且仅当其底图是 Dynkin 图（\(A_n, D_n, E_6, E_7, E_8\)）。这一结果将 quiver 表示论与 Lie 理论、代数几何、奇点理论等领域深刻地联系了起来。近年来，quiver 表示论还在拓扑数据分析（TDA）中找到了重要应用：持久同调的代数结构正是 \(A_n\) 型 quiver 的表示。

54.1 Quiver 的定义

核心问题：如何用图论语言为矩阵分类问题提供统一框架？

定义 54.1 (Quiver)

一个 quiver（箭图）\(Q = (Q_0, Q_1, s, t)\) 由以下数据组成：

  • \(Q_0\)：顶点集（vertex set），一个有限集。
  • \(Q_1\)：箭头集（arrow set），一个有限集。
  • \(s: Q_1 \to Q_0\)：源映射（source map），将每条箭头映到它的起点。
  • \(t: Q_1 \to Q_0\)：靶映射（target map），将每条箭头映到它的终点。

对于箭头 \(\alpha \in Q_1\)，记 \(\alpha: s(\alpha) \to t(\alpha)\)。

注记

Quiver 允许自环（\(s(\alpha) = t(\alpha)\)）和重边（不同的 \(\alpha, \beta\) 可以有 \(s(\alpha) = s(\beta)\)，\(t(\alpha) = t(\beta)\)）。Quiver 可以看作有限有向图的同义词，但在表示论中习惯使用 "quiver" 这一术语（源自 Gabriel 的法语 "carquois"，即箭袋）。

例 54.1 (基本 quiver)

(a) Jordan quiver \(L_1\)：一个顶点、一条自环。 $\(\bullet \circlearrowleft\)$

(b) Kronecker quiver \(K_2\)：两个顶点、两条同向箭头。 $\(\bullet \rightrightarrows \bullet\)$

(c) \(A_n\) 型 quiver（线性定向）：\(n\) 个顶点排成一行，每对相邻顶点之间一条箭头。 $\(\bullet \to \bullet \to \cdots \to \bullet\)$

(d) \(D_4\) 型 quiver（一种定向）： $\(\begin{array}{ccc} & \bullet & \\ & \downarrow & \\ \bullet \to & \bullet & \leftarrow \bullet \end{array}\)$

(e) 循环 quiver \(\tilde{A}_n\)：\(n+1\) 个顶点排成环。

定义 54.2 (Quiver 的底图)

Quiver \(Q\) 的底图（underlying graph）\(\bar{Q}\) 是忘掉箭头方向后得到的无向图。若 \(\bar{Q}\) 连通，则称 \(Q\) 是连通的。

定义 54.3 (路)

Quiver \(Q\) 中的一条路（path）是箭头的有限序列 \(\alpha_k \alpha_{k-1} \cdots \alpha_1\)，其中 \(t(\alpha_i) = s(\alpha_{i+1})\)（\(i = 1, \ldots, k-1\)）。路的长度为 \(k\)。每个顶点 \(i\) 对应一条长度为 \(0\) 的平凡路 \(e_i\)。

定义 54.4 (路代数)

Quiver \(Q\) 的路代数 \(\mathbb{F}Q\) 是以 \(Q\) 的所有路为基，乘法为路的复合（若首尾不相接则乘积为零）的结合代数。平凡路 \(e_i\) 是（局部）单位元：\(e_i \cdot \alpha = \alpha\) 若 \(s(\alpha) = i\)，否则为零。

54.2 Quiver 的表示

核心问题：如何在 quiver 上"放置"线性代数数据？

定义 54.5 (Quiver 的表示)

域 \(\mathbb{F}\) 上 quiver \(Q = (Q_0, Q_1, s, t)\) 的一个表示 \(V = (V_i, f_\alpha)\) 由以下数据组成：

  • 对每个顶点 \(i \in Q_0\)，一个有限维 \(\mathbb{F}\)-向量空间 \(V_i\)。
  • 对每条箭头 \(\alpha: i \to j\)，一个线性映射 \(f_\alpha: V_i \to V_j\)。

表示 \(V\) 的维数向量（dimension vector）为 \(\mathbf{d} = (\dim V_i)_{i \in Q_0} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{Q_0}\)。

例 54.2 (Jordan quiver 的表示)

