第 02 章 矩阵与矩阵运算¶
前置：线性方程组 (Ch01)
本章脉络：矩阵定义与表示 \(\to\) 基本运算（加法、数乘、乘法） \(\to\) 矩阵乘法的非交换性 \(\to\) 转置运算与性质 \(\to\) 特殊矩阵（单位阵、对角阵、三角阵、对称阵） \(\to\) 初等矩阵与行变换的代数化 \(\to\) 逆矩阵定义与性质 \(\to\) 高斯-约当求逆法 \(\to\) 分块矩阵运算 \(\to\) 矩阵的迹
延伸：矩阵不仅是数据的容器，更是线性空间的映射算子；矩阵乘法的定义反映了线性变换的复合 (Ch05)
如果说线性方程组是线性代数的语言，那么矩阵就是它的符号系统。矩阵将复杂的线性关系浓缩为简洁的矩形阵列，并赋予了其一套精妙的代数规则。本章将确立矩阵运算的标准公理，并深入探讨逆矩阵这一核心工具。
02.1 矩阵的基本定义与运算¶
定义 02.1 (矩阵)
一个 \(m \times n\) 的矩阵（Matrix）是由 \(m \cdot n\) 个元素排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的矩形阵列。常用大写字母 \(A, B\) 表示。
定义 02.2 (矩阵乘法)
若 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(B\) 是 \(n \times p\) 矩阵，则积 \(C = AB\) 是 \(m \times p\) 矩阵，其条目为： $\(c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}\)$ 警告：矩阵乘法一般不满足交换律，即 \(AB \neq BA\)。
02.2 特殊矩阵类¶
定义 02.3 (特殊矩阵)
- 单位矩阵 \(I\)：对角线全为 1，其余为 0。满足 \(AI = IA = A\)。
- 对称矩阵：满足 \(A^T = A\)。
- 反对称矩阵：满足 \(A^T = -A\)。
- 三角矩阵：上三角矩阵（主对角线下方全为 0）或下三角矩阵。
02.3 初等矩阵与逆矩阵¶
定义 02.4 (逆矩阵)
对于 \(n\) 阶方阵 \(A\)，若存在方阵 \(B\) 使得 \(AB = BA = I\)，则称 \(A\) 是可逆的（或非奇异的），\(B\) 称为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(A^{-1}\)。
定理 02.1 (逆矩阵的性质)
- \((A^{-1})^{-1} = A\)
- \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\)（穿脱法则）
- \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)
算法 02.1 (高斯-约当求逆法)
构造分块矩阵 \([A | I]\)，通过初等行变换将其左侧化为 \(I\)，则右侧即为 \(A^{-1}\)： $\([A | I] \xrightarrow{\text{row operations}} [I | A^{-1}]\)$
02.4 分块矩阵¶
技术：分块运算
对于大规模矩阵，常将其划分为较小的子块。若分块尺寸匹配，分块矩阵的加法和乘法规则与普通矩阵完全一致。这在分布式计算和稀疏矩阵处理中至关重要。
练习题¶
1. [基础] 已知 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)。计算 \(AB\) 和 \(BA\)。
参考答案
计算 \(AB\)： \(AB = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 2\cdot 1 & 1\cdot 1 + 2\cdot 0 \\ 3\cdot 0 + 4\cdot 1 & 3\cdot 1 + 4\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\)。
计算 \(BA\)： \(BA = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 + 1\cdot 3 & 0\cdot 2 + 1\cdot 4 \\ 1\cdot 1 + 0\cdot 3 & 1\cdot 2 + 0\cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)。
结论： \(AB \neq BA\)，这验证了矩阵乘法的非交换性。
2. [单位矩阵] 证明对于任何 \(n \times n\) 矩阵 \(A\)，都有 \(AI = IA = A\)。
参考答案
证明： 1. 考虑 \(AI\) 的分量 \((AI)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \delta_{kj}\)。 2. 其中 \(\delta_{kj}\) 是 Kronecker 符号，仅当 \(k=j\) 时为 1，其余为 0。 3. 因此求和式中只有 \(k=j\) 的项保留，即 \((AI)_{ij} = a_{ij} \cdot 1 = a_{ij}\)。 4. 同理可证 \((IA)_{ij} = a_{ij}\)。 5. 故 \(AI = IA = A\)。
