第 3 章 行列式

前置：第 2 章方阵 · 可逆性 · 初等矩阵

本章脉络：排列与逆序数 → 行列式定义 → 性质（行变换效应） → 余子式展开 → 伴随矩阵求逆 → 行列式乘法公式 → Cramer 法则 → 几何意义

延伸：行列式在微分几何（体积形式、Jacobi 行列式与换元积分）、统计力学（配分函数）、代数拓扑（关联矩阵的行列式与 Euler 特征数）中有深刻应用

行列式（determinant）是方阵特有的一个标量值，蕴含着矩阵的大量信息——可逆性、线性变换对体积的缩放效应、特征值之积等。本章从排列与逆序数出发建立行列式的严格定义，系统推导行列式的基本性质，介绍按行（列）展开定理与各种计算方法，最后证明 Cramer 法则并阐述行列式的几何意义。

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3.1 排列与逆序数

行列式的组合基础：\(n!\) 个排列的符号（奇/偶）决定了行列式定义中每项的正负号

定义 3.1 (排列)

由 \(1, 2, \ldots, n\) 组成的一个有序排列 \(\sigma = (j_1, j_2, \ldots, j_n)\) 称为 \(\{1, 2, \ldots, n\}\) 的一个排列（permutation）。\(n\) 个元素的全部排列共有 \(n!\) 个。

定义 3.2 (逆序与逆序数)

在排列 \(\sigma = (j_1, j_2, \ldots, j_n)\) 中，若 \(s < t\) 但 \(j_s > j_t\)，则称 \((j_s, j_t)\) 为一个逆序（inversion）。排列 \(\sigma\) 中所有逆序的总数称为 \(\sigma\) 的逆序数（inversion number），记为 \(\tau(\sigma)\) 或 \(\operatorname{inv}(\sigma)\)。

• 若 \(\tau(\sigma)\) 为偶数，则称 \(\sigma\) 为偶排列（even permutation）。
• 若 \(\tau(\sigma)\) 为奇数，则称 \(\sigma\) 为奇排列（odd permutation）。

排列 \(\sigma\) 的符号（sign / signature）定义为 \(\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{\tau(\sigma)}\)。

例 3.1

排列 \((3, 1, 2)\) 的逆序为 \((3,1)\) 和 \((3,2)\)，逆序数为 \(2\)，是偶排列，符号为 \(+1\)。

排列 \((3, 2, 1)\) 的逆序为 \((3,2)\)、\((3,1)\)、\((2,1)\)，逆序数为 \(3\)，是奇排列，符号为 \(-1\)。

命题 3.1

在排列中交换（对换）两个元素的位置，逆序数的奇偶性改变。因此排列的奇偶性在一次对换后翻转。

证明

相邻对换：交换相邻的 \(j_k\) 和 \(j_{k+1}\)，仅影响这一对的逆序关系，逆序数变化 \(\pm 1\)，奇偶性改变。

一般对换：交换位置 \(s\) 和 \(t\)（\(s < t\)）可以分解为 \(2(t-s)-1\) 次相邻对换（先把 \(j_t\) 移到位置 \(s\) 需要 \(t-s\) 次，再把原来的 \(j_s\) 从位置 \(s+1\) 移到位置 \(t\) 需要 \(t-s-1\) 次），共 \(2(t-s)-1\) 为奇数次相邻对换，因此奇偶性改变。\(\blacksquare\)

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3.2 行列式的定义

从排列到定义：\(\det(A) = \sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_i a_{i\sigma(i)}\) → 每项从每行每列各取恰好一个元素 → \(n!\) 项求和

定义 3.3 (\(n\) 阶行列式)

设 \(A = (a_{ij})\) 为 \(n\) 阶方阵，\(A\) 的行列式（determinant）定义为

\[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}, \]

其中求和遍历 \(\{1, 2, \ldots, n\}\) 的全部 \(n!\) 个排列 \(\sigma\)，\(\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{\tau(\sigma)}\)。

行列式也记为 \(|A|\) 或

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}. \]

例 3.2

\(2\) 阶行列式：

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc. \]

\(3\) 阶行列式（Sarrus 法则）：

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}. \]

