第 2 章矩阵与矩阵运算¶

前置：第 1 章增广矩阵 · 初等行变换

本章脉络：矩阵定义 → 加法/数乘 → 矩阵乘法（\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 的抽象） → 转置 → 逆矩阵 → 初等矩阵 → 分块矩阵 → 秩

延伸：矩阵在量子力学（可观测量为 Hermite 矩阵）、图论（邻接矩阵）、Markov 链（转移矩阵）中是核心工具；稀疏矩阵存储与运算是大规模科学计算的关键

矩阵（matrix）是线性代数的核心语言。它不仅是线性方程组的紧凑表示工具，更是描述线性变换的基本载体。本章将系统地介绍矩阵的基本概念和各种运算——加法、标量乘法、矩阵乘法、转置和求逆，并深入讨论初等矩阵、分块矩阵技术以及矩阵的秩等重要概念。

2.1 矩阵的定义与基本概念¶

从方程组到矩阵：第 1 章中系数排列成的矩形阵列 → 现在赋予它独立的数学身份 → 零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等特殊角色

定义 2.1 (矩阵)

一个 \(m \times n\) 矩阵（matrix）是由 \(m\) 行 \(n\) 列元素排列成的矩形阵列，记为

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]

简记为 \(A = (a_{ij})_{m \times n}\) 或 \(A = (a_{ij})\)。元素 \(a_{ij}\) 位于第 \(i\) 行第 \(j\) 列。全体 \(m \times n\) 实矩阵的集合记为 \(\mathbb{R}^{m \times n}\)，全体 \(m \times n\) 复矩阵的集合记为 \(\mathbb{C}^{m \times n}\)。

定义 2.2 (特殊矩阵)

设 \(A = (a_{ij})\) 为矩阵，以下是几类重要的特殊矩阵：

零矩阵（zero matrix）：所有元素为零的矩阵，记为 \(O\) 或 \(O_{m \times n}\)。
方阵（square matrix）：行数等于列数的矩阵，即 \(m = n\)，称为 \(n\) 阶方阵。
单位矩阵（identity matrix）：\(n\) 阶方阵，主对角线元素全为 \(1\)，其余为 \(0\)，记为 \(I_n\) 或 \(I\)：

\[ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \]
对角矩阵（diagonal matrix）：\(a_{ij} = 0\)（\(i \ne j\)），记为 \(\operatorname{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)\)。
上三角矩阵（upper triangular matrix）：\(a_{ij} = 0\)（\(i > j\)），即主对角线下方的元素全为零。
下三角矩阵（lower triangular matrix）：\(a_{ij} = 0\)（\(i < j\)），即主对角线上方的元素全为零。
对称矩阵（symmetric matrix）：\(a_{ij} = a_{ji}\)（对所有 \(i, j\)），即 \(A = A^T\)。
反对称矩阵（skew-symmetric / antisymmetric matrix）：\(a_{ij} = -a_{ji}\)，即 \(A = -A^T\)。特别地，反对称矩阵的对角线元素必为零。

2.2 矩阵的加法与标量乘法¶

逐元素运算：对应位置相加/数乘 → 满足 8 条公理 → \(\mathbb{R}^{m \times n}\) 本身构成向量空间（→ 第 4 章的重要例子）

定义 2.3 (矩阵加法与标量乘法)

设 \(A = (a_{ij})\) 和 \(B = (b_{ij})\) 为同型矩阵（即都是 \(m \times n\) 矩阵），\(c\) 为标量，定义：

矩阵加法：\(A + B = (a_{ij} + b_{ij})\)，即对应位置的元素相加。
标量乘法：\(cA = (ca_{ij})\)，即每个元素乘以 \(c\)。

定理 2.1 (矩阵加法与标量乘法的运算律)

设 \(A, B, C\) 为同型矩阵，\(c, d\) 为标量，则：

\(A + B = B + A\)（加法交换律）
\((A + B) + C = A + (B + C)\)（加法结合律）
\(A + O = A\)（零矩阵为加法单位元）
\(A + (-A) = O\)（加法逆元）
\(c(A + B) = cA + cB\)（标量乘法对矩阵加法的分配律）
\((c + d)A = cA + dA\)（标量加法对矩阵的分配律）
\((cd)A = c(dA)\)（标量乘法的结合律）
\(1 \cdot A = A\)

证明

以上性质均可由矩阵元素的实数运算律直接推得。以性质 5 为例：

\((c(A + B))_{ij} = c(a_{ij} + b_{ij}) = ca_{ij} + cb_{ij} = (cA)_{ij} + (cB)_{ij} = (cA + cB)_{ij}\)。