Jordan quiver \(L_1\) 的一个表示 = 一个有限维向量空间 \(V\) 加上一个自同态 \(f: V \to V\)。即单个矩阵（在选定基后）。\(L_1\) 的表示分类 = 矩阵的相似分类 = Jordan 标准形。

例 54.3 (Kronecker quiver 的表示)

Kronecker quiver 的一个表示 = 两个向量空间 \(V_1, V_2\) 加上两个线性映射 \(f, g: V_1 \to V_2\)。在选定基后，这等价于一对矩阵 \((A, B)\) 在左乘可逆矩阵（基变换 \(V_2\)）和右乘可逆矩阵（基变换 \(V_1\)）下的等价分类。这就是矩阵束（matrix pencil）\(A + \lambda B\) 的 Kronecker 标准形问题。

例 54.4 (\(A_3\) 型 quiver 的表示)

考虑 \(Q: 1 \to 2 \to 3\)。一个表示是 \((V_1, V_2, V_3, f: V_1 \to V_2, g: V_2 \to V_3)\)。维数向量 \(\mathbf{d} = (d_1, d_2, d_3)\)。选定各空间的基后，\(f\) 和 \(g\) 分别由 \(d_2 \times d_1\) 和 \(d_3 \times d_2\) 矩阵表示，等价关系为同时基变换。

定义 54.6 (零表示)

零表示 \(0\) 是每个顶点放零空间 \(V_i = 0\) 的表示。

定义 54.7 (简单表示)

对每个顶点 \(i \in Q_0\)，简单表示 \(S_i\) 定义为：\((S_i)_j = \delta_{ij}\mathbb{F}\)（即仅在顶点 \(i\) 上放一维空间，其余顶点放零空间），所有箭头对应的线性映射为零映射。

54.3 态射与直和

核心问题：如何定义 quiver 表示之间的"结构保持映射"？如何分解表示？

定义 54.8 (表示的态射)

设 \(V = (V_i, f_\alpha)\) 和 \(W = (W_i, g_\alpha)\) 是 quiver \(Q\) 的两个表示。从 \(V\) 到 \(W\) 的一个态射（morphism）\(\varphi: V \to W\) 是一族线性映射 \(\{\varphi_i: V_i \to W_i\}_{i \in Q_0}\)，使得对每条箭头 \(\alpha: i \to j\)，下图交换： $\(\begin{CD} V_i @>{f_\alpha}>> V_j \\ @V{\varphi_i}VV @VV{\varphi_j}V \\ W_i @>{g_\alpha}>> W_j \end{CD}\)$ 即 \(\varphi_j \circ f_\alpha = g_\alpha \circ \varphi_i\) 对所有 \(\alpha: i \to j\) 成立。

定义 54.9 (同构)

态射 \(\varphi: V \to W\) 是同构（isomorphism），若每个 \(\varphi_i\) 都是线性同构。此时记 \(V \cong W\)。

定义 54.10 (表示的直和)

表示 \(V = (V_i, f_\alpha)\) 和 \(W = (W_i, g_\alpha)\) 的直和 \(V \oplus W\) 定义为：

  • 顶点 \(i\) 上的空间为 \(V_i \oplus W_i\)。
  • 箭头 \(\alpha: i \to j\) 上的映射为 \(f_\alpha \oplus g_\alpha: V_i \oplus W_i \to V_j \oplus W_j\)。

定义 54.11 (不可分解表示)

非零表示 \(V\) 称为不可分解（indecomposable）的，若 \(V \cong V' \oplus V''\) 蕴含 \(V' = 0\) 或 \(V'' = 0\)。

定理 54.1 (Krull-Schmidt 定理)

quiver \(Q\) 的任何有限维表示 \(V\) 可以分解为不可分解表示的直和： $\(V \cong V_1^{m_1} \oplus V_2^{m_2} \oplus \cdots \oplus V_k^{m_k},\)$ 其中 \(V_1, \ldots, V_k\) 是两两不同构的不可分解表示。分解是唯一的（在同构和重排序意义下）。

证明

这是更一般的 Krull-Schmidt 定理在有限长度模范畴中的特例。

存在性：对表示的维数向量的总维数 \(\sum_i \dim V_i\) 进行归纳。若 \(V\) 不可分解，则已经完成。否则 \(V \cong V' \oplus V''\)，其中 \(V', V''\) 非零，总维数均严格小于 \(V\)，由归纳假设可分解。

