第 03 章 行列式¶
前置：矩阵基础 (Ch02)
本章脉络：行列式定义（排列与逆序） \(\to\) 2 阶与 3 阶直观展开 \(\to\) 行列式的关键性质（行/列变换影响） \(\to\) 余子式与代数余子式 \(\to\) Laplace 展开定理 \(\to\) 乘积与逆矩阵的行列式 \(\to\) 伴随矩阵 \(A^*\) 与求逆公式 \(\to\) Cramer 法则 \(\to\) 几何意义（体积缩放因子）
延伸：行列式是判定矩阵可逆性的唯一标量指标，也是研究特征值 (Ch06) 的多项式引擎
行列式是一个将方阵映射为标量的函数。尽管在数值计算中直接使用行列式求解并不高效，但它在理论分析、面积/体积计算以及特征值判定中具有不可替代的地位。本章将从排列的代数定义出发，最终揭示其几何本质。
03.1 行列式的定义¶
定义 03.1 (排列与逆序)
\(n\) 个数的一个全排列的逆序数 \(\tau(\sigma)\) 是指该排列中较大的数排在较小的数前面的对数。排列的符号定义为 \(\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{\tau(\sigma)}\)。
定义 03.2 (行列式的 Leibniz 公式)
\(n\) 阶方阵 \(A\) 的行列式（Determinant）记作 \(\det(A)\) 或 \(|A|\)，定义为： $\(\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)}\)$
03.2 行列式的性质¶
定理 03.1 (核心性质)
- 转置不变：\(\det(A^T) = \det(A)\)。
- 乘法性质：\(\det(AB) = \det(A) \det(B)\)。
- 行变换影响：
- 交换两行，行列式变号。
- 某行乘以 \(k\)，行列式变为原来的 \(k\) 倍。
- 将一行的倍数加到另一行，行列式不变。
- 奇异性判定：\(A\) 可逆 \(\iff \det(A) \neq 0\)。
03.3 余子式与 Laplace 展开¶
定义 03.3 (余子式与代数余子式)
划掉 \(A\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列得到的子阵的行列式称为 \(a_{ij}\) 的余子式 \(M_{ij}\)。 代数余子式定义为 \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)。
定理 03.2 (Laplace 展开)
行列式等于其任意行（或列）的元素与其对应代数余子式乘积之和： $\(\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij} \quad (\text{对固定 } i)\)$
03.4 伴随矩阵与 Cramer 法则¶
定义 03.4 (伴随矩阵 \(A^*\))
由 \(A\) 的所有代数余子式构成的转置矩阵称为 \(A\) 的伴随矩阵： $\((A^*)_{ij} = C_{ji}\)$ 满足核心恒等式：\(AA^* = A^*A = \det(A)I\)。若 \(\det(A) \neq 0\)，则 \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*\)。
应用：Cramer 法则
对于方程组 \(Ax = b\)，若 \(\det(A) \neq 0\)，则 \(x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}\)，其中 \(A_j\) 是将 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为 \(b\) 得到的矩阵。
练习题¶
1. [计算] 计算 \(2 \times 2\) 行列式 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)。
参考答案
公式： \(\det = ad - bc\)。 这是平面上由向量 \((a, c)\) 和 \((b, d)\) 构成的平行四边形的有向面积。
2. [性质] 若 \(\det(A) = 5\)，且 \(A\) 是 \(3 \times 3\) 矩阵，计算 \(\det(2A)\)。
参考答案
推导： 1. 矩阵 \(2A\) 相当于每一行都乘以 2。 2. 根据行列式的多重线性性质，每一行提出来的常数 2 都会对结果产生贡献。 3. 对于 \(n \times n\) 矩阵，\(\det(kA) = k^n \det(A)\)。 4. 计算：\(2^3 \cdot \det(A) = 8 \cdot 5 = 40\)。
3. [特殊阵] 计算上三角矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\) 的行列式。
参考答案
定理应用： 三角矩阵（上三角或下三角）的行列式等于其主对角线元素的乘积。 计算： \(\det = 1 \cdot 4 \cdot 6 = 24\)。
4. [Laplace] 利用第一列展开计算 \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{vmatrix}\)。
参考答案
步骤： 1. 选取第一列：元素为 \(1, 0, 4\)。 2. \(\det = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31}\)。 3. \(C_{11} = (-1)^2 \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 15\)。 4. \(C_{21}\) 项系数为 0，忽略。 5. \(C_{31} = (-1)^4 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 6 = -6\)。 计算： \(\det = 1 \cdot 15 + 4 \cdot (-6) = 15 - 24 = -9\)。
5. [可逆性] 若 \(\det(A^2) = 9\)，求 \(\det(A)\) 的可能值。
参考答案
推导： 1. 利用行列式乘法性质：\(\det(A^2) = \det(A \cdot A) = \det(A) \cdot \det(A) = [\det(A)]^2\)。 2. 已知 \([\det(A)]^2 = 9\)。 3. 结论： \(\det(A) = 3\) 或 \(-3\)。
6. [伴随阵] 证明 \(\det(A^*) = (\det A)^{n-1}\)。
参考答案
证明： 1. 利用基本恒等式 \(AA^* = (\det A)I\)。 2. 两边取行列式：\(\det(AA^*) = \det((\det A)I)\)。 3. \(\det(A)\det(A^*) = (\det A)^n \det(I)\)（利用 \(\det(kI) = k^n\)）。 4. \(\det(A)\det(A^*) = (\det A)^n\)。 5. 若 \(\det A \neq 0\)，两边约去 \(\det A\) 得 \(\det(A^*) = (\det A)^{n-1}\)。 6. 由连续性，当 \(\det A = 0\) 时该式也成立。
7. [乘积] 证明 \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\)。
参考答案
证明： 1. 已知 \(A A^{-1} = I\)。 2. 两边取行列式：\(\det(A A^{-1}) = \det(I) = 1\)。 3. 利用乘法性质：\(\det(A)\det(A^{-1}) = 1\)。 4. 结论： \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\)。
8. [逆序] 排列 \((3, 1, 2)\) 的逆序数是多少？
参考答案
计数过程： 1. 观察数字 3：后面有 1 和 2 两个比它小的数 \(\to\) 2 个逆序。 2. 观察数字 1：后面没有比它小的数 \(\to\) 0 个逆序。 3. 观察数字 2：后面没有数 \(\to\) 0 个逆序。 总逆序数： \(\tau = 2 + 0 + 0 = 2\)。这是一个偶排列。
9. [Cramer] 使用 Cramer 法则判断 \(x+y=1, x+y=2\) 的解。
参考答案
步骤： 1. 计算系数行列式 \(D = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 1 = 0\)。 2. 根据 Cramer 法则，若 \(D=0\)，系统要么无解，要么有无穷多解。 3. 由于 \(D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0\)。 结论： 当 \(D=0\) 但分子不为 0 时，系统无解。
10. [几何] \(\det \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\) 代表什么几何图形的面积？
参考答案
结论： 代表一个以原点为顶点，两条边分别落在坐标轴上，长度为 \(a\) 和 \(b\) 的长方形的面积。其值为 \(ab\)。