第 5 章 线性变换

前置：第 4 章向量空间 · 基与维数 · 坐标

本章脉络：线性变换定义 → 核与像 → 秩-零化度定理 → 矩阵表示 → 基变换/相似 → 复合与逆 → 同构 → 不变子空间

延伸：线性变换在微分方程（线性算子 \(D = d/dx\)）、量子力学（算符代数）、信号处理（线性滤波器）中是基本工具；无穷维线性算子理论（谱理论、紧算子）是泛函分析的核心

线性变换（linear transformation）是线性代数中最核心的概念之一，它将向量空间的代数结构与几何直觉统一起来。在前几章中，我们已经看到矩阵乘法 \(A\mathbf{x}\) 将一个向量映射为另一个向量；本章将从抽象的角度认识到，这种映射的本质——保持加法和标量乘法——才是最关键的性质。我们将系统地研究线性变换的定义与性质、核与像、秩-零化度定理、矩阵表示、基变换与相似矩阵、复合与逆、同构以及不变子空间等内容，为后续的特征值理论和内积空间理论打下坚实基础。

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5.1 线性变换的定义

核心公理：\(T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v}) = cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v})\) → 保持线性组合 → 旋转、投影、微分都是线性变换，平移不是 → \(T\) 由基上的值唯一确定（定理 5.2）

定义 5.1 (线性变换)

设 \(V\) 和 \(W\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间。映射 \(T: V \to W\) 称为从 \(V\) 到 \(W\) 的一个线性变换（linear transformation），若对所有 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) 和所有标量 \(c \in \mathbb{F}\)，满足：

1. 可加性（additivity）：\(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\)
2. 齐次性（homogeneity）：\(T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})\)

当 \(W = V\) 时，\(T\) 也称为 \(V\) 上的线性算子（linear operator）。

定理 5.1 (线性变换的等价条件)

设 \(T: V \to W\) 为映射，则以下条件等价：

1. \(T\) 是线性变换。
2. 对所有 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) 和 \(c, d \in \mathbb{F}\)，有 \(T(c\mathbf{u} + d\mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + dT(\mathbf{v})\)。
3. 对任意有限个向量 \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \in V\) 和标量 \(c_1, \ldots, c_k \in \mathbb{F}\)，有

\[T\left(\sum_{i=1}^{k} c_i \mathbf{v}_i\right) = \sum_{i=1}^{k} c_i T(\mathbf{v}_i)\]

证明

\((1) \Rightarrow (2)\)：由可加性，\(T(c\mathbf{u} + d\mathbf{v}) = T(c\mathbf{u}) + T(d\mathbf{v})\)；再由齐次性，\(= cT(\mathbf{u}) + dT(\mathbf{v})\)。

\((2) \Rightarrow (3)\)：对 \(k\) 进行归纳。\(k = 1\) 时，取 \(d = 0\) 即得 \(T(c_1 \mathbf{v}_1) = c_1 T(\mathbf{v}_1)\)。假设 \(k-1\) 时成立，则

\[T\left(\sum_{i=1}^{k} c_i \mathbf{v}_i\right) = T\left(\sum_{i=1}^{k-1} c_i \mathbf{v}_i + c_k \mathbf{v}_k\right) = T\left(\sum_{i=1}^{k-1} c_i \mathbf{v}_i\right) + c_k T(\mathbf{v}_k) = \sum_{i=1}^{k} c_i T(\mathbf{v}_i)\]

\((3) \Rightarrow (1)\)：取 \(k = 2\)，\(c_1 = c_2 = 1\) 得可加性；取 \(k = 1\) 得齐次性。 \(\blacksquare\)

命题 5.1 (线性变换的基本性质)

设 \(T: V \to W\) 为线性变换，则：

1. \(T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W\)
2. \(T(-\mathbf{v}) = -T(\mathbf{v})\)
3. \(T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v})\)

证明

1. \(T(\mathbf{0}) = T(0 \cdot \mathbf{v}) = 0 \cdot T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\)。
2. \(T(-\mathbf{v}) = T((-1)\mathbf{v}) = (-1)T(\mathbf{v}) = -T(\mathbf{v})\)。
3. \(T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = T(\mathbf{u} + (-\mathbf{v})) = T(\mathbf{u}) + T(-\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v})\)。 \(\blacksquare\)

例 5.1

旋转变换：\(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) 将平面上的向量逆时针旋转角度 \(\theta\)：

\[T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix}\]