由于对所有 \(i, j\) 都成立，故 \(c(A + B) = cA + cB\)。其余类似。\(\blacksquare\)

注

上述 8 条性质表明，全体 \(m \times n\) 矩阵在矩阵加法和标量乘法下构成一个向量空间 \(\mathbb{R}^{m \times n}\)，其维数为 \(mn\)。

2.3 矩阵乘法¶

核心运算：\(A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n\)（列的线性组合） → 矩阵乘法 = 线性变换的复合（→ 第 5 章） → 注意：不满足交换律

定义 2.4 (矩阵乘法)

设 \(A = (a_{ij})\) 为 \(m \times p\) 矩阵，\(B = (b_{jk})\) 为 \(p \times n\) 矩阵，则 \(A\) 与 \(B\) 的乘积（matrix product）\(C = AB\) 为 \(m \times n\) 矩阵，其第 \((i, k)\) 元素为

\[ c_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij} b_{jk} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \cdots + a_{ip}b_{pk}. \]

即 \(C\) 的第 \((i, k)\) 元素是 \(A\) 的第 \(i\) 行与 \(B\) 的第 \(k\) 列的内积。

注

矩阵乘法 \(AB\) 有意义的前提是 \(A\) 的列数等于 \(B\) 的行数。若 \(A\) 为 \(m \times p\) 矩阵、\(B\) 为 \(p \times n\) 矩阵，则 \(AB\) 为 \(m \times n\) 矩阵。

定理 2.2 (矩阵乘法的运算律)

设矩阵的大小使得以下运算有意义，\(c\) 为标量，则：

\(A(BC) = (AB)C\)（结合律）
\(A(B + C) = AB + AC\)（左分配律）
\((A + B)C = AC + BC\)（右分配律）
\(c(AB) = (cA)B = A(cB)\)
\(I_m A = A = AI_n\)（其中 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵）

证明

以结合律为例。设 \(A = (a_{ij})_{m \times p}\)，\(B = (b_{jk})_{p \times q}\)，\(C = (c_{kl})_{q \times n}\)。

\((A(BC))_{il} = \sum_{j=1}^p a_{ij}(BC)_{jl} = \sum_{j=1}^p a_{ij}\left(\sum_{k=1}^q b_{jk}c_{kl}\right) = \sum_{j=1}^p \sum_{k=1}^q a_{ij}b_{jk}c_{kl}\)

\(((AB)C)_{il} = \sum_{k=1}^q (AB)_{ik}c_{kl} = \sum_{k=1}^q \left(\sum_{j=1}^p a_{ij}b_{jk}\right)c_{kl} = \sum_{k=1}^q \sum_{j=1}^p a_{ij}b_{jk}c_{kl}\)

由有限求和可交换求和顺序，两者相等。\(\blacksquare\)

定理 2.3 (矩阵乘法不满足交换律)

矩阵乘法一般不满足交换律，即 \(AB \neq BA\)（即使两个乘积都有意义）。

例 2.1

设

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

则

\[ AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

显然 \(AB \neq BA\)。

例 2.2

矩阵乘法的另一个与实数运算不同之处：\(AB = O\) 不能推出 \(A = O\) 或 \(B = O\)。例如

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O. \]

例 2.3

利用矩阵乘法，线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 可以理解为：向量 \(\mathbf{b}\) 是 \(A\) 的列向量 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n\) 的线性组合。具体地，若 \(A = (\mathbf{a}_1 \; \mathbf{a}_2 \; \cdots \; \mathbf{a}_n)\)，则

\[ A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n. \]

2.4 矩阵的转置¶

行列互换：\((AB)^T = B^TA^T\)（顺序反转！） → 对称矩阵 \(A = A^T\) 将在第 6 章谱定理和第 7 章正交性中扮演核心角色

定义 2.5 (转置矩阵)

设 \(A = (a_{ij})\) 为 \(m \times n\) 矩阵，\(A\) 的转置（transpose）记为 \(A^T\)，是将 \(A\) 的行变为列（或列变为行）所得的 \(n \times m\) 矩阵，即 \((A^T)_{ij} = a_{ji}\)。

定理 2.4 (转置的性质)

设 \(A, B\) 为适当大小的矩阵，\(c\) 为标量，则：

\((A^T)^T = A\)
\((A + B)^T = A^T + B^T\)
\((cA)^T = cA^T\)
\((AB)^T = B^T A^T\)（注意顺序反转）

证明

重点证明性质 4。设 \(A\) 为 \(m \times p\) 矩阵，\(B\) 为 \(p \times n\) 矩阵，则 \(AB\) 为 \(m \times n\) 矩阵，\((AB)^T\) 为 \(n \times m\) 矩阵。