例 3.3

计算

\[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot(-1)\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot 1 + 3\cdot 0\cdot 0 - 3\cdot(-1)\cdot 1 - 1\cdot 0\cdot 1 - 2\cdot 2\cdot 0 = -2 + 2 + 0 + 3 - 0 - 0 = 3. \]

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3.3 行列式的性质

计算基础：行交换变号 → 行倍乘乘 \(c\) → 行倍加不变 → 三者对应第 1 章三种初等行变换 → \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) 是乘法公式的精髓

以下性质构成行列式计算的理论基础。

定理 3.1 (转置不变性)

\(\det(A^T) = \det(A)\)。

证明

\[ \det(A^T) = \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}. \]

令 \(\tau = \sigma^{-1}\)，则 \(\sigma(i) = j\) 等价于 \(\tau(j) = i\)，且 \(\operatorname{sgn}(\tau) = \operatorname{sgn}(\sigma)\)。

\[ \det(A^T) = \sum_{\tau} \operatorname{sgn}(\tau) a_{1\tau(1)}a_{2\tau(2)}\cdots a_{n\tau(n)} = \det(A). \quad \blacksquare \]

注

由转置不变性，行列式关于行成立的性质对列也成立，反之亦然。

定理 3.2 (行交换变号)

交换矩阵的两行（或两列），行列式变号。

证明

交换第 \(i\) 行和第 \(j\) 行等价于在行列式定义中将排列 \(\sigma\) 复合一个对换，由命题 3.1，排列符号取反，故行列式变号。\(\blacksquare\)

定理 3.3 (行的齐次性)

若矩阵的某一行（或某一列）的所有元素都乘以常数 \(c\)，则行列式乘以 \(c\)。即

\[ \det(\ldots, c\mathbf{r}_i, \ldots) = c \cdot \det(\ldots, \mathbf{r}_i, \ldots), \]

其中 \(\mathbf{r}_i\) 表示第 \(i\) 行。

证明

在定义式中，每项恰包含第 \(i\) 行的一个元素 \(a_{i\sigma(i)}\)。该元素被乘以 \(c\) 后，每项都被乘以 \(c\)，故行列式乘以 \(c\)。\(\blacksquare\)

推论 3.1

\(\det(cA) = c^n \det(A)\)，其中 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵。

定理 3.4 (行的加法性)

若矩阵的第 \(i\) 行可以写成两个行向量之和 \(\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i' + \mathbf{r}_i''\)，则

\[ \det(\ldots, \mathbf{r}_i' + \mathbf{r}_i'', \ldots) = \det(\ldots, \mathbf{r}_i', \ldots) + \det(\ldots, \mathbf{r}_i'', \ldots). \]

证明

在定义式中，第 \(i\) 行元素为 \(a_{i\sigma(i)}' + a_{i\sigma(i)}''\)，展开后得到两部分之和，恰好对应右边两个行列式。\(\blacksquare\)

定理 3.5 (两行相同则行列式为零)

若矩阵有两行（或两列）相同，则行列式为 \(0\)。

证明

设第 \(i\) 行和第 \(j\) 行相同。交换这两行，矩阵不变但行列式变号（定理 3.2），故 \(\det(A) = -\det(A)\)，得 \(2\det(A) = 0\)，即 \(\det(A) = 0\)。\(\blacksquare\)

定理 3.6 (行倍加不改变行列式)

将矩阵的第 \(j\) 行的 \(c\) 倍加到第 \(i\) 行上，行列式不变。

证明

\[ \det(\ldots, \mathbf{r}_i + c\mathbf{r}_j, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots) = \det(\ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots) + c \cdot \det(\ldots, \mathbf{r}_j, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots). \]

第二项中第 \(i\) 行和第 \(j\) 行都是 \(\mathbf{r}_j\)，由定理 3.5 为零。\(\blacksquare\)

定理 3.7 (三角矩阵的行列式)

上三角矩阵（或下三角矩阵）的行列式等于其主对角线元素的乘积：

\[ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}. \]

证明

以上三角矩阵为例。在行列式定义式 \(\sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}\) 中，由于 \(a_{ij} = 0\)（\(i > j\)），要使乘积 \(a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)} \neq 0\)，需要对每个 \(i\) 都有 \(\sigma(i) \ge i\)。又因为 \(\sigma\) 是排列（双射），唯一可能是 \(\sigma(i) = i\)（恒等排列），其符号为 \(+1\)。因此 \(\det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\)。\(\blacksquare\)