可以验证 \(T\) 满足可加性和齐次性，因此是线性变换。其几何意义是将整个平面刚性地旋转 \(\theta\) 角。

例 5.2

正交投影：\(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) 将空间中的向量投影到 \(xy\) 平面：

\[T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}\]

验证：\(T(c\mathbf{u} + d\mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + dT(\mathbf{v})\)，因此 \(T\) 是线性变换。

例 5.3

微分算子：设 \(V = C^1(\mathbb{R})\) 为所有连续可微函数的空间，\(W = C(\mathbb{R})\) 为所有连续函数的空间。定义 \(D: V \to W\)，\(D(f) = f'\)。由导数的线性性：

\[D(cf + dg) = (cf + dg)' = cf' + dg' = cD(f) + dD(g)\]

因此微分算子 \(D\) 是线性变换。

例 5.4

非线性映射的反例：映射 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(T(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)（平移）不是线性变换，因为 \(T(\mathbf{0}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \mathbf{0}\)。

定理 5.2 (线性变换由基上的值唯一确定)

设 \(V\) 为有限维向量空间，\(\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) 是 \(V\) 的一组基，\(W\) 为任意向量空间。对任意给定的 \(\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n \in W\)，存在唯一的线性变换 \(T: V \to W\) 使得

\[T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n\]

证明

存在性：任意 \(\mathbf{v} \in V\) 可唯一写成 \(\mathbf{v} = c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n\)。定义

\[T(\mathbf{v}) = c_1 \mathbf{w}_1 + \cdots + c_n \mathbf{w}_n\]

验证线性性：设 \(\mathbf{u} = a_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n\)，\(\mathbf{v} = b_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + b_n \mathbf{v}_n\)，则

\[T(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = T\left(\sum_i (\alpha a_i + \beta b_i)\mathbf{v}_i\right) = \sum_i (\alpha a_i + \beta b_i)\mathbf{w}_i = \alpha \sum_i a_i \mathbf{w}_i + \beta \sum_i b_i \mathbf{w}_i = \alpha T(\mathbf{u}) + \beta T(\mathbf{v})\]

唯一性：若 \(S: V \to W\) 也满足 \(S(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\)，则对任意 \(\mathbf{v} = \sum c_i \mathbf{v}_i\)，

\[S(\mathbf{v}) = \sum c_i S(\mathbf{v}_i) = \sum c_i \mathbf{w}_i = T(\mathbf{v})\]

故 \(S = T\)。 \(\blacksquare\)

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5.2 核与像

信息的损失与覆盖：\(\ker(T)\) = 被映到 \(\mathbf{0}\) 的向量（第 1 章齐次解集的推广） → \(\operatorname{im}(T)\) = 值域 → 单射 \(\Leftrightarrow\) \(\ker(T)=\{\mathbf{0}\}\)

定义 5.2 (核)

设 \(T: V \to W\) 为线性变换。\(T\) 的核（kernel），也称零空间（null space），定义为

\[\ker(T) = \{\mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}\]

定义 5.3 (像)

设 \(T: V \to W\) 为线性变换。\(T\) 的像（image），也称值域（range），定义为

\[\operatorname{im}(T) = \{T(\mathbf{v}) : \mathbf{v} \in V\} = \{w \in W : \exists \mathbf{v} \in V,\; T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}\}\]

定理 5.3 (核与像是子空间)

设 \(T: V \to W\) 为线性变换，则：

1. \(\ker(T)\) 是 \(V\) 的子空间。
2. \(\operatorname{im}(T)\) 是 \(W\) 的子空间。

证明

(1) 验证 \(\ker(T)\) 是子空间：

• 非空：由命题 5.1，\(T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\)，故 \(\mathbf{0} \in \ker(T)\)。
• 封闭性：设 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \ker(T)\)，\(c \in \mathbb{F}\)。则 \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}\)，故 \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in \ker(T)\)。\(T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}\)，故 \(c\mathbf{u} \in \ker(T)\)。

(2) 验证 \(\operatorname{im}(T)\) 是子空间：

• 非空：\(T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} \in \operatorname{im}(T)\)。
• 封闭性：设 \(\mathbf{w}_1 = T(\mathbf{v}_1), \mathbf{w}_2 = T(\mathbf{v}_2) \in \operatorname{im}(T)\)，\(c \in \mathbb{F}\)。则 \(\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 = T(\mathbf{v}_1) + T(\mathbf{v}_2) = T(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) \in \operatorname{im}(T)\)。\(c\mathbf{w}_1 = cT(\mathbf{v}_1) = T(c\mathbf{v}_1) \in \operatorname{im}(T)\)。 \(\blacksquare\)