唯一性：关键是 Fitting 引理：对不可分解表示 \(V\)，\(\mathrm{End}(V)\) 是局部环（即每个非同构的自同态都是幂零的）。有了这一点，唯一性可由标准的 Krull-Schmidt 论证得出：设 $\(V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m \cong W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_l\)$ 都是不可分解分解。设 \(\varphi\) 是此同构，考虑 \(\pi_{W_1} \circ \varphi \circ \iota_{V_1}: V_1 \to W_1\)（其中 \(\pi, \iota\) 是投影和嵌入）。利用 \(\mathrm{End}(V_1)\) 的局部性，可以证明存在某个 \(W_j\) 使得 \(V_1 \cong W_j\)，然后消去并归纳。\(\blacksquare\)

定义 54.12 (子表示)

\(V\) 的子表示 \(W\) 是一族子空间 \(\{W_i \subseteq V_i\}_{i \in Q_0}\)，使得 \(f_\alpha(W_{s(\alpha)}) \subseteq W_{t(\alpha)}\) 对所有 \(\alpha \in Q_1\)。

定义 54.13 (商表示)

给定子表示 \(W \subseteq V\)，商表示 \(V/W\) 定义为：顶点 \(i\) 上的空间为 \(V_i / W_i\)，箭头 \(\alpha\) 上的映射为 \(\bar{f}_\alpha: V_i/W_i \to V_j/W_j\)（良定义性由子表示条件保证）。

定理 54.2 (Schur 引理)

设 \(V, W\) 是不可分解表示。则：

(a) 若 \(V \not\cong W\)，则 \(\mathrm{Hom}(V, W)\) 中的任何态射都不是同构（更强地，若基域代数闭，则 \(\mathrm{Hom}(V, W) = 0\) 当 \(V \not\cong W\)）。

(b) 若基域 \(\mathbb{F}\) 代数闭，则 \(\mathrm{End}(V) / \mathrm{rad}(\mathrm{End}(V)) \cong \mathbb{F}\)。

证明

(a) 设 \(\varphi: V \to W\) 是态射，\(V\) 不可分解。则 \(\ker \varphi\) 是 \(V\) 的子表示，\(\mathrm{Im}\,\varphi\) 是 \(W\) 的子表示。若 \(\varphi\) 是同构，则 \(V \cong W\)，矛盾。

(b) 由 Fitting 引理，\(\mathrm{End}(V)\) 中的非同构元素构成唯一的极大理想（即根 \(\mathrm{rad}\)）。商是除法代数。若 \(\mathbb{F}\) 代数闭，有限维除法代数只有 \(\mathbb{F}\) 自身。\(\blacksquare\)

54.4 经典矩阵问题作为 Quiver 表示

核心问题：Quiver 表示如何统一经典的矩阵分类问题？

例 54.5 (单矩阵相似 = Jordan quiver)

问题：给定 \(n \times n\) 矩阵 \(A\)，在相似变换 \(A \mapsto PAP^{-1}\) 下分类。

Quiver 翻译：Jordan quiver \(L_1\)（一个顶点一条自环）的表示 = \((\mathbb{F}^n, A)\)。态射 = 可逆矩阵 \(P\) 使得 \(PA = AP\)... 不，态射 \(\varphi: (\mathbb{F}^n, A) \to (\mathbb{F}^n, B)\) 要求 \(\varphi A = B \varphi\)，即 \(B = \varphi A \varphi^{-1}\)。同构类 = 相似类。

结论：Jordan 标准形 = Jordan quiver 的不可分解表示分类。维数为 \(n\) 的不可分解表示恰好是 \(n \times n\) Jordan 块 \(J_n(\lambda)\)（\(\lambda \in \mathbb{F}\)）。

例 54.6 (矩阵对的同时等价 = Kronecker quiver)

问题：给定矩阵对 \((A, B)\)，\(A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{F})\)，在 \((A, B) \mapsto (PAQ^{-1}, PBQ^{-1})\) 下分类。

Quiver 翻译：Kronecker quiver \(1 \rightrightarrows 2\) 的维数向量 \((n, m)\) 的表示 = \((\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m, A, B)\)。

例 54.7 (子空间问题 = \(A_n\) 型 quiver)

