第 55 章 矩阵群与经典 Lie 群¶
前置：矩阵运算 (Ch2) · 行列式 (Ch3) · 特征值 (Ch6) · 矩阵指数 (Ch13) · 正交矩阵/酉矩阵 (Ch7-Ch8)
本章脉络：矩阵群定义 → \(\mathrm{GL}(n)\) → \(\mathrm{SL}(n)\) → \(\mathrm{O}(n)/\mathrm{SO}(n)\) → \(\mathrm{U}(n)/\mathrm{SU}(n)\) → \(\mathrm{Sp}(2n)\) → Lie 代数（切空间） → 指数映射 → 伴随表示 → Baker-Campbell-Hausdorff 公式
延伸：矩阵 Lie 群是微分几何、粒子物理（规范对称性群 \(SU(3) \times SU(2) \times U(1)\)）和机器人学（\(SE(3)\) 刚体运动群）的核心数学结构
前几章中我们遇到了许多由特殊性质的矩阵构成的集合——正交矩阵、酉矩阵、辛矩阵等——它们对矩阵乘法构成群。这些"矩阵群"不仅是代数对象（群），还是几何对象（光滑流形），两者的统一就是 Lie 群的概念。本章系统梳理经典矩阵群，然后引入 Lie 代数——Lie 群在单位元处的切空间。Lie 代数是 Lie 群的"无穷小版本"，它用线性代数的工具（矩阵加法、矩阵括号 \([X,Y] = XY - YX\)）来编码群的局部结构。指数映射 \(\exp: \mathfrak{g} \to G\) 是连接 Lie 代数与 Lie 群的桥梁。最后，我们介绍伴随表示和 Baker-Campbell-Hausdorff 公式，它们揭示了群乘法在 Lie 代数层面的反映。
55.1 矩阵群的定义¶
核心问题：什么是矩阵群？如何从一般线性群中用方程"切出"经典群？
定义 55.1 (矩阵群)
一个矩阵群（matrix group）或线性群（linear group）是一般线性群 \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{F})\)（\(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)）的一个子群 \(G\)，即 \(G \subseteq \mathrm{GL}(n, \mathbb{F})\) 满足：
(i) \(I_n \in G\)。
(ii) 若 \(A, B \in G\)，则 \(AB \in G\)。
(iii) 若 \(A \in G\)，则 \(A^{-1} \in G\)。
定理 55.1 (闭子群定理 / Cartan 定理)
\(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\)（或 \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})\)）的任何闭子群都是 Lie 群（即具有光滑流形结构，使得群运算是光滑的）。
证明
这是 Lie 群理论的基础定理之一，完整证明见微分几何教材。这里给出思路。
设 \(G\) 是 \(\mathrm{GL}(n)\) 的闭子群。定义 $\(\mathfrak{g} = \{X \in M_n : e^{tX} \in G, \forall t \in \mathbb{R}\}.\)$
第一步：证明 \(\mathfrak{g}\) 是 \(M_n\) 的线性子空间。若 \(X, Y \in \mathfrak{g}\)，则利用 Lie-Trotter 公式 $\(e^{t(X+Y)} = \lim_{m \to \infty} (e^{tX/m} e^{tY/m})^m,\)$ 由 \(G\) 的闭性知 \(e^{t(X+Y)} \in G\)，故 \(X + Y \in \mathfrak{g}\)。标量乘法的封闭性是直接的。
第二步：证明 \(\mathfrak{g}\) 对 Lie 括号封闭。利用 $\([X, Y] = \lim_{t \to 0} \frac{e^{tX}e^{tY}e^{-tX}e^{-tY} - I}{t^2},\)$ 以及更精确的 $\(e^{t^2[X,Y]} = \lim_{m \to \infty} (e^{tX/\sqrt{m}} e^{tY/\sqrt{m}} e^{-tX/\sqrt{m}} e^{-tY/\sqrt{m}})^m,\)$ 可知 \(e^{t[X,Y]} \in G\)，故 \([X,Y] \in \mathfrak{g}\)。
第三步：在单位元附近，\(\exp\) 将 \(\mathfrak{g}\) 的邻域微分同胚到 \(G\) 的邻域，由此赋予 \(G\) 流形结构。\(\blacksquare\)
注记
闭子群定理的威力在于：要证明一个矩阵群是 Lie 群，只需验证它是 \(\mathrm{GL}(n)\) 的闭子群。所有经典矩阵群都是由多项式方程定义的（如 \(\det A = 1\)，\(A^T A = I\) 等），因此自动是闭子群，从而是 Lie 群。
55.2 一般线性群 \(\mathrm{GL}(n)\)¶
核心问题：\(\mathrm{GL}(n)\) 作为所有经典矩阵群的"母群"具有什么基本结构？
定义 55.2 (一般线性群)
实一般线性群 $\(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) = \{A \in M_n(\mathbb{R}) : \det A \neq 0\}.\)$ 复一般线性群 $\(\mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) = \{A \in M_n(\mathbb{C}) : \det A \neq 0\}.\)$
定理 55.2 (\(\mathrm{GL}(n)\) 的基本性质)
(a) \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\) 是 \(M_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{n^2}\) 中的开集（因为 \(\det\) 是连续函数，\(\mathrm{GL}(n) = \det^{-1}(\mathbb{R} \setminus \{0\})\)）。因此 \(\dim \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) = n^2\)。
(b) \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\) 有恰好两个连通分支： $\(\mathrm{GL}^+(n, \mathbb{R}) = \{A : \det A > 0\}, \quad \mathrm{GL}^-(n, \mathbb{R}) = \{A : \det A < 0\}.\)$