\(((AB)^T)_{ji} = (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}\)

\((B^T A^T)_{ji} = \sum_{k=1}^p (B^T)_{jk}(A^T)_{ki} = \sum_{k=1}^p b_{kj}a_{ik} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}\)

两式相等，故 \((AB)^T = B^T A^T\)。\(\blacksquare\)

命题 2.1 (对称矩阵与反对称矩阵的性质)

若 \(A\) 为方阵，则 \(A + A^T\) 为对称矩阵，\(A - A^T\) 为反对称矩阵。
任何方阵 \(A\) 可以唯一地分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和：

\[ A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}. \]

证明

\((A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T\)，故对称。\((A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T)\)，故反对称。
上式显然成立。唯一性：设 \(A = S + K\)（\(S\) 对称，\(K\) 反对称），则 \(A^T = S - K\)，故 \(S = \frac{A + A^T}{2}\)，\(K = \frac{A - A^T}{2}\)。\(\blacksquare\)

2.5 逆矩阵¶

可逆性 = 方程组有唯一解：\(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 对任意 \(\mathbf{b}\) 有唯一解 → 定理 2.7 给出 9 个等价条件，贯穿前 4 章的核心概念

定义 2.6 (可逆矩阵)

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，若存在 \(n\) 阶方阵 \(B\) 使得

\[ AB = BA = I_n, \]

则称 \(A\) 是可逆的（invertible）或非奇异的（nonsingular），\(B\) 称为 \(A\) 的逆矩阵（inverse matrix），记为 \(A^{-1}\)。若 \(A\) 不可逆，则称 \(A\) 为奇异的（singular）。

定理 2.5 (逆矩阵的唯一性)

若矩阵 \(A\) 可逆，则其逆矩阵唯一。

证明

设 \(B\) 和 \(C\) 都是 \(A\) 的逆矩阵，则

\[ B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. \]

因此 \(B = C\)，逆矩阵唯一。\(\blacksquare\)

定理 2.6 (逆矩阵的性质)

设 \(A, B\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，\(c\) 为非零标量，则：

\((A^{-1})^{-1} = A\)
\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)（注意顺序反转）
\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)
\((cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}\)

证明

以性质 2 为例：

\((AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I\)

类似可验证 \((B^{-1}A^{-1})(AB) = I\)，因此 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。\(\blacksquare\)

定理 2.7 (可逆矩阵的等价条件)

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，以下条件等价：

\(A\) 可逆。
\(A\) 行等价于 \(I_n\)（\(A\) 的简化行阶梯形为 \(I_n\)）。
\(A\) 有 \(n\) 个主元位置。
齐次方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 只有平凡解。
对任意 \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\)，方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有唯一解。
\(A\) 的列向量线性无关。
\(A\) 的列向量张成 \(\mathbb{R}^n\)。
\(\det(A) \neq 0\)。
\(\operatorname{rank}(A) = n\)。

求逆方法一：初等变换法¶

将 \(A\) 与 \(I_n\) 并列，构成 \(n \times 2n\) 增广矩阵 \([A \mid I]\)，对其施行行变换将左半部分化为 \(I_n\)。若成功，则右半部分即为 \(A^{-1}\)：

\[ [A \mid I] \xrightarrow{\text{行变换}} [I \mid A^{-1}]. \]

例 2.4

求矩阵的逆：

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]

构造增广矩阵并进行行变换：

\[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{行变换}} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 6 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \]

因此

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

求逆方法二：伴随矩阵法¶

对于 \(n\) 阶可逆矩阵 \(A\)，其逆矩阵也可以通过伴随矩阵来计算（将在行列式章节中详细介绍）：

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A), \]

其中 \(\operatorname{adj}(A)\) 是 \(A\) 的伴随矩阵（adjugate matrix），即代数余子式矩阵的转置。

例 2.5

对于 \(2 \times 2\) 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，若 \(ad - bc \neq 0\)，则

\[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \]

2.6 初等矩阵¶

行变换的矩阵化：第 1 章的三种行变换 → 对 \(I\) 做一次行变换得初等矩阵 \(E\) → 左乘 \(E\) = 做一次行变换 → \(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 是初等矩阵之积

定义 2.7 (初等矩阵)

对单位矩阵 \(I_n\) 施行一次初等行变换所得的矩阵称为初等矩阵（elementary matrix）。对应三种初等行变换，有三类初等矩阵：

行交换矩阵 \(E(i, j)\)：交换 \(I_n\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 行。
行倍乘矩阵 \(E(i(c))\)：将 \(I_n\) 的第 \(i\) 行乘以非零常数 \(c\)。
行倍加矩阵 \(E(i, j(c))\)：将 \(I_n\) 的第 \(j\) 行的 \(c\) 倍加到第 \(i\) 行上。