问题：给定向量空间 \(V\) 和子空间链 \(V_1 \subseteq V_2 \subseteq \cdots \subseteq V_n = V\)，在 \(V\) 的基变换下分类。

Quiver 翻译：\(A_n\) 型 quiver \(1 \to 2 \to \cdots \to n\) 的表示，其中所有箭头对应的线性映射为嵌入。

例 54.8 (四子空间问题 = \(D_4\) 型 quiver)

问题：给定向量空间 \(V\) 和四个子空间 \(U_1, U_2, U_3, U_4 \subseteq V\)，在 \(V\) 的基变换下分类。

Quiver 翻译：\(D_4\) 型 quiver（四个叶子顶点各有一条箭头指向中心顶点）的表示。这个问题有有限多个不可分解表示——恰好 12 个（正根的个数）。

定理 54.3 (表示空间)

固定 quiver \(Q\) 和维数向量 \(\mathbf{d} = (d_i)_{i \in Q_0}\)。\(Q\) 的所有维数向量为 \(\mathbf{d}\) 的表示构成仿射空间 $\(\mathrm{Rep}(Q, \mathbf{d}) = \prod_{\alpha: i \to j} \mathrm{Hom}(\mathbb{F}^{d_i}, \mathbb{F}^{d_j}) \cong \prod_{\alpha: i \to j} M_{d_j \times d_i}(\mathbb{F}),\)$ 维数为 \(\sum_{\alpha: i \to j} d_i d_j\)。

群 \(\mathrm{GL}(\mathbf{d}) = \prod_{i \in Q_0} \mathrm{GL}(d_i, \mathbb{F})\) 通过同时基变换作用在 \(\mathrm{Rep}(Q, \mathbf{d})\) 上： $\((g_i)_{i \in Q_0} \cdot (f_\alpha)_{\alpha \in Q_1} = (g_{t(\alpha)} f_\alpha g_{s(\alpha)}^{-1})_{\alpha \in Q_1}.\)$ 同构类 = \(\mathrm{GL}(\mathbf{d})\)-轨道。

54.5 Gabriel 定理

核心问题：哪些 quiver 具有有限多个不可分解表示（有限表示型）？

定义 54.14 (有限表示型)

Quiver \(Q\) 称为有限表示型（finite representation type），若 \(Q\) 的不可分解表示（在同构意义下）只有有限多个。

定义 54.15 (Dynkin 图)

Dynkin 图是以下无向图：

  • \(A_n\)（\(n \geq 1\)）：\(n\) 个顶点的链。\(\bullet - \bullet - \cdots - \bullet\)
  • \(D_n\)（\(n \geq 4\)）：\(n-1\) 个顶点的链，加上从第 \(n-2\) 个顶点分出的一个额外顶点。
  • \(E_6\)：6 个顶点，形如 \(\bullet - \bullet - \overset{\bullet}{|} - \bullet - \bullet\)（从中间分出一个支链）。
  • \(E_7\)：7 个顶点。
  • \(E_8\)：8 个顶点。

定义 54.16 (根系与正根)

对 Dynkin 图 \(\Gamma\)，令 \(C = 2I - A\)（其中 \(A\) 是邻接矩阵）为 Cartan 矩阵。\(\Gamma\) 的根系 \(\Phi\) 是 \(\mathbb{Z}^n\) 中满足一定条件的向量集（由 Weyl 群的轨道生成）。正根 \(\Phi^+\) 是那些所有分量非负的根。

\(|\Phi^+|\) 的数量：\(|A_n^+| = \binom{n+1}{2}\)，\(|D_n^+| = n(n-1)\)，\(|E_6^+| = 36\)，\(|E_7^+| = 63\)，\(|E_8^+| = 120\)。

定理 54.4 (Gabriel 定理, 1972)

设 \(Q\) 是连通 quiver（无定向环），\(\mathbb{F}\) 是代数闭域。则以下等价：

(a) \(Q\) 是有限表示型。

(b) \(Q\) 的底图 \(\bar{Q}\) 是 Dynkin 图（\(A_n, D_n, E_6, E_7, E_8\) 之一）。

而且，当 \(Q\) 是有限表示型时，不可分解表示的同构类与 \(\bar{Q}\) 对应的根系的正根之间存在一一对应：不可分解表示 \(V\) 的维数向量 \(\mathbf{d}(V)\) 恰好遍历所有正根。

