第 05 章 线性变换¶
前置：向量空间 (Ch04)
本章脉络：线性变换定义 \(\to\) 线性判定准则 \(\to\) 线性变换的矩阵表示（基的选择） \(\to\) 核 (Kernel) 与像 (Range) \(\to\) 单射、满射与同构 \(\to\) 线性变换的运算（和、数乘、复合） \(\to\) 逆变换 \(\to\) 基变换下的矩阵表示（相似矩阵） \(\to\) 几何算子（旋转、反射、投影、切变）
延伸：线性变换将静态的向量空间联系起来，是范畴论中“态射”在向量空间范畴下的具体体现；它是理解对角化 (Ch06) 和 SVD (Ch11) 的核心
向量空间提供了舞台，而线性变换则是舞台上的主角。线性变换是保持向量空间加法和数乘结构的映射，它让我们能够研究不同空间之间的相互联系。本章将揭示一个核心事实：在选定基后，每一个线性变换都可以唯一地表示为一个矩阵。
05.1 线性变换的定义¶
定义 05.1 (线性变换)
映射 \(T: V \to W\) 称为线性变换（Linear Transformation），如果满足： 1. 加法齐次性：\(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\)。 2. 数乘齐次性：\(T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})\)。
性质
线性变换总是将零向量映为零向量：\(T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W\)。
05.2 矩阵表示¶
定理 05.1 (线性变换的矩阵化)
设 \(V\) 的基为 \(B = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\)，\(W\) 的基为 \(C\)。则 \(T\) 完全由其在基向量上的作用 \(T(\mathbf{v}_j)\) 决定。 \(T\) 的矩阵表示为 \([T]_{C \leftarrow B} = [ [T(\mathbf{v}_1)]_C \ \cdots \ [T(\mathbf{v}_n)]_C ]\)。 此时有：\([T(\mathbf{x})]_C = [T]_{C \leftarrow B} [\mathbf{x}]_B\)。
05.3 核与像¶
定义 05.2 (核与像)
- 核 \(\ker(T)\)：所有被映为零向量的向量集合 \(\{\mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}\)。
- 像 \(\operatorname{im}(T)\)：\(V\) 中所有向量经过 \(T\) 映射后的集合 \(\{T(\mathbf{v}) : \mathbf{v} \in V\}\)。
定理 05.2 (维数定理)
\(\dim \ker(T) + \dim \operatorname{im}(T) = \dim V\)。这与矩阵的秩-零化度定理本质一致。
05.4 同构与逆变换¶
定义 05.3 (同构)
若 \(T: V \to W\) 既是单射又是满射（即双射），则称 \(T\) 为同构（Isomorphism）。此时 \(V\) 与 \(W\) 在代数结构上是完全等价性。 推论：两个有限维向量空间同构当且仅当它们的维数相等。
练习题¶
1. [判定] 判定映射 \(T(x, y) = (x+1, y)\) 是否为线性变换。
参考答案
验证零向量属性： 1. 计算 \(T(0, 0) = (0+1, 0) = (1, 0)\)。 2. 对于线性变换，\(T(\mathbf{0})\) 必须等于 \(\mathbf{0}\)。 3. 由于 \((1, 0) \neq (0, 0)\)，该映射违反了线性性质。 结论：不是线性变换。这是一个仿射变换（平移）。
2. [矩阵] 设 \(T\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 标准基下的矩阵为 \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)。描述其几何效果。
参考答案
观察基向量的去向： 1. \(\mathbf{e}_1 = (1, 0)^T\) 被映为第 1 列 \((0, 1)^T\)。 2. \(\mathbf{e}_2 = (0, 1)^T\) 被映为第 2 列 \((-1, 0)^T\)。 3. 在平面直角坐标系中，\((1, 0) \to (0, 1)\) 且 \((0, 1) \to (-1, 0)\) 对应于逆时针旋转 90 度。 结论：这是一个旋转算子。
