第 00 章 多项式代数¶
前置：数系基础（复数、实数）
本章脉络：多项式环 \(F[x]\) 定义 \(\to\) 带余除法 \(\to\) 欧几里得整环 (ED) 性质 \(\to\) 最大公约数 (GCD) 与 Bezout 恒等式 \(\to\) 因式分解定理 \(\to\) 代数基本定理 \(\to\) 判别式与结式 \(\to\) 不可约性判别（Eisenstein 准则） \(\to\) 矩阵多项式与最小多项式初步
延伸：多项式理论是理解矩阵特征值、最小多项式以及 Jordan 标准形的代数基础；结式理论是消去法和代数几何的基石
多项式代数不仅是初等代数的延续，更是线性算子理论的语言。在线性代数中，我们关心的不仅是多项式的求值，更是其作为代数对象的除法、分解以及在算子空间中的作用。本章将系统建立 \(F[x]\) 的代数结构，为后续研究算子的谱理论打下坚实基础。
00.1 多项式环的结构¶
定义 00.1 (多项式环)
设 \(F\) 为一个域。\(F\) 上的多项式环 \(F[x]\) 是所有形式为 \(f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i\) 的表达式构成的集合，其中 \(a_i \in F\)。 - 若 \(a_n \neq 0\)，则称 \(\deg f = n\) 为 \(f\) 的次数。 - \(a_n = 1\) 的多项式称为首一多项式（monic polynomial）。
定理 00.1 (带余除法)
对于 \(f(x), g(x) \in F[x]\) 且 \(g(x) \neq 0\)，存在唯一的 \(q(x), r(x) \in F[x]\) 使得： $\(f(x) = q(x)g(x) + r(x), \quad \deg r < \deg g \text{ 或 } r = 0\)$ 这表明 \(F[x]\) 是一个欧几里得整环 (ED)。
推论 00.1 (PID 与 UFD 性质)
由于 \(F[x]\) 是欧几里得整环，它必然是： 1. 主理想整环 (PID)：\(F[x]\) 的每一个理想都可以由一个元素生成。 2. 唯一分解整环 (UFD)：每一个 non-zero 非单位多项式都可以唯一地分解为不可约多项式的乘积。
00.2 最大公约数与 Bezout 恒等式¶
定义 00.2 (最大公约数)
\(d(x)\) 称为 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的最大公约数（GCD），记作 \(\gcd(f, g)\)，若 \(d\) 整除 \(f\) 和 \(g\)，且任何其他公因式都整除 \(d\)。通常取首一的 \(d(x)\)。
定理 00.2 (Bezout 恒等式)
设 \(d(x) = \gcd(f, g)\)。则存在多项式 \(u(x), v(x) \in F[x]\) 使得： $\(u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)\)$ 特别地，若 \(\gcd(f, g) = 1\)，则称 \(f, g\) 互素。
00.3 根与因式分解¶
定理 00.3 (余式定理与因式定理)
- \(f(x)\) 除以 \((x - a)\) 的余数等于 \(f(a)\)。
- \((x - a)\) 整除 \(f(x)\) 当且仅当 \(f(a) = 0\)。
定理 00.4 (代数基本定理)
每一个次数 \(n \geq 1\) 的复系数多项式在复数域 \(\mathbb{C}\) 内至少有一个根。由此推论，\(f(z) \in \mathbb{C}[z]\) 可以完全分解为 \(n\) 个一次因式的乘积： $\(f(z) = c(z - \alpha_1)(z - \alpha_2) \cdots (z - \alpha_n)\)$
00.4 不可约性判别¶
定理 00.5 (Eisenstein 判别准则)
设 \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]\)。若存在素数 \(p\) 使得： 1. \(p \nmid a_n\)； 2. \(p \mid a_i\) 对所有 \(i < n\)； 3. \(p^2 \nmid a_0\)。 则 \(f(x)\) 在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的。
00.5 结式与判别式¶
定义 00.3 (结式)