证明

完整证明需要较多的代数背景，这里给出关键思路。

(b) \(\Rightarrow\) (a) 的证明思路：

第一步（Tits 二次型）：定义 Tits 二次型 \(q: \mathbb{Z}^{Q_0} \to \mathbb{Z}\)： $\(q(\mathbf{d}) = \sum_{i \in Q_0} d_i^2 - \sum_{\alpha: i \to j} d_i d_j.\)$ 这个二次型度量了"参数空间维数"和"对称群维数"的差： $\(q(\mathbf{d}) = \dim \mathrm{GL}(\mathbf{d}) - \dim \mathrm{Rep}(Q, \mathbf{d}) + 1\)$ （减去了对角标量矩阵的一维）。

关键事实：\(\bar{Q}\) 是 Dynkin 图当且仅当 \(q\) 正定。

第二步：若 \(q\) 正定，则 \(q(\mathbf{d}) \geq 1\) 对所有非零 \(\mathbf{d} \geq 0\)。这意味着 \(\dim \mathrm{GL}(\mathbf{d}) > \dim \mathrm{Rep}(Q, \mathbf{d})\)（"对称性太多"），群轨道数有限。

更精确地，可以证明：对每个正根 \(\mathbf{d}\)，\(\mathrm{Rep}(Q, \mathbf{d})\) 中恰好有一个 \(\mathrm{GL}(\mathbf{d})\)-轨道是开稠密的（唯一不可分解表示）。对非正根的维数向量 \(\mathbf{d}\)，不存在不可分解表示。

第三步（反射函子）：Bernstein-Gelfand-Ponomarev 引入的反射函子（reflection functors）提供了沿 Weyl 群作用在正根之间移动的工具。源点反射 \(\sigma_i^+\) 和汇点反射 \(\sigma_i^-\) 实现了不可分解表示之间的双射（除了简单表示 \(S_i\)）。

(a) \(\Rightarrow\) (b)：若 \(\bar{Q}\) 不是 Dynkin 图，则要么包含扩展 Dynkin 图 \(\tilde{A}_n, \tilde{D}_n, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8\) 作为子图，要么包含更大的图。对扩展 Dynkin 图，\(q\) 半正定且存在非零向量 \(\mathbf{d}\) 使 \(q(\mathbf{d}) = 0\)，由此可以构造出参数族的不可分解表示（无穷多个）。\(\blacksquare\)

例 54.9 (\(A_3\) 型 quiver 的不可分解表示)

\(Q: 1 \to 2 \to 3\)。正根为：\((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1)\)，共 \(\binom{4}{2} = 6\) 个。

对应的不可分解表示（在同构意义下唯一）：

正根 表示
\((1,0,0)\) \(\mathbb{F} \xrightarrow{0} 0 \xrightarrow{0} 0\)
\((0,1,0)\) \(0 \xrightarrow{0} \mathbb{F} \xrightarrow{0} 0\)
\((0,0,1)\) \(0 \xrightarrow{0} 0 \xrightarrow{0} \mathbb{F}\)
\((1,1,0)\) \(\mathbb{F} \xrightarrow{1} \mathbb{F} \xrightarrow{0} 0\)
\((0,1,1)\) \(0 \xrightarrow{0} \mathbb{F} \xrightarrow{1} \mathbb{F}\)
\((1,1,1)\) \(\mathbb{F} \xrightarrow{1} \mathbb{F} \xrightarrow{1} \mathbb{F}\)

例 54.10 (\(D_4\) 型 quiver 的不可分解表示)

\(D_4\) 有 \(|D_4^+| = 4 \times 3 = 12\) 个正根，因此有 12 个不可分解表示。维数向量包括：

  • 4 个简单表示：\((1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\)。
  • 维数向量为 \((0,1,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1)\) 的 6 个表示。
  • 维数向量 \((1,1,1,1)\) 的 1 个表示。
  • 维数向量 \((1,2,1,1)\)（或其排列）的 1 个表示。

（具体取决于箭头方向。）

定理 54.5 (扩展 Dynkin 图与驯型)