3. [核] 求微分算子 \(D: P_2 \to P_1\)（\(D(p) = p'\)）的核。
参考答案
解方程 \(D(p) = 0\)： 1. 设 \(p(x) = ax^2 + bx + c\)。 2. \(D(p) = p'(x) = 2ax + b\)。 3. 令 \(2ax + b = 0\) 对所有 \(x\) 成立，必有 \(a=0, b=0\)。 4. 此时 \(p(x) = c\)（常数多项式）。 结论：\(\ker(D) = \operatorname{span}\{1\}\)，即所有常数多项式构成的 1 维子空间。
4. [像] 求上题中 \(D\) 的像。
参考答案
计算基向量的像： 1. \(P_2\) 的一组基为 \(\{1, x, x^2\}\)。 2. \(D(1) = 0\) 3. \(D(x) = 1\) 4. \(D(x^2) = 2x\) 5. 像空间由 \(\{1, 2x\}\) 张成，即 \(\operatorname{span}\{1, x\}\)。 结论：像空间是 \(P_1\)（所有次数小于 1 的多项式）。验证维数定理：\(\dim \ker(1) + \dim \operatorname{im}(2) = \dim P_2(3)\)。
5. [复合] 证明两个线性变换的复合仍是线性变换。
参考答案
证明过程： 设 \(S, T\) 为线性变换。考虑 \(S(T(\mathbf{u}+\mathbf{v}))\)： 1. 由 \(T\) 的线性性：\(= S(T\mathbf{u} + T\mathbf{v})\)。 2. 由 \(S\) 的线性性：\(= S(T\mathbf{u}) + S(T\mathbf{v})\)。 3. 数乘同理：\(S(T(c\mathbf{v})) = S(cT\mathbf{v}) = cS(T\mathbf{v})\)。 结论：复合映射保持了加法和数乘的齐次性。
6. [逆变换] 若 \(T\) 的矩阵为 \(A\)，则 \(T^{-1}\) 存在的充要条件是什么？
参考答案
结论： \(T\) 是可逆变换当且仅当其表示矩阵 \(A\) 是非奇异矩阵（即 \(\det A \neq 0\)）。 此时，\(T^{-1}\) 的表示矩阵恰好是 \(A^{-1}\)。
7. [投影] 写出 \(\mathbb{R}^2\) 到 \(x\) 轴正交投影的矩阵表示。
参考答案
分析： 1. \((1, 0) \to (1, 0)\)（已经在 \(x\) 轴上，保持不变）。 2. \((0, 1) \to (0, 0)\)（垂直投影到原点）。 矩阵： 将像向量作为列填入：\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。
8. [同构] \(\mathbb{R}^n\) 与 \(P_{n-1}\) 是否同构？
参考答案
判定： 1. \(\mathbb{R}^n\) 的维数为 \(n\)。 2. \(P_{n-1}\)（次数小于 \(n-1\) 的多项式）的基为 \(\{1, x, \ldots, x^{n-1}\}\)，维数也是 \(n\)。 3. 根据同构基本定理，两个有限维向量空间同构当且仅当维数相等。 结论：是的，它们同构。
9. [相似] 改变基后，同一变换的矩阵表示 \(A\) 变为 \(B\)，则 \(A\) 与 \(B\) 满足什么关系？
参考答案
关系： \(B = P^{-1}AP\)，其中 \(P\) 是从新基到旧基的过渡矩阵。 这种关系在代数上称为相似。相似矩阵具有相同的特征值、迹和行列式。
10. [迹] 证明线性变换的迹与基的选择无关。
参考答案
证明： 1. 不同基下的矩阵 \(A\) 与 \(B\) 是相似的，即 \(B = P^{-1}AP\)。 2. 利用迹的性质 \(\operatorname{tr}(MN) = \operatorname{tr}(NM)\)。 3. \(\operatorname{tr}(B) = \operatorname{tr}(P^{-1} (AP)) = \operatorname{tr}((AP) P^{-1}) = \operatorname{tr}(A (PP^{-1})) = \operatorname{tr}(A)\)。 结论：迹是线性变换的固有属性（不变量）。