两个多项式 \(f, g\) 的结式（Resultant）\(\operatorname{Res}(f, g)\) 是其系数组成的 Sylvester 矩阵的行列式。 \(\operatorname{Res}(f, g) = 0\) 当且仅当 \(f\) 与 \(g\) 在代数闭域中有公共根。
练习题¶
1. [除法] 用 \(x^2 + 1\) 除 \(x^4 + 3x^2 + 2\)，求商 \(q(x)\) 和余式 \(r(x)\)。
参考答案
步骤 1：观察最高次项。 被除式最高项为 \(x^4\)，除式为 \(x^2\)。第一项商为 \(x^4 / x^2 = x^2\)。 \((x^4 + 3x^2 + 2) - x^2(x^2 + 1) = x^4 + 3x^2 + 2 - x^4 - x^2 = 2x^2 + 2\)。
步骤 2：处理余下的项。 当前余式为 \(2x^2 + 2\)。次项商为 \(2x^2 / x^2 = 2\)。 \((2x^2 + 2) - 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2 - 2x^2 - 2 = 0\)。
结论： 商 \(q(x) = x^2 + 2\)，余式 \(r(x) = 0\)。这说明 \(x^2+1\) 是原多项式的一个因式。
2. [GCD] 求 \(f(x) = x^3 - 1\) 与 \(g(x) = x^2 - 1\) 的最大公约数。
参考答案
方法 1：因式分解法。 \(f(x) = x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)\)。注意 \(x^2+x+1\) 在实数域不可约（判别式 \(1-4=-3 < 0\)）。 \(g(x) = x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\)。 共同的最高次项公因子只有 \((x-1)\)。
方法 2：辗转相除法。 \(x^3 - 1 = x(x^2 - 1) + (x - 1)\)。 \(x^2 - 1 = (x+1)(x-1) + 0\)。 最后一个非零余式为 \((x-1)\)。
结论： \(\gcd(f, g) = x-1\)。
3. [Bezout] 说明若 \(\gcd(f, g) = 1\)，则存在 \(u(x), v(x)\) 使得 \(uf + vg = 1\)。
参考答案
推导： 1. 这是 Bezout 恒等式在多项式环 \(F[x]\) 中的体现。 2. 在 \(F[x]\) 中，理想由单个元素生成（PID）。考虑集合 \(I = \{ u(x)f(x) + v(x)g(x) : u, v \in F[x] \}\)。 3. \(I\) 是 \(F[x]\) 的一个理想，其生成元必为 \(\gcd(f, g)\)。 4. 既然 \(\gcd(f, g) = 1\)，则理想 \(I\) 包含 1。 5. 因此，存在 \(u(x), v(x)\) 的某种组合使得结果恰好为单位元 1。
4. [根与因式] 证明：\(a\) 是 \(f(x)\) 的根当且仅当 \((x-a)\) 整除 \(f(x)\)。
参考答案
证明过程： 1. 利用带余除法：任何多项式 \(f(x)\) 都可以表示为 \(f(x) = (x-a)q(x) + r\)，其中 \(r\) 必须是一个常数（因为除式次数为 1）。 2. 求余数 \(r\)：在恒等式中令 \(x=a\)，则 \(f(a) = (a-a)q(a) + r = 0 \cdot q(a) + r = r\)。 3. 结论导出： - 若 \(a\) 是根，则 \(f(a)=0\)，从而 \(r=0\)，因此 \((x-a)q(x) = f(x)\)，说明 \((x-a)\) 整除 \(f(x)\)。 - 反之，若 \((x-a) \mid f(x)\)，则余数 \(r=0\)，推得 \(f(a)=0\)。
5. [代数基本定理] 在复数域 \(\mathbb{C}\) 上，\(n\) 次多项式恰好有多少个根（计重数）？
参考答案
解析： 1. 根据代数基本定理，每一个次数 \(n \ge 1\) 的复系数多项式在 \(\mathbb{C}\) 内至少有一个根 \(\alpha_1\)。 2. 由因式定理可知 \(f(x) = (x-\alpha_1)f_1(x)\)，其中 \(f_1(x)\) 次数为 \(n-1\)。 3. 对 \(f_1(x)\) 重复上述过程，直至降至常数。 4. 结论： 最终 \(f(x)\) 可以分解为 \(n\) 个线性因子的乘积 \(c(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)\)。 5. 因此，在复数域内，\(n\) 次多项式恰好有 \(n\) 个根（重根计入多次）。