关键洞察：\(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) 使行列式成为从矩阵乘法群到标量乘法群的同态 → 第 6 章推论：\(\det A = \prod \lambda_i\)

定理 3.8 (行列式的乘法公式)

设 \(A, B\) 为 \(n\) 阶方阵，则

\[ \det(AB) = \det(A)\det(B). \]

证明

情形一：\(A\) 不可逆。则 \(\operatorname{rank}(A) < n\)，\(AB\) 的列都是 \(A\) 的列向量的线性组合，\(\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(A) < n\)，所以 \(AB\) 不可逆，\(\det(AB) = 0\)。又 \(\det(A) = 0\)，故 \(\det(AB) = 0 = \det(A)\det(B)\)。

情形二：\(A\) 可逆。\(A\) 可表示为初等矩阵的乘积 \(A = E_1 E_2 \cdots E_k\)。对初等矩阵，可以直接验证 \(\det(EA) = \det(E)\det(A)\)（分三种初等矩阵讨论，利用定理 3.2、3.3、3.6）。反复应用得

\[ \det(AB) = \det(E_1 E_2 \cdots E_k B) = \det(E_1)\det(E_2)\cdots\det(E_k)\det(B) = \det(A)\det(B). \quad \blacksquare \]

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3.4 余子式与代数余子式

降阶工具：删去第 \(i\) 行第 \(j\) 列得 \((n-1)\) 阶子式 → 带符号 \((-1)^{i+j}\) 即为代数余子式 → 为 Laplace 展开和伴随矩阵做准备

定义 3.4 (余子式与代数余子式)

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵。去掉 \(A\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后所得的 \((n-1)\) 阶子方阵的行列式称为元素 \(a_{ij}\) 的余子式（minor），记为 \(M_{ij}\)。

\(a_{ij}\) 的代数余子式（cofactor）定义为

\[ A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}. \]

例 3.4

设 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)。

元素 \(a_{11} = 2\) 的余子式为 \(M_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1\)，代数余子式为 \(A_{11} = (-1)^{1+1}(-1) = -1\)。

元素 \(a_{12} = 1\) 的余子式为 \(M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2\)，代数余子式为 \(A_{12} = (-1)^{1+2}(-2) = 2\)。

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3.5 行列式按行（列）展开

递归计算：\(\det(A) = \sum_j a_{ij}A_{ij}\)（按第 \(i\) 行展开） → 异行展开为零 → 综合得 \(A \cdot \operatorname{adj}(A) = \det(A) \cdot I\) → 由此推出 \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\)

定理 3.9 (Laplace 展开定理)

\(n\) 阶行列式 \(\det(A)\) 可以按第 \(i\) 行展开为

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}, \]

也可以按第 \(j\) 列展开为

\[ \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij} = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj}. \]

证明

按第 \(i\) 行展开。在行列式定义式中，将所有项按 \(a_{i\sigma(i)}\) 的值分组。对于 \(\sigma(i) = j\)，将第 \(i\) 行移到第一行（需 \(i-1\) 次行交换），第 \(j\) 列移到第一列（需 \(j-1\) 次列交换），行列式变为 \((-1)^{(i-1)+(j-1)} = (-1)^{i+j}\) 倍。移除第一行第一列后，剩余部分恰好是 \(M_{ij}\) 对应的 \((n-1)\) 阶行列式。因此

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}. \quad \blacksquare \]

定理 3.10 (异行/列展开为零)

一行的元素与另一行对应的代数余子式的乘积之和为零：

\[ \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = 0 \quad (i \neq j). \]

证明

构造矩阵 \(B\)：将 \(A\) 的第 \(j\) 行替换为第 \(i\) 行（其他行不变）。则 \(B\) 有两行相同（第 \(i\) 行和第 \(j\) 行），故 \(\det(B) = 0\)。将 \(\det(B)\) 按第 \(j\) 行展开，注意 \(B\) 的第 \(j\) 行元素为 \(a_{ik}\)（\(k = 1, \ldots, n\)），而 \(B\) 的第 \(j\) 行代数余子式与 \(A\) 的第 \(j\) 行代数余子式相同（因为删去第 \(j\) 行后，\(B\) 与 \(A\) 在其他行上一致），得

\[ 0 = \det(B) = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk}. \quad \blacksquare \]