(c) \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})\) 是连通的（且是 \(M_n(\mathbb{C}) \cong \mathbb{C}^{n^2}\) 中的开集），维数为 \(2n^2\)（作为实流形）。
(d) \(\mathrm{GL}(n)\) 的 Lie 代数是整个矩阵空间：\(\mathfrak{gl}(n) = M_n\)。Lie 括号为 \([X, Y] = XY - YX\)。
证明
(b) \(\det: \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*\) 是连续满射。\(\mathbb{R}^* = \mathbb{R}_{>0} \sqcup \mathbb{R}_{<0}\) 有两个连通分支，因此 \(\mathrm{GL}(n)\) 至少有两个连通分支。要证明恰好两个，需要说明 \(\mathrm{GL}^+(n)\) 连通。
任取 \(A \in \mathrm{GL}^+(n)\)。利用极分解 \(A = OP\)（\(O \in \mathrm{SO}(n)\)，\(P\) 正定对称），以及 \(\mathrm{SO}(n)\) 连通和正定矩阵空间凸（从而连通），可以连续地将 \(A\) 变形为 \(I\)。
(c) 对复矩阵，\(\det: \mathrm{GL}(n, \mathbb{C}) \to \mathbb{C}^*\)。\(\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\}\) 连通，但这不直接证明 \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})\) 连通。正确的论证：任取 \(A \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{C})\)，其 Jordan 标准形 \(J\) 的对角线元素非零，可以连续地将每个对角元素沿 \(\mathbb{C}^*\) 中的路径变形到 \(1\)，将每个上三角元素变形到 \(0\)，从而将 \(A\) 变形到 \(I\)。
(d) \(\mathrm{GL}(n)\) 是 \(M_n\) 中的开集，因此其切空间（在任何点）等于 \(M_n\) 本身。\(\blacksquare\)
例 55.1
\(\mathrm{GL}(1, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)，有两个连通分支 \(\mathbb{R}_{>0}\) 和 \(\mathbb{R}_{<0}\)。\(\mathrm{GL}(1, \mathbb{C}) = \mathbb{C}^*\)，连通。
55.3 特殊线性群 \(\mathrm{SL}(n)\)¶
核心问题：行列式为 1 的矩阵构成怎样的群？
定义 55.3 (特殊线性群)
定理 55.3 (\(\mathrm{SL}(n)\) 的性质)
(a) \(\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})\) 和 \(\mathrm{SL}(n, \mathbb{C})\) 都是连通的 Lie 群。
(b) \(\dim \mathrm{SL}(n) = n^2 - 1\)。
(c) \(\mathrm{SL}(n)\) 的 Lie 代数是 $\(\mathfrak{sl}(n) = \{X \in M_n : \operatorname{tr} X = 0\}.\)$
证明
(c) 若 \(e^{tX} \in \mathrm{SL}(n)\) 对所有 \(t\)，则 \(\det(e^{tX}) = e^{t \operatorname{tr} X} = 1\)，故 \(\operatorname{tr} X = 0\)。反之，\(\operatorname{tr} X = 0\) 蕴含 \(\det(e^{tX}) = 1\)。
(b) \(\dim \mathfrak{sl}(n) = n^2 - 1\)（迹零矩阵的空间比全矩阵空间少一维）。
(a) 连通性：对 \(\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})\)，任取 \(A \in \mathrm{SL}(n)\)，极分解 \(A = OP\)，\(O \in \mathrm{SO}(n) \subset \mathrm{SL}(n)\)，\(P\) 正定且 \(\det P = 1\)。\(P = e^S\)（\(S\) 对称，\(\operatorname{tr} S = 0\)）可以沿 \(e^{tS}\) 连续变形到 \(I\)。\(\mathrm{SO}(n)\) 连通，故 \(\mathrm{SL}(n)\) 连通。\(\blacksquare\)
例 55.2
\(\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\) 是 3 维 Lie 群。其 Lie 代数 \(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{R})\) 有标准基 $\(e = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad f = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad h = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},\)$ 满足 Lie 括号关系 \([h, e] = 2e\)，\([h, f] = -2f\)，\([e, f] = h\)。这是半单 Lie 代数理论的最基本范例。
55.4 正交群 \(\mathrm{O}(n)\) 与旋转群 \(\mathrm{SO}(n)\)¶
核心问题：保持欧氏内积的线性变换群具有什么结构？
定义 55.4 (正交群和特殊正交群)
定理 55.4 (\(\mathrm{O}(n)\) 和 \(\mathrm{SO}(n)\) 的性质)
(a) \(\mathrm{O}(n)\) 是紧 Lie 群，维数 \(\frac{n(n-1)}{2}\)。
(b) \(\mathrm{O}(n)\) 有恰好两个连通分支：\(\mathrm{SO}(n)\)（\(\det = +1\)）和 \(\det = -1\) 的分支。
(c) \(\mathrm{SO}(n)\) 是连通的。\(\mathrm{SO}(1) = \{1\}\)，\(\mathrm{SO}(2) \cong S^1\)（圆周），\(\mathrm{SO}(3)\) 同胚于 \(\mathbb{RP}^3\)（实射影空间）。