3. [转置] 已知 \((AB)^T = B^T A^T\)。利用此性质求 \((A^T B)^T\)。
参考答案
推导： 1. 根据转置的分配律，积的转置等于转置之积的倒序。 2. 令 \(M = A^T, N = B\)。则 \((MN)^T = N^T M^T\)。 3. 代入：\((A^T B)^T = B^T (A^T)^T\)。 4. 由于转置的转置是其自身：\((A^T)^T = A\)。 5. 结论： \((A^T B)^T = B^T A\)。
4. [对称性] 若 \(A\) 是对称矩阵，证明 \(A^2\) 也是对称矩阵。
参考答案
证明： 1. 对称矩阵满足 \(A^T = A\)。 2. 我们需要证明 \((A^2)^T = A^2\)。 3. 利用性质 \((AB)^T = B^T A^T\)：\((AA)^T = A^T A^T\)。 4. 代入 \(A^T = A\) 得：\((AA)^T = AA = A^2\)。 5. 因此 \(A^2\) 是对称矩阵。
5. [逆矩阵] 求 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) 的逆矩阵。
参考答案
步骤 1：计算行列式。 \(\det(A) = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = 4 - 6 = -2\)。 由于 \(\det(A) \neq 0\)，逆矩阵存在。
步骤 2：利用 \(2 \times 2\) 求逆公式。 对于 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，逆为 \(\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)。 \(A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\)。
6. [幂运算] 计算 \(A^k\) 其中 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
参考答案
观察前几次幂： \(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。 \(A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
归纳规律： 可以推测 \(A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。 该矩阵常用于描述线性系统中的平移累积。
7. [迹] 证明 \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\)。
参考答案
证明： 1. 根据迹的定义：\(\operatorname{tr}(M) = \sum M_{ii}\)。 2. \((AB)_{ii} = \sum_j a_{ij} b_{ji}\)。 3. 故 \(\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}\)。 4. \((BA)_{jj} = \sum_i b_{ji} a_{ij}\)。 5. 故 \(\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}\)。 6. 由于标量乘法满足交换律且有限项求和顺序可交换，二者相等。
8. [初等矩阵] 左乘一个初等矩阵 \(E\) 相当于对 \(A\) 执行什么操作？
参考答案
结论： 左乘 \(E\) 相当于对 \(A\) 执行一次对应的初等行变换。 - 若 \(E\) 是交换两行的单位阵，则 \(EA\) 交换 \(A\) 的对应行。 - 若 \(E\) 是某行乘 \(k\) 的单位阵，则 \(EA\) 使 \(A\) 的对应行乘 \(k\)。 这一性质是高斯消元法能够被“矩阵化”的核心原因。
9. [分块] 计算 \(\begin{pmatrix} I & A \\ 0 & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & -A \\ 0 & I \end{pmatrix}\)。
参考答案
分块乘法步骤： 结果矩阵的分块元素为： - 左上：\(I\cdot I + A\cdot 0 = I\) - 右上：\(I\cdot(-A) + A\cdot I = -A + A = 0\) - 左下：\(0\cdot I + I\cdot 0 = 0\) - 右下：\(0\cdot(-A) + I\cdot I = I\)
结论： 结果为单位阵 \(\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix}\)。这说明该矩阵的逆就是将其右上角变号。
10. [秩初步] 矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 的秩是多少？
参考答案
分析： 1. 矩阵的秩定义为最大线性无关行（或列）的个数。 2. 第一行为 \((1, 0)\)，非零。 3. 第二行为 \((0, 0)\)，零行。 4. 显然只有第一行是独立贡献的。 结论： 秩为 1。该矩阵将整个平面投影到了 \(x\) 轴上。