若 \(\bar{Q}\) 是扩展 Dynkin 图（\(\tilde{A}_n, \tilde{D}_n, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8\)），则 \(Q\) 是驯型（tame representation type）：不可分解表示在每个维数向量下至多构成有限多个一参数族。

若 \(\bar{Q}\) 既非 Dynkin 图也非扩展 Dynkin 图，则 \(Q\) 是野型（wild representation type）：其表示分类与任意有限维代数的表示分类一样困难。

54.6 Auslander-Reiten 箭图

核心问题：如何系统地描述不可分解表示之间的"不可约"态射？

定义 54.17 (不可约态射)

态射 \(f: X \to Y\)（\(X, Y\) 不可分解）称为不可约（irreducible）的，若 \(f\) 不是同构，且对任何分解 \(f = gh\)，要么 \(g\) 是分裂满射，要么 \(h\) 是分裂单射。

定义 54.18 (几乎分裂序列)

一个正合序列 $\(0 \to X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \to 0\)$ 称为几乎分裂序列（almost split sequence，或 Auslander-Reiten 序列），若：

(i) \(X, Z\) 不可分解。 (ii) \(f\) 不是分裂单射（即序列不分裂）。 (iii) 对任何不是分裂满射的 \(h: W \to Z\)，存在 \(h': W \to Y\) 使得 \(gh' = h\)。

定理 54.6 (Auslander-Reiten 定理)

设 \(Q\) 是没有定向环的有限 quiver，\(Z\) 是不可分解表示且不是投射表示。则存在唯一（在同构意义下）的几乎分裂序列 \(0 \to \tau Z \to Y \to Z \to 0\)，其中 \(\tau Z\) 称为 \(Z\) 的 Auslander-Reiten 平移（AR translate）。

定义 54.19 (Auslander-Reiten 箭图)

Quiver \(Q\) 的 Auslander-Reiten 箭图（AR quiver）\(\Gamma_Q\) 定义为：

  • 顶点：\(Q\) 的不可分解表示的同构类。
  • 箭头：\([X] \to [Y]\)（当存在不可约态射 \(X \to Y\) 时）。

例 54.11 (\(A_3\) 型 quiver \(1 \to 2 \to 3\) 的 AR 箭图)

记 6 个不可分解表示为 \(P_1 = (1,1,1)\)，\(P_2 = (0,1,1)\)，\(P_3 = (0,0,1)\)（投射不可分解），\(I_1 = (1,0,0)\)，\(I_2 = (1,1,0)\)，\(I_3 = (1,1,1)\)。注意 \(P_1 = I_3\)。

用维数向量标记，AR 箭图为： 

(1,0,0) → (1,1,0) → (1,1,1)
     ↗         ↗
(0,1,0) → (0,1,1)
     ↗
(0,0,1)

AR 平移为：\(\tau(1,1,1) = (0,0,1)\)，$\tau(1,1,0) = (0,1,0) \(，\)\tau(0,1,1) = (1,0,0)$。投射表示 \((0,0,1), (0,1,0), (1,0,0)\)... 让我们重新整理。

对 quiver \(1 \to 2 \to 3\)，投射不可分解表示是 \(P(1) = (1,1,1)\)（维数向量），\(P(2) = (0,1,1)\)，\(P(3) = (0,0,1)\)。入射不可分解表示是 \(I(1) = (1,0,0)\)，\(I(2) = (1,1,0)\)，\(I(3) = (1,1,1)\)。

几乎分裂序列： $\(0 \to P(2) \to P(1) \oplus P(3) \to I(2) \to 0\)$ 即 \(0 \to (0,1,1) \to (1,1,1) \oplus (0,0,1) \to (1,1,0) \to 0\)。

这给出 \(\tau(I(2)) = P(2)\)，即 \(\tau(1,1,0) = (0,1,1)\)。

注记

AR 箭图在有限表示型情形完全决定了表示范畴的结构。对 \(A_n\) 型 quiver，AR 箭图的形状与 \(n\) 阶三角网格相关。

54.7 持久模与拓扑数据分析

核心问题：Quiver 表示论如何与拓扑数据分析中的持久同调联系？

定义 54.20 (持久模)

一个持久模（persistence module）是 \(A_n\) 型 quiver \(1 \to 2 \to \cdots \to n\) 的一个表示 \((V_1, V_2, \ldots, V_n; f_1, f_2, \ldots, f_{n-1})\)，其中 \(f_i: V_i \to V_{i+1}\) 是线性映射。