(d) Lie 代数为 $\(\mathfrak{o}(n) = \mathfrak{so}(n) = \{X \in M_n(\mathbb{R}) : X^T + X = 0\}\)$ 即反对称矩阵的空间。\(\dim \mathfrak{so}(n) = \frac{n(n-1)}{2}\)。
证明
紧性：\(\mathrm{O}(n)\) 是有界的（\(Q^TQ = I\) 意味着每列是单位向量，故 \(\|Q\|_F = \sqrt{n}\)），且是闭的（由连续方程 \(Q^TQ = I\) 定义），因此紧。
Lie 代数：若 \(e^{tX} \in \mathrm{O}(n)\)，则 \((e^{tX})^T e^{tX} = I\)，即 \(e^{tX^T} e^{tX} = I\)。在 \(t = 0\) 处对 \(t\) 求导：\(X^T + X = 0\)，即 \(X\) 反对称。反之，\(X^T = -X\) 蕴含 \((e^{tX})^T = e^{tX^T} = e^{-tX} = (e^{tX})^{-1}\)。
维数：\(n \times n\) 反对称矩阵由上三角部分的 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 个元素决定。
连通分支：\(\det: \mathrm{O}(n) \to \{+1, -1\}\) 是连续满射，故 \(\mathrm{O}(n)\) 至少两个连通分支。\(\mathrm{SO}(n)\) 连通可由归纳法证明：考虑 \(\mathrm{SO}(n)\) 对 \(S^{n-1}\) 的传递作用，稳定子群同构于 \(\mathrm{SO}(n-1)\)，得到纤维丛 \(\mathrm{SO}(n-1) \to \mathrm{SO}(n) \to S^{n-1}\)。\(S^{n-1}\) 在 \(n \geq 2\) 时连通，归纳基础 \(\mathrm{SO}(2) \cong S^1\) 连通。由纤维丛的长正合序列和归纳假设知 \(\mathrm{SO}(n)\) 连通。\(\blacksquare\)
定理 55.5 (Cayley 变换)
设 \(X\) 是 \(n \times n\) 反对称实矩阵。则 $\(Q = (I - X)(I + X)^{-1}\)$ 是正交矩阵且 \(\det Q = +1\)（即 \(Q \in \mathrm{SO}(n)\)），当且仅当 \(-1\) 不是 \(X\) 的特征值（此时 \(I + X\) 可逆）。
反之，若 \(Q \in \mathrm{SO}(n)\) 且 \(-1\) 不是 \(Q\) 的特征值，则 \(X = (I - Q)(I + Q)^{-1}\) 是反对称矩阵。
Cayley 变换在 \(\mathfrak{so}(n)\)（去掉奇异集）和 \(\mathrm{SO}(n)\)（去掉 \(-1\) 特征值的矩阵）之间建立了有理映射的双射。
证明
设 \(X^T = -X\)，\(Q = (I-X)(I+X)^{-1}\)。
因为 \(X\) 反对称，\((I+X)\) 和 \((I-X)\) 交换：\((I+X)(I-X) = I - X^2 = (I-X)(I+X)\)。所以
对 \(\det Q\)：\(\det Q = \det(I-X)/\det(I+X)\)。\(\det(I-X) = \det((I+X)^T) = \det(I+X)\)（因为 \((I-X)^T = I+X\)），故 \(\det Q = 1\)。\(\blacksquare\)
例 55.3
\(n = 3\)：取 \(X = \begin{bmatrix} 0 & -\theta_3 & \theta_2 \\ \theta_3 & 0 & -\theta_1 \\ -\theta_2 & \theta_1 & 0 \end{bmatrix}\)（反对称矩阵由向量 \(\theta = (\theta_1, \theta_2, \theta_3)\) 参数化）。
Cayley 变换 \(Q = (I - X)(I + X)^{-1}\) 给出 \(\mathrm{SO}(3)\) 中的旋转矩阵。这在计算机图形学中作为 Cayley-Rodrigues 参数化使用。
55.5 酉群 \(\mathrm{U}(n)\) 与特殊酉群 \(\mathrm{SU}(n)\)¶
核心问题：保持 Hermite 内积的线性变换群有什么结构？
定义 55.5 (酉群和特殊酉群)
定理 55.6 (\(\mathrm{U}(n)\) 和 \(\mathrm{SU}(n)\) 的性质)
(a) \(\mathrm{U}(n)\) 是紧、连通 Lie 群。\(\dim_\mathbb{R} \mathrm{U}(n) = n^2\)。
(b) \(\mathrm{SU}(n)\) 是紧、连通、单连通 Lie 群。\(\dim_\mathbb{R} \mathrm{SU}(n) = n^2 - 1\)。
(c) \(\mathrm{U}(n)\) 的 Lie 代数是反 Hermite 矩阵空间： $\(\mathfrak{u}(n) = \{X \in M_n(\mathbb{C}) : X^* + X = 0\}.\)$
(d) \(\mathrm{SU}(n)\) 的 Lie 代数是迹零反 Hermite 矩阵空间： $\(\mathfrak{su}(n) = \{X \in M_n(\mathbb{C}) : X^* + X = 0, \operatorname{tr} X = 0\}.\)$
证明
Lie 代数的推导与正交群完全类似：若 \(e^{tX} \in \mathrm{U}(n)\)，则 \((e^{tX})^* e^{tX} = I\)，即 \(e^{tX^*} e^{tX} = I\)。在 \(t = 0\) 求导得 \(X^* + X = 0\)。加上 \(\det e^{tX} = e^{t \operatorname{tr} X} = 1\) 的条件给出 \(\operatorname{tr} X = 0\)（注意 \(\operatorname{tr} X\) 已经是纯虚数，条件即 \(\operatorname{tr} X = 0\)）。
维数：\(\mathfrak{u}(n)\) 中的矩阵 \(X = (x_{jk})\) 满足 \(x_{jk} = -\bar{x}_{kj}\)。对角元素为纯虚数（\(n\) 个实参数），上三角元素 \(x_{jk}\)（\(j < k\)）有 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 个，每个贡献 2 个实参数。总维数 \(n + n(n-1) = n^2\)。对 \(\mathfrak{su}(n)\)，加上 \(\operatorname{tr} X = 0\)（一个实约束，因为迹已经纯虚），维数 \(n^2 - 1\)。