综合定理 3.9 和 3.10，可以写成

\[ \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = \delta_{ij} \det(A), \]

其中 \(\delta_{ij}\) 为 Kronecker 符号。这等价于矩阵等式 \(A \cdot \operatorname{adj}(A) = \det(A) \cdot I\)。

定义 3.5 (伴随矩阵)

\(n\) 阶方阵 \(A\) 的伴随矩阵（adjugate matrix / classical adjoint）定义为代数余子式矩阵的转置：

\[ \operatorname{adj}(A) = (A_{ji})_{n \times n}, \]

即 \(\operatorname{adj}(A)\) 的第 \((i, j)\) 元素为 \(A_{ji}\)。

定理 3.11 (伴随矩阵与逆矩阵)

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则

\[ A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I. \]

因此，若 \(\det(A) \neq 0\)，则 \(A\) 可逆且

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A). \]

例 3.5

用伴随矩阵法求逆矩阵。设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\)。

\(\det(A) = 5 - 6 = -1\)。代数余子式：\(A_{11} = 5\)，\(A_{12} = -3\)，\(A_{21} = -2\)，\(A_{22} = 1\)。

\[ \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}. \]

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3.6 行列式的计算方法

实用方法：三角化（利用性质 3.2–3.6） · 递推法（利用展开建立递推关系） · Vandermonde 行列式（经典公式） · 分块行列式

三角化法

利用行变换将矩阵化为上三角形（注意行交换变号、行倍乘乘以倍数），再利用定理 3.7 直接求行列式。

例 3.6

计算

\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{vmatrix} \]

\[ \xrightarrow{R_2 - 4R_1, \; R_3 - 7R_1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -21 \end{vmatrix} \xrightarrow{R_3 - 2R_2} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & -9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) \cdot (-9) = 27. \]

递推法

对于具有特殊规律的行列式，可以建立递推关系来求解。

例 3.7

设 \(D_n\) 为 \(n\) 阶行列式

\[ D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

按第一行展开：\(D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}\)。初始值 \(D_1 = 2\)，\(D_2 = 3\)。

特征方程 \(x^2 - 2x + 1 = 0\) 有重根 \(x = 1\)，通解 \(D_n = (c_1 + c_2 n) \cdot 1^n = c_1 + c_2 n\)。

由 \(D_1 = 2, D_2 = 3\) 解得 \(c_1 = 1, c_2 = 1\)，故 \(D_n = n + 1\)。

Vandermonde 行列式

定理 3.12 (Vandermonde 行列式)

Vandermonde 行列式（Vandermonde determinant）为

\[ V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i). \]

证明

对 \(n\) 进行归纳。\(n = 2\) 时，\(V_2 = x_2 - x_1\)，成立。

设 \(n-1\) 阶时公式成立。对 \(n\) 阶 Vandermonde 行列式，从最后一行开始，每行减去上一行的 \(x_1\) 倍（即 \(R_n - x_1 R_{n-1}\)，\(R_{n-1} - x_1 R_{n-2}\)，...，\(R_2 - x_1 R_1\)）：

\[ V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 0 & x_2 - x_1 & x_2(x_2 - x_1) & \cdots & x_2^{n-2}(x_2 - x_1) \\ 0 & x_3 - x_1 & x_3(x_3 - x_1) & \cdots & x_3^{n-2}(x_3 - x_1) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x_n - x_1 & x_n(x_n - x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n - x_1) \end{vmatrix} \]

按第一列展开，并从第 \(i\) 行（\(i = 2, \ldots, n\)）提出公因子 \((x_i - x_1)\)：

\[ V_n = \prod_{i=2}^n (x_i - x_1) \cdot V_{n-1}(x_2, x_3, \ldots, x_n) \]

由归纳假设，\(V_{n-1}(x_2, \ldots, x_n) = \prod_{2 \le i < j \le n}(x_j - x_i)\)，因此

\[ V_n = \prod_{i=2}^n(x_i - x_1) \cdot \prod_{2 \le i < j \le n}(x_j - x_i) = \prod_{1 \le i < j \le n}(x_j - x_i). \quad \blacksquare \]