定义 5.4 (零化度与秩)

设 \(T: V \to W\) 为有限维向量空间之间的线性变换。

• \(T\) 的零化度（nullity）定义为 \(\operatorname{nullity}(T) = \dim(\ker(T))\)
• \(T\) 的秩（rank）定义为 \(\operatorname{rank}(T) = \dim(\operatorname{im}(T))\)

定理 5.4 (单射与满射的刻画)

设 \(T: V \to W\) 为线性变换，则：

1. \(T\) 是单射（injective）当且仅当 \(\ker(T) = \{\mathbf{0}\}\)。
2. \(T\) 是满射（surjective）当且仅当 \(\operatorname{im}(T) = W\)。

证明

(1) \((\Rightarrow)\) 若 \(T\) 单射，设 \(\mathbf{v} \in \ker(T)\)，则 \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} = T(\mathbf{0})\)，由单射性 \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\)。

\((\Leftarrow)\) 若 \(\ker(T) = \{\mathbf{0}\}\)，设 \(T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v})\)，则 \(T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \mathbf{0}\)，即 \(\mathbf{u} - \mathbf{v} \in \ker(T) = \{\mathbf{0}\}\)，故 \(\mathbf{u} = \mathbf{v}\)。

(2) 由像的定义直接可得。 \(\blacksquare\)

例 5.5

设 \(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) 定义为 \(T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - y \\ 2y + z \end{pmatrix}\)。

求 \(\ker(T)\)：解 \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\)，即 \(x - y = 0\)，\(2y + z = 0\)。设 \(y = t\)，则 \(x = t\)，\(z = -2t\)，故

\[\ker(T) = \left\{ t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} : t \in \mathbb{R} \right\}\]

\(\operatorname{nullity}(T) = 1\)。

求 \(\operatorname{im}(T)\)：\(T(\mathbf{v}) = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)。由于 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) 线性无关，故 \(\operatorname{im}(T) = \mathbb{R}^2\)，\(\operatorname{rank}(T) = 2\)。

验证：\(\operatorname{nullity}(T) + \operatorname{rank}(T) = 1 + 2 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)\)。

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5.3 秩-零化度定理

有限维线性代数的基本等式：\(\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{im} T\) → 推论：等维空间间单射 \(\Leftrightarrow\) 满射 \(\Leftrightarrow\) 双射

定理 5.5 (秩-零化度定理 / Rank-Nullity Theorem)

设 \(V\) 为有限维向量空间，\(T: V \to W\) 为线性变换，则

\[\dim(V) = \operatorname{rank}(T) + \operatorname{nullity}(T) = \dim(\operatorname{im}(T)) + \dim(\ker(T))\]

证明

设 \(\dim(V) = n\)，\(\dim(\ker(T)) = r\)。设 \(\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_r\}\) 是 \(\ker(T)\) 的一组基。将其扩充为 \(V\) 的基 \(\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_r, \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_s\}\)，其中 \(r + s = n\)。

我们证明 \(\{T(\mathbf{v}_1), \ldots, T(\mathbf{v}_s)\}\) 是 \(\operatorname{im}(T)\) 的基。

生成性：任意 \(\mathbf{w} \in \operatorname{im}(T)\)，存在 \(\mathbf{v} = a_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + a_r \mathbf{u}_r + b_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + b_s \mathbf{v}_s\) 使得 \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}\)。由于 \(T(\mathbf{u}_i) = \mathbf{0}\)，故

\[\mathbf{w} = T(\mathbf{v}) = b_1 T(\mathbf{v}_1) + \cdots + b_s T(\mathbf{v}_s)\]

线性无关性：设 \(c_1 T(\mathbf{v}_1) + \cdots + c_s T(\mathbf{v}_s) = \mathbf{0}\)，则 \(T(c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_s \mathbf{v}_s) = \mathbf{0}\)，即 \(c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_s \mathbf{v}_s \in \ker(T)\)。因此存在标量 \(d_1, \ldots, d_r\) 使得

\[c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_s \mathbf{v}_s = d_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + d_r \mathbf{u}_r\]

即 \(d_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + d_r \mathbf{u}_r - c_1 \mathbf{v}_1 - \cdots - c_s \mathbf{v}_s = \mathbf{0}\)。由于 \(\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_r, \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_s\}\) 是 \(V\) 的基（线性无关），故所有系数为零，特别地 \(c_1 = \cdots = c_s = 0\)。

因此 \(\dim(\operatorname{im}(T)) = s = n - r = \dim(V) - \dim(\ker(T))\)。 \(\blacksquare\)

