第 04 章 向量空间¶
前置：线性方程组 (Ch01) · 矩阵基础 (Ch02)
本章脉络：抽象向量空间定义 \(\to\) 8 条公理 \(\to\) 向量空间实例（坐标空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间） \(\to\) 子空间判定 \(\to\) 线性组合与张成 (Span) \(\to\) 线性相关与无关 \(\to\) 基与维数 \(\to\) 坐标表示 \(\to\) 矩阵的四个基本子空间 \(\to\) 秩-零化度定理（维数公式） \(\to\) 基变换与过渡矩阵
延伸：向量空间将“箭头”的概念抽象化，使我们可以统一处理物理量、信号、多项式等不同对象；它是线性变换 (Ch05) 作用的舞台
如果说矩阵是线性代数的骨架，那么向量空间就是它的灵魂。通过将具体的计算规则抽象为公理，我们获得了一种处理一切满足线性叠加原理的对象的通用方法。本章将从严谨的定义出发，逐步建立起描述空间的“骨架”——基与维数。
04.1 向量空间与公理¶
定义 04.1 (向量空间)
一个集合 \(V\) 称为域 \(F\) 上的向量空间，如果其上定义了加法和数乘运算，并满足以下 8 条公理： 1. 加法结合律与交换律。 2. 存在零向量 \(\mathbf{0}\)。 3. 存在负向量。 4. 数乘结合律。 5. 单位标量作用：\(1\mathbf{v} = \mathbf{v}\)。 6. 标量分配律：\(c(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}\)。 7. 向量分配律：\((a+b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}\)。
04.2 子空间与张成¶
定义 04.2 (子空间)
\(V\) 的非空子集 \(W\) 称为子空间，如果 \(W\) 对加法和数乘封闭： - 若 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\)，则 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W\)。 - 若 \(\mathbf{u} \in W, c \in F\)，则 \(c\mathbf{u} \in W\)。
定义 04.3 (张成空间 Span)
由向量组 \(\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}\) 的所有线性组合构成的集合称为它们的张成空间： $\(\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\} = \{c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k : c_i \in F\}\)$
04.3 基与维数¶
定义 04.4 (线性相关与无关)
若 \(c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}\) 仅在 \(c_i = 0\) 时成立，则向量组线性无关。
定义 04.5 (基与维数)
若向量组 \(B = \{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n\}\) 线性无关且张成 \(V\)，则称 \(B\) 是 \(V\) 的一个基。基中向量的个数称为 \(V\) 的维数 \(\dim(V)\)。
04.4 矩阵的四个基本子空间¶
定理 04.1 (四个基本子空间)
对于 \(m \times n\) 矩阵 \(A\)： 1. 列空间 \(C(A)\)：\(A\) 的列张成的空间，在 \(\mathbb{R}^m\) 中。 2. 零空间 \(N(A)\)：满足 \(Ax = \mathbf{0}\) 的所有 \(x\) 构成的空间，在 \(\mathbb{R}^n\) 中。 3. 行空间 \(C(A^T)\)：\(A\) 的行张成的空间，在 \(\mathbb{R}^n\) 中。 4. 左零空间 \(N(A^T)\)：满足 \(A^T y = \mathbf{0}\) 的所有 \(y\) 构成的空间，在 \(\mathbb{R}^m\) 中。
定理 04.2 (秩-零化度定理)
\(\dim C(A) + \dim N(A) = n\)（列数）。即：秩 + 零化度 = 总列数。
练习题¶
1. [公理] 验证所有 \(2 \times 2\) 矩阵构成的集合 \(M_{2,2}\) 是否是一个向量空间。
参考答案
验证步骤： 1. 定义加法与数乘：使用矩阵加法与矩阵标量乘法。 2. 检查公理： - 矩阵加法满足交换律和结合律。 - 零矩阵 \(O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 存在。 - 矩阵 \(A\) 的负向量为 \(-A\)。 - 分配律对于矩阵运算天然成立。 3. 结论：是的，\(M_{2,2}\) 是一个 4 维向量空间。