定理 2.8 (初等矩阵与行变换)

对 \(m \times n\) 矩阵 \(A\) 施行一次初等行变换，等价于用相应的 \(m\) 阶初等矩阵左乘 \(A\)。

类似地，对 \(A\) 施行一次初等列变换，等价于用相应的 \(n\) 阶初等矩阵右乘 \(A\)。

证明

以行倍加为例。设 \(E = E(i, j(c))\)，则 \(E\) 的第 \(i\) 行为 \(\mathbf{e}_i + c\mathbf{e}_j\)（\(\mathbf{e}_k\) 表示第 \(k\) 个标准基向量），其余行与 \(I\) 相同。

\((EA)\) 的第 \(i\) 行 \(= (\mathbf{e}_i + c\mathbf{e}_j)A = A\) 的第 \(i\) 行 \(+ c \cdot A\) 的第 \(j\) 行。

\((EA)\) 的第 \(k\) 行（\(k \neq i\)）\(= \mathbf{e}_k A = A\) 的第 \(k\) 行。

这正是行倍加 \(R_i + cR_j \to R_i\) 的效果。\(\blacksquare\)

定理 2.9 (初等矩阵可逆)

每个初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵：

\(E(i, j)^{-1} = E(i, j)\)
\(E(i(c))^{-1} = E(i(1/c))\)
\(E(i, j(c))^{-1} = E(i, j(-c))\)

定理 2.10 (可逆矩阵是初等矩阵的乘积)

\(n\) 阶矩阵 \(A\) 可逆当且仅当 \(A\) 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

证明

\((\Rightarrow)\) 若 \(A\) 可逆，则 \(A\) 行等价于 \(I_n\)，即存在初等矩阵 \(E_1, E_2, \ldots, E_k\) 使得 \(E_k \cdots E_2 E_1 A = I\)。因此 \(A = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}\)，而每个 \(E_i^{-1}\) 也是初等矩阵。

\((\Leftarrow)\) 初等矩阵都是可逆的，可逆矩阵的乘积仍可逆。\(\blacksquare\)

例 2.6

将矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}\) 表示为初等矩阵的乘积。

将 \(A\) 化为 \(I\)：

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

即 \(E(1,2(-2)) \cdot E(2,1(-3)) \cdot A = I\)，所以

\[ A = E(2,1(-3))^{-1} \cdot E(1,2(-2))^{-1} = E(2,1(3)) \cdot E(1,2(2)) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

2.7 分块矩阵¶

分而治之：大矩阵按块运算 → 分块对角矩阵使行列式/求逆分解为独立子问题 → 分块视角贯穿后续章节（第 6 章对角化、第 5 章不变子空间）

当矩阵规模较大时，将其分割为若干较小的子矩阵（块，block）往往能简化分析和计算。

定义 2.8 (分块矩阵)

将矩阵 \(A\) 用水平线和垂直线分割成若干子矩阵，所得结果称为 \(A\) 的一个分块（partitioning）。每个子矩阵称为 \(A\) 的一个块（block）或子块。例如将 \(m \times n\) 矩阵 \(A\) 分块为

\[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \]

其中 \(A_{11}\) 为 \(m_1 \times n_1\) 矩阵，\(A_{12}\) 为 \(m_1 \times n_2\) 矩阵，等等，且 \(m_1 + m_2 = m\)，\(n_1 + n_2 = n\)。

定理 2.11 (分块矩阵的乘法)

若矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的分块方式使得对应的乘积有意义（即 \(A\) 的列分法与 \(B\) 的行分法一致），则分块矩阵的乘法可以像标量元素的矩阵乘法一样进行。

例如，设

\[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} \]

分块相容，则

\[ AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}. \]

定义 2.9 (分块对角矩阵)

形如

\[ A = \begin{pmatrix} A_1 & & \\ & A_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{pmatrix} \]

的矩阵称为分块对角矩阵（block diagonal matrix），其中 \(A_1, A_2, \ldots, A_k\) 为方阵，对角块之外的元素全为零。记为 \(A = \operatorname{diag}(A_1, A_2, \ldots, A_k)\)。

命题 2.2 (分块对角矩阵的性质)

设 \(A = \operatorname{diag}(A_1, A_2, \ldots, A_k)\)，则：

\(\det(A) = \det(A_1)\det(A_2)\cdots\det(A_k)\)。
\(A\) 可逆当且仅当每个 \(A_i\) 都可逆，此时 \(A^{-1} = \operatorname{diag}(A_1^{-1}, A_2^{-1}, \ldots, A_k^{-1})\)。