连通性：\(\mathrm{U}(n)\) 传递地作用在 \(S^{2n-1}\) 上，稳定子群为 \(\mathrm{U}(n-1)\)，纤维丛 \(\mathrm{U}(n-1) \to \mathrm{U}(n) \to S^{2n-1}\)。归纳基础 \(\mathrm{U}(1) \cong S^1\) 连通。类似地，\(\mathrm{SU}(n)\) 连通且单连通（\(\mathrm{SU}(1) = \{1\}\)，\(\mathrm{SU}(2) \cong S^3\)）。\(\blacksquare\)
例 55.4
\(\mathrm{SU}(2)\) 是 3 维紧单连通 Lie 群，微分同胚于 \(S^3\)。其元素可以参数化为 $\(U = \begin{bmatrix} \alpha & -\bar{\beta} \\ \beta & \bar{\alpha} \end{bmatrix}, \quad |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1.\)$
其 Lie 代数 \(\mathfrak{su}(2)\) 有标准基（Pauli 矩阵的 \(i\) 倍）： $\(e_1 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad e_3 = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}.\)$
括号关系：\([e_1, e_2] = 2e_3\)，\([e_2, e_3] = 2e_1\)，\([e_3, e_1] = 2e_2\)。这与 \(\mathfrak{so}(3)\) 同构（\(\mathrm{SU}(2)\) 是 \(\mathrm{SO}(3)\) 的二重覆盖）。
定理 55.7 (\(\mathrm{SU}(2)\) 与 \(\mathrm{SO}(3)\) 的关系)
存在满射 Lie 群同态 \(\pi: \mathrm{SU}(2) \to \mathrm{SO}(3)\)，核为 \(\{\pm I\}\)。因此 \(\mathrm{SO}(3) \cong \mathrm{SU}(2)/\{\pm I\}\)，\(\mathrm{SU}(2)\) 是 \(\mathrm{SO}(3)\) 的万有覆叠群。
证明
考虑 \(\mathrm{SU}(2)\) 在 \(\mathfrak{su}(2)\)（3 维实向量空间，带有 Killing 内积）上的伴随表示 \(\mathrm{Ad}: \mathrm{SU}(2) \to \mathrm{GL}(\mathfrak{su}(2))\)。伴随表示保持 Killing 内积，故 \(\mathrm{Ad}(\mathrm{SU}(2)) \subseteq \mathrm{O}(\mathfrak{su}(2)) \cong \mathrm{O}(3)\)。由 \(\mathrm{SU}(2)\) 连通，像在 \(\mathrm{SO}(3)\) 中。
\(\mathrm{Ad}\) 的核是 \(\mathrm{SU}(2)\) 的中心 \(Z(\mathrm{SU}(2)) = \{\pm I\}\)。
由维数比较（\(\dim \mathrm{SU}(2) = 3 = \dim \mathrm{SO}(3)\)），\(\mathrm{Ad}\) 是满射。\(\blacksquare\)
55.6 辛群 \(\mathrm{Sp}(2n)\)¶
核心问题：从 Lie 代数的视角如何理解辛群？
定义 55.6 (辛群与辛 Lie 代数)
辛群 $\(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R}) = \{M \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{R}) : M^T J M = J\}\)$ 已在第 53 章详细讨论。其 Lie 代数为 $\(\mathfrak{sp}(2n) = \{X \in M_{2n}(\mathbb{R}) : X^T J + J X = 0\}.\)$ 等价地，\(X \in \mathfrak{sp}(2n)\) 当且仅当 \(JX\) 是对称矩阵。
定理 55.8 (\(\mathfrak{sp}(2n)\) 的结构)
\(\mathfrak{sp}(2n)\) 的元素可以写成分块形式 $\(X = \begin{bmatrix} A & B \\ C & -A^T \end{bmatrix},\)$ 其中 \(B = B^T\)，\(C = C^T\) 是对称矩阵，\(A\) 任意。
\(\dim \mathfrak{sp}(2n) = n^2 + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n^2 + n(n+1) = n(2n+1)\)。
注记
注意术语的混淆：在某些文献中，"\(\mathrm{Sp}(n)\)"指的是紧辛群（即保持四元数 Hermite 内积的 \(n \times n\) 四元数矩阵群），它是 \(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{C}) \cap \mathrm{U}(2n)\)，是紧 Lie 群。本章的 \(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})\) 是非紧的。
55.7 Lie 代数与切空间¶
核心问题：Lie 群在单位元的切空间为什么自然具有 Lie 代数结构？
定义 55.7 (矩阵 Lie 群的 Lie 代数)
设 \(G\) 是矩阵 Lie 群（\(\mathrm{GL}(n)\) 的闭子群）。\(G\) 的 Lie 代数 \(\mathfrak{g}\) 定义为 $\(\mathfrak{g} = T_I G = \{X \in M_n : e^{tX} \in G, \forall t \in \mathbb{R}\},\)$ 即 \(G\) 在单位元 \(I\) 处的切空间。
定理 55.9 (Lie 代数的基本性质)
(a) \(\mathfrak{g}\) 是 \(M_n\) 的实线性子空间。
(b) \(\mathfrak{g}\) 对 Lie 括号 \([X, Y] = XY - YX\) 封闭。
(c) Lie 括号满足： - 双线性性：\([\alpha X + \beta Y, Z] = \alpha[X,Z] + \beta[Y,Z]\)。 - 反对称性：\([X, Y] = -[Y, X]\)。 - Jacobi 恒等式：\([X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0\)。
证明
(a) 和 (b) 已在定理 55.1 的证明中说明。