在拓扑数据分析中，\(V_i\) 通常是某个随参数 \(\varepsilon_1 < \varepsilon_2 < \cdots < \varepsilon_n\) 变化的简单复形 \(K_{\varepsilon_i}\) 的同调群 \(H_k(K_{\varepsilon_i}; \mathbb{F})\)，\(f_i\) 是包含映射诱导的同调映射。

定理 54.7 (区间分解定理)

设 \(\mathbb{F}\) 是域。\(A_n\) 型 quiver 的任何有限维表示可以唯一分解为区间表示的直和： $\(V \cong \bigoplus_{[b, d]} \mathbb{I}_{[b,d]}^{m_{b,d}},\)$ 其中 \(\mathbb{I}_{[b,d]}\)（\(1 \leq b \leq d \leq n\)）是区间 \([b, d]\) 上的不可分解表示：

\[(\mathbb{I}_{[b,d]})_i = \begin{cases} \mathbb{F}, & b \leq i \leq d, \\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases}\]

箭头 \(i \to i+1\) 的映射在 \(b \leq i < d\) 时为恒等映射 \(\mathrm{id}_\mathbb{F}\)，否则为零映射。

证明

这是 Gabriel 定理对 \(A_n\) 型 quiver 的特例。\(A_n\) 的正根恰好是 \(\{e_b + e_{b+1} + \cdots + e_d : 1 \leq b \leq d \leq n\}\)，共 \(\binom{n+1}{2}\) 个，与区间 \([b, d]\) 一一对应。

也可以直接证明：对 \(A_n\) 的表示 \((V_i, f_i)\)，通过对维数向量的归纳和选取适当的基来实现区间分解。关键观察是可以选取每个 \(V_i\) 的一组基，使得每个基向量要么映射到下一空间的基向量（\(f_i(v) = w\)），要么映射到零。按基向量的"生存区间"分组，即得区间分解。\(\blacksquare\)

定义 54.21 (条形码和持久图)

持久模 \(V\) 的区间分解 $\(V \cong \bigoplus_{k=1}^N \mathbb{I}_{[b_k, d_k]}\)$ 可以用两种等价方式可视化：

  • 条形码（barcode）：每个区间 \([b_k, d_k]\) 画一条水平线段。
  • 持久图（persistence diagram）：每个区间 \([b_k, d_k]\) 对应平面上的点 \((b_k, d_k)\)。

长条（\(d_k - b_k\) 大的区间）代表持久的拓扑特征（真实的信号），短条代表短暂的特征（噪声）。

例 54.12 (点云的持久同调)

给定平面上的点云 \(\{x_1, \ldots, x_N\} \subset \mathbb{R}^2\)，取参数 \(\varepsilon_1 < \varepsilon_2 < \cdots < \varepsilon_n\)。

对每个 \(\varepsilon_i\)，构造 Vietoris-Rips 复形 \(\mathrm{VR}_{\varepsilon_i}\)：以点为顶点，若 \(\|x_j - x_k\| \leq \varepsilon_i\) 则连边，高维单形类似。

包含关系 \(\mathrm{VR}_{\varepsilon_1} \subseteq \mathrm{VR}_{\varepsilon_2} \subseteq \cdots \subseteq \mathrm{VR}_{\varepsilon_n}\) 给出持久模 $\(H_k(\mathrm{VR}_{\varepsilon_1}) \to H_k(\mathrm{VR}_{\varepsilon_2}) \to \cdots \to H_k(\mathrm{VR}_{\varepsilon_n}).\)$

若点云采样自一个圆，则 \(H_1\) 的条形码中会有一条明显的长条（对应圆的 1 维洞），其余为短条（噪声）。

定理 54.8 (持久图的稳定性)

设 \(f, g: X \to \mathbb{R}\) 是拓扑空间 \(X\) 上的驯函数，\(\mathrm{dgm}(f)\) 和 \(\mathrm{dgm}(g)\) 分别是它们的持久图。则 $\(d_B(\mathrm{dgm}(f), \mathrm{dgm}(g)) \leq \|f - g\|_\infty,\)$ 其中 \(d_B\) 是瓶颈距离（bottleneck distance）。即：小的函数扰动只产生小的持久图变化。