例 2.7

设

\[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{pmatrix} \]

为分块上三角矩阵，其中 \(A_{11}\) 和 \(A_{22}\) 为方阵。若 \(A_{11}\) 和 \(A_{22}\) 都可逆，则 \(A\) 可逆，且

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ O & A_{22}^{-1} \end{pmatrix}. \]

验证：

\[ \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ O & A_{22}^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & A_{12}A_{22}^{-1} - A_{12}A_{22}^{-1} \\ O & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}. \]

2.8 矩阵的秩¶

秩 = 矩阵的"有效维度"：REF 中非零行数 = 列秩 = 行秩 → \(\operatorname{rank}(A)\) 统一刻画了方程组的自由度 → Sylvester 不等式控制乘积的秩

定义 2.10 (矩阵的秩)

矩阵 \(A\) 的秩（rank）记为 \(\operatorname{rank}(A)\) 或 \(r(A)\)，定义为 \(A\) 的行阶梯形中非零行的个数，即主元的个数。

等价地，\(\operatorname{rank}(A)\) 等于 \(A\) 的列向量组的极大线性无关组的大小（列秩），也等于 \(A\) 的行向量组的极大线性无关组的大小（行秩）。

定理 2.12 (行秩 = 列秩)

对任意矩阵 \(A\)，其行秩等于列秩。

证明

设 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵，\(\operatorname{rank}(A) = r\)。将 \(A\) 化为行阶梯形 \(R\)，\(R\) 有 \(r\) 个非零行，故行秩 \(\le r\)。由于行变换不改变行空间（行空间由行向量张成），\(A\) 的行秩等于 \(R\) 的行秩，等于 \(r\)（\(R\) 的 \(r\) 个非零行线性无关）。

另一方面，行变换不改变列向量的线性相关性（因为不改变齐次方程 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 的解集），所以 \(A\) 和 \(R\) 有相同的列秩。\(R\) 有 \(r\) 个主元列，对应 \(r\) 个线性无关的列向量，故列秩也等于 \(r\)。\(\blacksquare\)

定理 2.13 (秩的性质)

设 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵，\(B\) 为 \(n \times p\) 矩阵，则：

\(0 \le \operatorname{rank}(A) \le \min(m, n)\)。
\(\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)\)。
\(\operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))\)。
若 \(P\) 为 \(m\) 阶可逆矩阵，\(Q\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，则 \(\operatorname{rank}(PAQ) = \operatorname{rank}(A)\)。
\(\operatorname{rank}(A + B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)\)（当 \(A, B\) 同型时）。

定理 2.14 (Sylvester 秩不等式)

设 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵，\(B\) 为 \(n \times p\) 矩阵，则

\[ \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \le \operatorname{rank}(AB). \]

证明

考虑 \(B\) 的列空间和 \(A\) 的零空间。\(B\) 的列空间维数为 \(\operatorname{rank}(B)\)，\(A\) 的零空间维数为 \(n - \operatorname{rank}(A)\)。

\(AB\) 的列空间由 \(A\) 作用在 \(B\) 的列空间上得到。\(B\) 的列空间中被 \(A\) 映射为零的向量恰好是 \(B\) 的列空间与 \(A\) 的零空间的交集。

由维数公式：

\[ \operatorname{rank}(AB) = \dim(A(\operatorname{Col}(B))) = \operatorname{rank}(B) - \dim(\operatorname{Col}(B) \cap \ker(A)) \]

\[ \ge \operatorname{rank}(B) - \dim(\ker(A)) = \operatorname{rank}(B) - (n - \operatorname{rank}(A)) \]

\[ = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n. \quad \blacksquare \]

例 2.8

求矩阵的秩：

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 9 \\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \]

行变换：

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 9 \\ 1 & 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, \; R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

有 \(2\) 个非零行，故 \(\operatorname{rank}(A) = 2\)。

例 2.9

设 \(A\) 为 \(3 \times 5\) 矩阵，\(B\) 为 \(5 \times 4\) 矩阵，\(\operatorname{rank}(A) = 3\)，\(\operatorname{rank}(B) = 4\)。由 Sylvester 不等式：

\[ \operatorname{rank}(AB) \ge 3 + 4 - 5 = 2. \]

又 \(\operatorname{rank}(AB) \le \min(3, 4) = 3\)，因此 \(2 \le \operatorname{rank}(AB) \le 3\)。

第 2 章 矩阵与矩阵运算¶