(c) 双线性性和反对称性由 \([X,Y] = XY - YX\) 直接验证。
Jacobi 恒等式：展开左边 $\([X,[Y,Z]] = X(YZ-ZY) - (YZ-ZY)X = XYZ - XZY - YZX + ZYX,\)$ $\([Y,[Z,X]] = YZX - YXZ - ZXY + XZY,\)$ $\([Z,[X,Y]] = ZXY - ZYX - XYZ + YXZ.\)$ 三式相加，所有 12 项两两抵消，和为 \(0\)。\(\blacksquare\)
定义 55.8 (Lie 代数同态)
设 \(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}\) 是 Lie 代数。线性映射 \(\varphi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\) 称为 Lie 代数同态，若 \(\varphi([X,Y]) = [\varphi(X), \varphi(Y)]\) 对所有 \(X, Y \in \mathfrak{g}\)。
定理 55.10 (Lie 群同态诱导 Lie 代数同态)
设 \(\Phi: G \to H\) 是矩阵 Lie 群之间的光滑群同态。则其在单位元的微分 $\(\phi = d\Phi_I: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\)$ 是 Lie 代数同态，且 \(\Phi(e^X) = e^{\phi(X)}\) 对所有 \(X \in \mathfrak{g}\)。
证明
由 \(\Phi(e^{tX}) \in H\) 对所有 \(t\)，在 \(t = 0\) 求导得 \(\phi(X) = \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} \Phi(e^{tX}) \in \mathfrak{h}\)。
\(\Phi(e^{tX})\) 是 \(H\) 中过 \(I\) 的一参数子群，导数为 \(\phi(X)\)，故 \(\Phi(e^{tX}) = e^{t\phi(X)}\)（一参数子群的唯一性）。
对 Lie 括号的保持：利用 \(\frac{d^2}{ds\,dt}\Big|_{s=t=0} e^{sX}e^{tY}e^{-sX} = [X,Y]\) 和 \(\Phi\) 的群同态性质推导。\(\blacksquare\)
下表汇总经典矩阵群及其 Lie 代数。
| 矩阵群 \(G\) | 定义条件 | Lie 代数 \(\mathfrak{g}\) | \(\dim_\mathbb{R}\) |
|---|---|---|---|
| \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\) | \(\det A \neq 0\) | \(\mathfrak{gl}(n) = M_n(\mathbb{R})\) | \(n^2\) |
| \(\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})\) | \(\det A = 1\) | \(\mathfrak{sl}(n) = \{X : \operatorname{tr} X = 0\}\) | \(n^2 - 1\) |
| \(\mathrm{O}(n)\) | \(Q^T Q = I\) | \(\mathfrak{so}(n) = \{X : X^T = -X\}\) | \(\frac{n(n-1)}{2}\) |
| \(\mathrm{SO}(n)\) | \(Q^T Q = I, \det Q = 1\) | \(\mathfrak{so}(n) = \{X : X^T = -X\}\) | \(\frac{n(n-1)}{2}\) |
| \(\mathrm{U}(n)\) | \(U^* U = I\) | \(\mathfrak{u}(n) = \{X : X^* = -X\}\) | \(n^2\) |
| \(\mathrm{SU}(n)\) | \(U^* U = I, \det U = 1\) | \(\mathfrak{su}(n) = \{X : X^* = -X, \operatorname{tr} X = 0\}\) | \(n^2 - 1\) |
| \(\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})\) | \(M^T J M = J\) | \(\mathfrak{sp}(2n) = \{X : X^T J + JX = 0\}\) | \(n(2n+1)\) |
55.8 指数映射¶
核心问题：矩阵指数如何连接 Lie 代数与 Lie 群？它何时是满射？
定义 55.9 (指数映射)
矩阵 Lie 群 \(G\) 的指数映射 \(\exp: \mathfrak{g} \to G\) 定义为 $\(\exp(X) = e^X = \sum_{k=0}^\infty \frac{X^k}{k!}.\)$
定理 55.11 (指数映射的基本性质)
(a) \(\exp(0) = I\)。
(b) \(\exp((s+t)X) = \exp(sX)\exp(tX)\) 对所有 \(s, t \in \mathbb{R}\)。即 \(t \mapsto \exp(tX)\) 是 \(G\) 中的一参数子群。
(c) \(\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} \exp(tX) = X\)。因此 \(d(\exp)_0 = \mathrm{id}_\mathfrak{g}\)，即 \(\exp\) 在原点的微分是恒等映射。
(d) 由反函数定理，\(\exp\) 将 \(\mathfrak{g}\) 中 \(0\) 的某个邻域微分同胚到 \(G\) 中 \(I\) 的某个邻域。
(e) 若 \(XY = YX\)，则 \(e^{X+Y} = e^X e^Y\)。
定理 55.12 (紧连通群上的满射性)
若 \(G\) 是紧连通 Lie 群，则 \(\exp: \mathfrak{g} \to G\) 是满射。
证明
\(G\) 紧连通意味着 \(G\) 上存在双不变 Riemannian 度量。在此度量下，\(\exp\) 恰好是 Riemannian 指数映射。由 Hopf-Rinow 定理，紧连通 Riemannian 流形上任意两点可以用测地线连接，因此 \(\exp\) 满射。
更初等的证明（对矩阵群）：\(G\) 紧连通，每个 \(g \in G\) 可对角化（在酉情形下），特征值在单位圆上，可以取对数。\(\blacksquare\)
例 55.5 (指数映射不满射的例子)