证明

这个定理的完整证明需要使用交错引理（interpolation lemma）和代数稳定性定理。核心思想是：

函数值的 \(\delta\)-扰动最多使每个区间的端点移动 \(\delta\)，同时最多产生长度 \(\leq 2\delta\) 的新区间或消灭长度 \(\leq 2\delta\) 的旧区间。

代数层面，这通过交错模（interleaving）来形式化：若 \(\|f - g\|_\infty \leq \delta\)，则 \(f\) 和 \(g\) 的持久模是 \(\delta\)-交错的，而 \(\delta\)-交错意味着瓶颈距离 \(\leq \delta\)。\(\blacksquare\)

注记

区间分解定理仅对 \(A_n\) 型 quiver（即线性序的持久模）成立。对多参数持久模（multiparameter persistence，对应格形 quiver 的表示），一般没有这样简洁的分解，这是当前 TDA 研究的活跃方向。从 quiver 表示论的视角看，这是因为 \(A_n\) 是 Dynkin 型（有限表示型），而二维网格 quiver 是野型。

本章小结

概念 定义/关键性质
Quiver 有向图 \(Q = (Q_0, Q_1, s, t)\)
表示 顶点 \(\mapsto\) 向量空间，箭头 \(\mapsto\) 线性映射
态射 交换图的线性映射族
不可分解表示 不能非平凡直和分解
Gabriel 定理 有限型 \(\Leftrightarrow\) Dynkin 图；不可分解 \(\leftrightarrow\) 正根
AR 箭图 不可分解表示间不可约态射的结构图
持久模 \(A_n\) 型表示；区间分解定理；条形码/持久图

习题

习题 54.1

列出 \(A_4\) 型 quiver \(1 \to 2 \to 3 \to 4\) 的所有不可分解表示（给出维数向量和具体的线性映射），并验证共有 \(\binom{5}{2} = 10\) 个。

习题 54.2

对 Kronecker quiver \(K_2\)（两个顶点，两条同向箭头），描述维数向量 \((1,1)\) 的所有不可分解表示。说明为什么有无穷多个（参数化为 \(\mathbb{P}^1\)），从而 \(K_2\) 不是有限表示型。验证 \(K_2\) 的底图是扩展 Dynkin 图 \(\tilde{A}_1\)。

习题 54.3

证明：\(A_n\) 型 quiver 的 Tits 二次型 \(q(d_1, \ldots, d_n) = \sum_{i=1}^n d_i^2 - \sum_{i=1}^{n-1} d_i d_{i+1}\) 是正定的。（提示：写成 \(q = \frac{1}{2}[(d_1-d_2)^2 + (d_2-d_3)^2 + \cdots + d_1^2 + d_n^2]\) 或直接计算对应的矩阵。）

习题 54.4

设 \(Q\) 是 \(D_4\) 型 quiver（三个叶子顶点各有一条箭头指向中心），中心为顶点 \(0\)，叶子为 \(1, 2, 3\)。

(a) 计算 Tits 二次型并验证它正定。

(b) 列出 \(D_4\) 的所有 12 个正根。

(c) 对维数向量 \((1,1,1,2)\)（\(d_0 = 2\)，\(d_1 = d_2 = d_3 = 1\)），写出不可分解表示的具体形式。

习题 54.5

构造一个 \(A_5\) 型持久模的具体例子，使其条形码恰好由区间 \([1,3], [2,5], [4,4]\) 组成。写出每个顶点上的向量空间维数和每条箭头的线性映射矩阵。

习题 54.6

证明 Schur 引理（定理 54.2(a)）：若 \(V, W\) 是不可分解表示且 \(V \not\cong W\)，则从 \(V\) 到 \(W\) 不存在同构的态射。

习题 54.7

验证 \(\tilde{A}_2\)（循环 quiver \(1 \to 2 \to 3 \to 1\)）不是有限表示型：对维数向量 \((1,1,1)\)，描述所有不可分解表示，说明它们构成一个一参数族（参数化为 \(\mathbb{F} \setminus \{0\}\) 或 \(\mathbb{P}^1\) 减去三个点）。

习题 54.8

（开放性）多参数持久模——即 \(\mathbb{Z}^2\)-指标的持久模——为什么没有类似区间分解定理的结果？从 quiver 表示论的角度解释原因。