分块行列式

定理 3.13 (分块三角矩阵的行列式)

设

\[ M = \begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad M = \begin{pmatrix} A & O \\ C & D \end{pmatrix}, \]

其中 \(A\)、\(D\) 为方阵，则 \(\det(M) = \det(A)\det(D)\)。

例 3.8

计算分块矩阵的行列式：

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 1 & 1 \\ 7 & 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

这是分块下三角矩阵 \(\begin{pmatrix} A & O \\ C & D \end{pmatrix}\)，其中 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(D = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)。

\(\det(M) = \det(A)\det(D) = (4 - 6)(2 - 0) = (-2)(2) = -4\)。

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3.7 Cramer 法则

行列式解方程：\(x_j = \det(A_j)/\det(A)\) → 理论意义 > 计算意义（\(n+1\) 个行列式太贵） → 实际求解仍用第 1 章高斯消元

定理 3.14 (Cramer 法则)

设 \(A\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵（即 \(\det(A) \neq 0\)），则线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有唯一解，且

\[ x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}, \quad j = 1, 2, \ldots, n, \]

其中 \(A_j\) 是将 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为 \(\mathbf{b}\) 所得的矩阵。

证明

由 \(A\) 可逆，方程有唯一解 \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\)。利用伴随矩阵公式：

\[ x_j = (A^{-1}\mathbf{b})_j = \frac{1}{\det(A)}\sum_{i=1}^n A_{ji} b_i. \]

而 \(\sum_{i=1}^n A_{ji} b_i\) 恰好是将 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为 \(\mathbf{b}\) 后的矩阵 \(A_j\) 按第 \(j\) 列展开的结果，即 \(\det(A_j)\)。因此 \(x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}\)。\(\blacksquare\)

注

Cramer 法则的理论意义大于计算意义。对于大型方程组，高斯消元法的效率远高于 Cramer 法则（后者需要计算 \(n+1\) 个 \(n\) 阶行列式）。

例 3.9

用 Cramer 法则解方程组

\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 5 \\ 3x_1 + 2x_2 = 8 \end{cases} \]

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1, \quad \det(A_1) = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = 2, \quad \det(A_2) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} = 1. \]

\[ x_1 = \frac{2}{1} = 2, \quad x_2 = \frac{1}{1} = 1. \]

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3.8 行列式的几何意义

代数与几何的桥梁：\(|\det A|\) = 列向量张成的平行体的体积 → \(\det A\) 的符号 = 定向（右手/左手系） → 线性变换面积缩放 \(|\det A|\) 倍（→ 第 5 章）

行列式与几何中的面积和体积有着深刻的联系。

定理 3.15 (行列式与面积/体积)

设 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \in \mathbb{R}^n\) 为 \(n\) 个列向量，构成矩阵 \(A = (\mathbf{a}_1 \; \mathbf{a}_2 \; \cdots \; \mathbf{a}_n)\)。

1. 二维：以 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \in \mathbb{R}^2\) 为邻边的平行四边形的有向面积等于 \(\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\)。

2. 三维：以 \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \in \mathbb{R}^3\) 为邻边的平行六面体的有向体积等于 \(\det(A)\)。

3. 一般情形：以 \(\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n\) 为邻边的 \(n\) 维平行体的 \(n\) 维体积的绝对值为 \(|\det(A)|\)。

注

\(\det(A) > 0\) 表示向量组 \(\{\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n\}\) 保持标准基的定向（右手系），\(\det(A) < 0\) 表示反转定向。\(\det(A) = 0\) 表示向量组线性相关，"平行体"退化为低维对象，体积为零。

例 3.10

向量 \(\mathbf{a}_1 = (3, 0)^T\) 和 \(\mathbf{a}_2 = (1, 2)^T\) 张成的平行四边形的面积为

\[ |\det(A)| = \left|\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}\right| = |6 - 0| = 6. \]

几何上，这个平行四边形底边长 \(3\)、高 \(2\)，面积确实为 \(6\)。

例 3.11

线性变换 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\)，将平面上的区域面积缩放为原来的 \(|\det(A)|\) 倍。例如，若 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)，则 \(\det(A) = 6\)，意味着 \(T\) 将任何区域的面积放大到原来的 \(6\) 倍。