\(\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\) 是非紧连通 Lie 群。矩阵 $\(A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\)$ 不在 \(\exp(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{R}))\) 的像中。
证明：假设 \(A = e^X\)，\(X \in \mathfrak{sl}(2)\)，\(\operatorname{tr} X = 0\)。\(A\) 的特征值为 \(-1\)（二重）。\(e^X\) 的特征值为 \(e^\lambda\)（\(\lambda\) 为 \(X\) 的特征值）。\(\operatorname{tr} X = 0\) 意味着 \(X\) 的特征值为 \(\lambda, -\lambda\)。\(e^\lambda = -1\) 且 \(e^{-\lambda} = -1\) 要求 \(\lambda = (2k+1)\pi i\) 且 \(-\lambda = (2m+1)\pi i\)，故 \(\lambda = -(2m+1)\pi i\)，加上第一个条件得 \((2k+1) = -(2m+1)\)，即 \(k + m = -1\)。取 \(k = 0, m = -1\)：\(\lambda = \pi i\)。则 \(X\) 的特征值为 \(\pm \pi i\)，\(X\) 可对角化为 \(\begin{bmatrix} \pi i & 0 \\ 0 & -\pi i \end{bmatrix}\)，但 \(X\) 必须是实矩阵。实矩阵特征值为 \(\pm \pi i\) 时，\(e^X\) 的特征值为 \(e^{\pm \pi i} = -1\)，且 \(e^X\) 实际上是 \(-I\) 的旋转版本，可以验证 \(e^X = -I\)（因为共轭特征值对应 \(2 \times 2\) 旋转块 \(R(\pi) = -I\)）。但 \(A \neq -I\)（因为 \(A\) 有非零的 \((1,2)\) 元素）。这导致矛盾。
例 55.6 (\(\mathrm{SO}(3)\) 的指数映射)
\(\mathfrak{so}(3)\) 中的反对称矩阵 \(\hat{\omega}\) 可由向量 \(\omega = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)^T\) 参数化： $\(\hat{\omega} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{bmatrix}.\)$
Rodrigues 公式：\(\theta = \|\omega\|\)，\(\hat{n} = \hat{\omega}/\theta\)，则 $\(e^{\hat{\omega}} = I + \frac{\sin\theta}{\theta}\hat{\omega} + \frac{1 - \cos\theta}{\theta^2}\hat{\omega}^2.\)$ 这给出绕轴 \(\omega/\|\omega\|\) 旋转角度 \(\theta = \|\omega\|\) 的旋转矩阵。
\(\exp: \mathfrak{so}(3) \to \mathrm{SO}(3)\) 是满射（因为 \(\mathrm{SO}(3)\) 紧连通），但不是单射：\(\hat{\omega}\) 和 \(\hat{\omega} + 2\pi \hat{n}\) 给出相同的旋转。
55.9 伴随表示¶
核心问题：Lie 群如何通过共轭作用在自身的 Lie 代数上？
定义 55.10 (伴随表示 \(\mathrm{Ad}\))
对矩阵 Lie 群 \(G\)，伴随表示 \(\mathrm{Ad}: G \to \mathrm{GL}(\mathfrak{g})\) 定义为 $\(\mathrm{Ad}_g(X) = gXg^{-1}, \quad g \in G, X \in \mathfrak{g}.\)$ 这是一个群同态（从 \(G\) 到 \(\mathfrak{g}\) 上的可逆线性变换群）。
定义 55.11 (小伴随表示 \(\mathrm{ad}\))
\(\mathrm{Ad}\) 的微分定义了小伴随表示 \(\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})\)： $\(\mathrm{ad}_X(Y) = [X, Y], \quad X, Y \in \mathfrak{g}.\)$
定理 55.13 (伴随表示的性质)
(a) \(\mathrm{Ad}\) 是 Lie 群同态：\(\mathrm{Ad}_{gh} = \mathrm{Ad}_g \circ \mathrm{Ad}_h\)。
(b) \(\mathrm{ad}\) 是 Lie 代数同态：\(\mathrm{ad}_{[X,Y]} = [\mathrm{ad}_X, \mathrm{ad}_Y] = \mathrm{ad}_X \circ \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_Y \circ \mathrm{ad}_X\)。
(c) \(\mathrm{Ad}_{e^X} = e^{\mathrm{ad}_X}\)，即 $\(e^X Y e^{-X} = Y + [X,Y] + \frac{1}{2}[X,[X,Y]] + \frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]] + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}(\mathrm{ad}_X)^k(Y).\)$
证明
(a) \(\mathrm{Ad}_{gh}(X) = (gh)X(gh)^{-1} = g(hXh^{-1})g^{-1} = \mathrm{Ad}_g(\mathrm{Ad}_h(X))\)。
(b) 这等价于 Jacobi 恒等式：\(\mathrm{ad}_{[X,Y]}(Z) = [[X,Y],Z]\)，而 \([\mathrm{ad}_X, \mathrm{ad}_Y](Z) = [X,[Y,Z]] - [Y,[X,Z]]\)。Jacobi 恒等式 \([[X,Y],Z] = [X,[Y,Z]] - [Y,[X,Z]]\) 保证两者相等。
(c) 定义 \(f(t) = e^{tX} Y e^{-tX}\)。则 \(f(0) = Y\)，\(f'(t) = e^{tX}(XY - YX)e^{-tX} = e^{tX}[X,Y]e^{-tX} = \mathrm{Ad}_{e^{tX}}([X,Y])\)。更一般地，\(f^{(k)}(0) = (\mathrm{ad}_X)^k(Y)\)。Taylor 展开给出结论。\(\blacksquare\)