2. [子空间] 判定 \(W = \{(x, y) : x \ge 0\}\) 是否是 \(\mathbb{R}^2\) 的子空间。
参考答案
验证封闭性： 1. 加法封闭性：若 \(x_1 \ge 0, x_2 \ge 0\)，则 \(x_1+x_2 \ge 0\)。满足。 2. 数乘封闭性：考虑向量 \(\mathbf{v} = (1, 0) \in W\) 和标量 \(c = -1\)。 3. 计算 \(c\mathbf{v} = (-1, 0)\)。由于 \(-1 < 0\)，该结果不再属于 \(W\)。 结论：不是。子空间必须对所有标量乘法（包括负数）封闭。
3. [线性无关] 判定 \((1, 0), (0, 1), (1, 1)\) 是否线性无关。
参考答案
观察法： 第三个向量是前两个向量的和：\((1, 1) = 1(1, 0) + 1(0, 1)\)。 定义法： 考虑 \(c_1(1, 0) + c_2(0, 1) + c_3(1, 1) = (0, 0)\)。 若取 \(c_1=1, c_2=1, c_3=-1\)，则等式成立。存在非零系数使组合为零。 结论：线性相关。
4. [基与维数] 求 \(\mathbb{R}^3\) 中由 \((1, 0, 0)\) 和 \((0, 1, 0)\) 张成的子空间的维数。
参考答案
分析： 1. 设张成空间为 \(W = \operatorname{span}\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}\)。 2. 检查无关性：这两个向量显然互不共线（线性无关）。 3. 检查维数：基中包含 2 个向量。 结论：维数为 2。几何上，这代表 \(xy\) 平面。
5. [零空间] 求 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) 的零空间 \(N(A)\) 的维数。
参考答案
计算步骤： 1. 求矩阵的秩：两行完全相同，\(\operatorname{rank}(A) = 1\)。 2. 利用维数定理：\(\dim N(A) = n - \operatorname{rank}(A)\)。 3. 代入：\(2 - 1 = 1\)。 结论：零空间维数为 1。其基向量可以选为 \((1, -1)^T\)。
6. [行空间] 矩阵 \(A\) 的列空间维数与行空间维数是否相等？
参考答案
定理应用： 是的。这是矩阵论中的秩定理：对于任何矩阵 \(A\)，\(\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)\)。 这意味着矩阵拥有的独立行数与独立列数总是完全相等的。
7. [坐标] 在基 \(B = \{(1, 1), (1, -1)\}\) 下，向量 \((2, 0)\) 的坐标是什么？
参考答案
解方程组： 设 \((2, 0) = c_1(1, 1) + c_2(1, -1)\)。 得到： \(c_1 + c_2 = 2\) \(c_1 - c_2 = 0\) 解得 \(c_1 = 1, c_2 = 1\)。 结论：坐标为 \([ (2, 0) ]_B = (1, 1)^T\)。
8. [多项式] 判定 \(P_2\)（次数小于 2 的多项式）的标准基是什么？
参考答案
结论： 标准基为 \(\{1, x\}\)。任何次数小于 2 的多项式 \(ax+b\) 都可以唯一表示为 \(b(1) + a(x)\)。 注意：\(P_2\) 在某些教材中指次数“小于等于 2”，此时基为 \(\{1, x, x^2\}\)。在本站定义中，下标通常指维数或最高次数界限。
9. [秩] 若 \(A\) 是 \(3 \times 5\) 矩阵且 \(\operatorname{rank}(A)=3\)，其零空间维数是多少？
参考答案
计算： \(\dim N(A) = \text{列数} - \text{秩} = 5 - 3 = 2\)。 这意味着系统有 2 个自由度（自由变量）。
10. [交空间] 证明两个子空间的交集仍是子空间。
参考答案
证明过程： 设 \(W_1, W_2\) 为子空间，\(U = W_1 \cap W_2\)。 1. 零向量：因为 \(\mathbf{0} \in W_1\) 且 \(\mathbf{0} \in W_2\)，故 \(\mathbf{0} \in U\)。 2. 加法封闭：若 \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in U\)，则它们同时属于 \(W_1\) 和 \(W_2\)。由于两者均对加法封闭，故 \(\mathbf{x}+\mathbf{y}\) 也同时属于两者，即属于 \(U\)。 3. 数乘封闭：同理，若 \(\mathbf{x} \in U\)，则对任何 \(c\)， \(c\mathbf{x}\) 同时属于 \(W_1\) 和 \(W_2\)，故属于 \(U\)。 结论：交集 \(U\) 满足子空间定义。