6. [重根] 如何通过导数 \(f'(x)\) 判断 \(f(x)\) 是否有重根？
参考答案
分析： 1. 设 \(\alpha\) 是 \(f(x)\) 的 \(k\) 重根（\(k \ge 2\)），则 \(f(x) = (x-\alpha)^k g(x)\)。 2. 求导得 \(f'(x) = k(x-\alpha)^{k-1} g(x) + (x-\alpha)^k g'(x) = (x-\alpha)^{k-1} [kg(x) + (x-\alpha)g'(x)]\)。 3. 可见，\(\alpha\) 至少也是 \(f'(x)\) 的 \(k-1\) 重根。 4. 结论： \(f(x)\) 有重根的充要条件是 \(\gcd(f, f') \neq 1\)。具体地，\(\gcd(f, f')\) 的每一个根都是 \(f(x)\) 的重根。
7. [矩阵多项式] 若 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)，计算 \(p(A)\) 其中 \(p(x) = x^2 - 1\)。
参考答案
计算步骤： 1. 计算 \(A^2\)：对于对角阵，幂运算即为对角元的幂。 \(A^2 = \begin{pmatrix} 1^2 & 0 \\ 0 & 2^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\)。 2. 计算 \(p(A) = A^2 - I\)： \(p(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)。
8. [Cayley-Hamilton初步] 设 \(A\) 为 \(2 \times 2\) 矩阵，其特征多项式为 \(p(x)\)。\(p(A)\) 等于什么？
参考答案
定性结论： 根据 Cayley-Hamilton 定理，每一个方阵都满足其自身的特征方程。 数学表达： 对于任何方阵 \(A\)，若 \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)，则 \(p(A) = O\)（零矩阵）。 这意味着即使是极其复杂的矩阵，其特征多项式作用下的结果总是会发生“湮灭”。
9. [不可约性] 判定 \(x^2 + 1\) 在 \(\mathbb{R}[x]\) 和 \(\mathbb{C}[x]\) 上是否不可约。
参考答案
分析： 1. 在实数域 \(\mathbb{R}[x]\)：\(x^2 + 1 = 0\) 的判别式 \(\Delta = 0^2 - 4(1)(1) = -4 < 0\)。这意味着它在实数域内没有根，无法分解为两个 1 次因式。因此，它在 \(\mathbb{R}[x]\) 上是不可约的。 2. 在复数域 \(\mathbb{C}[x]\)：利用虚数单位 \(i\)，可以分解为 \((x+i)(x-i)\)。由于它被分解为了两个次数更低的多项式之积，因此在 \(\mathbb{C}[x]\) 上是可约的。
10. [Eisenstein] 使用 \(p=2\) 判定 \(x^3 + 2x + 2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的不可约性。
参考答案
Eisenstein 判别法检查： 1. 首项系数：\(a_3 = 1\)。\(p=2\) 不整除 1（条件 1 满足）。 2. 中间项与常数项：\(a_2 = 0, a_1 = 2, a_0 = 2\)。\(p=2\) 整除 0, 2, 2（条件 2 满足）。 3. 常数项平方检查：\(p^2 = 4\)。4 不整除 \(a_0 = 2\)（条件 3 满足）。
结论： 三条准则全部满足，该多项式在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上是不可约的。
本章小结¶
本章确立了线性代数中的算子代数基础：
- 结构一致性：多项式环的代数结构（带余除法、GCD）与整数环高度相似，均属于欧几里得整环。
- 根的理论：通过因式分解定理建立了根与线性因式的对应关系，代数基本定理保证了算子特征值的存在性。
- 映射工具：将标量多项式扩展到矩阵变量，通过结式等工具为后续研究多项式特征值问题做好了铺垫。