定义 55.12 (Killing 型)
Lie 代数 \(\mathfrak{g}\) 上的 Killing 型（Killing form）是双线性型 $\(B(X, Y) = \operatorname{tr}(\mathrm{ad}_X \circ \mathrm{ad}_Y), \quad X, Y \in \mathfrak{g}.\)$
定理 55.14 (Killing 型的性质)
(a) \(B\) 是对称双线性型：\(B(X, Y) = B(Y, X)\)。
(b) \(B\) 是 \(\mathrm{Ad}\)-不变的：\(B(\mathrm{Ad}_g X, \mathrm{Ad}_g Y) = B(X, Y)\)。
(c) \(B\) 是 \(\mathrm{ad}\)-不变的：\(B([Z,X], Y) + B(X, [Z,Y]) = 0\)。
(d) (Cartan 判据) \(\mathfrak{g}\) 是半单的（即没有非零可交换理想）当且仅当 Killing 型非退化。
证明
(a) \(B(X,Y) = \operatorname{tr}(\mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y) = \operatorname{tr}(\mathrm{ad}_Y \mathrm{ad}_X) = B(Y,X)\)（迹的轮换性）。
(c) \(B([Z,X],Y) = \operatorname{tr}(\mathrm{ad}_{[Z,X]} \mathrm{ad}_Y) = \operatorname{tr}([\mathrm{ad}_Z, \mathrm{ad}_X] \mathrm{ad}_Y) = \operatorname{tr}(\mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_Y)\)。 \(B(X,[Z,Y]) = \operatorname{tr}(\mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_{[Z,Y]}) = \operatorname{tr}(\mathrm{ad}_X (\mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_Y \mathrm{ad}_Z))\)。 两者相加，利用 \(\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(CAB)\)，各项抵消。\(\blacksquare\)
例 55.7
对 \(\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})\)，Killing 型为 \(B(X,Y) = 2n \operatorname{tr}(XY)\)。它是非退化的，反映了 \(\mathfrak{sl}(n)\) 是半单 Lie 代数。
对 \(\mathfrak{so}(n)\)，Killing 型为 \(B(X,Y) = (n-2)\operatorname{tr}(XY)\)（\(n \geq 3\) 时非退化）。
55.10 Baker-Campbell-Hausdorff 公式¶
核心问题：\(e^X e^Y\) 何时等于 \(e^Z\)？\(Z\) 如何用 \(X, Y\) 及其 Lie 括号表示？
定理 55.15 (Baker-Campbell-Hausdorff 公式)
设 \(X, Y \in \mathfrak{g}\)，\(\|X\|\) 和 \(\|Y\|\) 足够小。则存在 \(Z \in \mathfrak{g}\) 使得 \(e^X e^Y = e^Z\)，且 $\(Z = \log(e^X e^Y) = X + Y + \frac{1}{2}[X,Y] + \frac{1}{12}\big([X,[X,Y]] + [Y,[Y,X]]\big) + \cdots\)$ 其中高阶项完全由 \(X, Y\) 的嵌套 Lie 括号决定。
证明
第一步（存在性）：由 \(\exp\) 在 \(0\) 附近是微分同胚，当 \(X, Y\) 足够小时，\(e^X e^Y\) 落在 \(\exp\) 的像的邻域中，故可以定义 \(Z = \log(e^X e^Y)\)。
第二步（前几项计算）：利用 \(e^X = I + X + \frac{X^2}{2} + \cdots\) 和 \(\log(I + W) = W - \frac{W^2}{2} + \cdots\)：
令 \(W = e^X e^Y - I = (X+Y) + (XY + \frac{X^2}{2} + \frac{Y^2}{2}) + \cdots\)
一阶项：\(Z_1 = X + Y\)。
二阶项：\(W\) 的二阶部分为 \(XY + \frac{X^2}{2} + \frac{Y^2}{2}\)。\(W^2\) 的二阶部分为 \((X+Y)^2 = X^2 + XY + YX + Y^2\)。所以 $\(Z_2 = XY + \frac{X^2}{2} + \frac{Y^2}{2} - \frac{1}{2}(X^2 + XY + YX + Y^2) = \frac{1}{2}(XY - YX) = \frac{1}{2}[X,Y].\)$
三阶项：经过类似但更繁琐的计算， $\(Z_3 = \frac{1}{12}[X,[X,Y]] + \frac{1}{12}[Y,[Y,X]] = \frac{1}{12}[X,[X,Y]] - \frac{1}{12}[Y,[X,Y]].\)$
关键定性结论（Dynkin 1947）：\(Z\) 的每一项都可以表示为 \(X\) 和 \(Y\) 的嵌套 Lie 括号的有限线性组合。这意味着 \(Z \in \mathfrak{g}\)（因为 \(\mathfrak{g}\) 对 Lie 括号封闭）。\(\blacksquare\)
定理 55.16 (BCH 公式的收敛性)
BCH 级数在 \(\|X\| + \|Y\| < \log 2\) 时绝对收敛（此处 \(\|\cdot\|\) 为某个与 Lie 群相容的矩阵范数）。
例 55.8
若 \([X, Y] = 0\)（\(X, Y\) 交换），则 BCH 公式的所有高阶项消失，\(Z = X + Y\)，即 \(e^X e^Y = e^{X+Y}\)。
例 55.9
若 \([X, [X, Y]] = 0\) 且 \([Y, [X, Y]] = 0\)（\([X,Y]\) 与 \(X, Y\) 都交换），则 $\(e^X e^Y = e^{X + Y + \frac{1}{2}[X,Y]}.\)$ 这一特殊情形在量子力学中经常出现（例如 Weyl 关系 \(e^{i\alpha \hat{q}} e^{i\beta \hat{p}} = e^{-i\alpha\beta\hbar/2} e^{i(\alpha\hat{q} + \beta\hat{p})}\)，其中 \([\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar\) 是标量，自动与一切交换）。
定理 55.17 (Zassenhaus 公式)
\(e^{X+Y}\) 也可以分解为无穷乘积： $\(e^{X+Y} = e^X e^Y e^{-\frac{1}{2}[X,Y]} e^{\frac{1}{3}[Y,[X,Y]] + \frac{1}{6}[X,[X,Y]]} \cdots\)$ 每个因子都是嵌套括号的指数。这在数值方法（算子分裂法）中有重要应用。
注记
BCH 公式的核心意义是：Lie 群的群乘法完全由 Lie 代数的括号运算决定（至少在单位元附近）。这是为什么研究 Lie 群可以"下降"到研究 Lie 代数——一个纯线性代数对象——的根本原因。
本章小结¶
| 矩阵群 | 定义条件 | Lie 代数 | 维数 | 连通/紧 |
|---|---|---|---|---|
| \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\) | \(\det \neq 0\) | \(M_n(\mathbb{R})\) | \(n^2\) | 不连通/不紧 |
| \(\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})\) | \(\det = 1\) | \(\operatorname{tr} = 0\) | \(n^2-1\) | 连通/不紧 |
| \(\mathrm{O}(n)\) | \(Q^TQ=I\) | 反对称 | \(\frac{n(n-1)}{2}\) | 不连通/紧 |
| \(\mathrm{SO}(n)\) | \(Q^TQ=I, \det=1\) | 反对称 | \(\frac{n(n-1)}{2}\) | 连通/紧 |
| \(\mathrm{U}(n)\) | \(U^*U=I\) | 反 Hermite | \(n^2\) | 连通/紧 |
| \(\mathrm{SU}(n)\) | \(U^*U=I, \det=1\) | 反 Hermite + \(\operatorname{tr}=0\) | \(n^2-1\) | 连通/紧/单连通 |
| \(\mathrm{Sp}(2n)\) | \(M^TJM=J\) | \(X^TJ+JX=0\) | \(n(2n+1)\) | 连通/不紧 |
关键概念：
- Lie 代数 \(\mathfrak{g}\)：切空间 + Lie 括号 \([X,Y] = XY - YX\)。
- 指数映射 \(\exp: \mathfrak{g} \to G\)：在原点局部微分同胚；紧连通群上满射。
- 伴随表示：\(\mathrm{Ad}_g(X) = gXg^{-1}\)，\(\mathrm{ad}_X(Y) = [X,Y]\)。
- BCH 公式：\(\log(e^X e^Y) = X + Y + \frac{1}{2}[X,Y] + \cdots\)（纯括号表达式）。
习题¶
习题 55.1
证明 \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})\) 连通。（提示：利用 Jordan 标准形将任意可逆矩阵连续变形到 \(I\)。）
习题 55.2
计算 \(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{R})\) 的 Killing 型。验证它是非退化的，从而 \(\mathfrak{sl}(2)\) 半单。在基 \(\{e, f, h\}\)（例 55.2）下写出 Killing 型的矩阵。
习题 55.3
设 \(X \in \mathfrak{so}(3)\)，\(\|X\| = \theta\)。利用 \(X^3 = -\theta^2 X\)，推导 Rodrigues 公式 $\(e^X = I + \frac{\sin\theta}{\theta}X + \frac{1-\cos\theta}{\theta^2}X^2.\)$
习题 55.4
证明 Cayley 变换的性质：若 \(X^T = -X\)（反对称），则 \(Q = (I-X)(I+X)^{-1}\) 满足 \(Q^TQ = I\) 且 \(\det Q = 1\)。
习题 55.5
证明 \(\mathrm{U}(n)\) 上的指数映射是满射。（提示：酉矩阵可以对角化，对角元素在单位圆上，可以取对数。）
习题 55.6
对 \(X = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，\(Y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，计算 BCH 公式的前三阶项 \(Z = X + Y + \frac{1}{2}[X,Y] + \cdots\)，并与 \(\log(e^X e^Y)\) 的直接计算比较。
习题 55.7
证明：\(\mathrm{O}(n)\) 的两个连通分支 \(\mathrm{SO}(n)\) 和 \(\{Q \in \mathrm{O}(n) : \det Q = -1\}\) 作为流形微分同胚（但只有前者是子群）。
习题 55.8
设 \(G\) 是紧连通矩阵 Lie 群。证明 \(\mathfrak{g}\) 上的 Killing 型 \(B\) 是半负定的（即 \(B(X,X) \leq 0\)）。（提示：\(G\) 紧意味着 \(\mathrm{Ad}\) 保持某个内积，故 \(\mathrm{ad}_X\) 是反对称的。）
习题 55.9
验证标准粒子物理模型的规范群 \(SU(3) \times SU(2) \times U(1)\) 的总维数为 \(8 + 3 + 1 = 12\)。
习题 55.10
设 \(SE(3)\) 是三维刚体运动群（旋转 + 平移），由 \(4 \times 4\) 矩阵 $\(\begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad R \in \mathrm{SO}(3), t \in \mathbb{R}^3\)$ 构成。
(a) 验证 \(SE(3)\) 是矩阵群。
(b) 写出其 Lie 代数 \(\mathfrak{se}(3)\) 的一般元素形式。
(c) 计算 \(\dim SE(3) = 6\)。
习题 55.11
证明 Jacobi 恒等式 \([X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0\) 对矩阵 Lie 括号 \([A,B] = AB - BA\) 成立。