推论 5.1

设 \(T: V \to W\) 为线性变换，\(\dim(V) = n\)，\(\dim(W) = m\)，则：

1. \(\operatorname{rank}(T) \leq \min(n, m)\)
2. 若 \(n = m\)，则 \(T\) 单射 \(\Leftrightarrow\) \(T\) 满射 \(\Leftrightarrow\) \(T\) 双射

证明

1. \(\operatorname{rank}(T) = \dim(\operatorname{im}(T)) \leq \dim(W) = m\)，且 \(\operatorname{rank}(T) = n - \operatorname{nullity}(T) \leq n\)。

2. 当 \(n = m\) 时，\(T\) 单射 \(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{nullity}(T) = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{rank}(T) = n = m\) \(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{im}(T) = W\) \(\Leftrightarrow\) \(T\) 满射。 \(\blacksquare\)

例 5.6

设 \(T: \mathbb{P}_3 \to \mathbb{P}_2\) 为微分算子 \(T(p) = p'\)。则 \(\ker(T)\) 是常数多项式的集合（即 \(\mathbb{P}_0\)），\(\dim(\ker(T)) = 1\)。由秩-零化度定理：

\[\operatorname{rank}(T) = \dim(\mathbb{P}_3) - \operatorname{nullity}(T) = 4 - 1 = 3 = \dim(\mathbb{P}_2)\]

故 \(T\) 是满射。

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5.4 线性变换的矩阵表示

抽象 → 计算：选定 \(V\) 和 \(W\) 的基后，\(T\) 完全等价于一个 \(m \times n\) 矩阵 → \([T(\mathbf{v})]_\mathcal{C} = [T]_\mathcal{B}^\mathcal{C} \cdot [\mathbf{v}]_\mathcal{B}\) → 矩阵乘法就是线性变换的坐标化

定义 5.5 (线性变换的矩阵表示)

设 \(V\) 为 \(n\) 维向量空间，\(W\) 为 \(m\) 维向量空间，\(\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) 为 \(V\) 的基，\(\mathcal{C} = \{\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_m\}\) 为 \(W\) 的基。设 \(T: V \to W\) 为线性变换。

对每个 \(j = 1, \ldots, n\)，将 \(T(\mathbf{v}_j)\) 用基 \(\mathcal{C}\) 表示：

\[T(\mathbf{v}_j) = a_{1j}\mathbf{w}_1 + a_{2j}\mathbf{w}_2 + \cdots + a_{mj}\mathbf{w}_m\]

则 \(m \times n\) 矩阵

\[[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]

称为 \(T\) 关于基 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{C}\) 的矩阵表示（matrix representation）。

定理 5.6 (矩阵表示与坐标向量)

设符号同定义 5.5，若 \(\mathbf{v} \in V\) 在基 \(\mathcal{B}\) 下的坐标向量为 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} \in \mathbb{F}^n\)，则

\[[T(\mathbf{v})]_{\mathcal{C}} = [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \cdot [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\]

即线性变换在坐标向量上的作用等价于矩阵乘法。

证明

设 \(\mathbf{v} = c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n\)，则 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = (c_1, \ldots, c_n)^T\)。

\[T(\mathbf{v}) = \sum_{j=1}^n c_j T(\mathbf{v}_j) = \sum_{j=1}^n c_j \left(\sum_{i=1}^m a_{ij} \mathbf{w}_i\right) = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij} c_j\right) \mathbf{w}_i\]

因此 \([T(\mathbf{v})]_{\mathcal{C}}\) 的第 \(i\) 个分量为 \(\sum_{j=1}^n a_{ij} c_j\)，这正是矩阵 \([T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\) 与向量 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\) 乘积的第 \(i\) 个分量。 \(\blacksquare\)

例 5.7

设 \(T: \mathbb{P}_2 \to \mathbb{P}_1\) 为微分算子 \(T(p) = p'\)。取 \(\mathbb{P}_2\) 的基 \(\mathcal{B} = \{1, t, t^2\}\)，\(\mathbb{P}_1\) 的基 \(\mathcal{C} = \{1, t\}\)。

\[T(1) = 0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot t, \quad T(t) = 1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot t, \quad T(t^2) = 2t = 0 \cdot 1 + 2 \cdot t\]

故

\[[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]

验证：\(p(t) = 3 + 2t - t^2\)，\([p]_{\mathcal{B}} = (3, 2, -1)^T\)。

\[[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} [p]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}\]

即 \(T(p) = p' = 2 - 2t\)，其在基 \(\mathcal{C}\) 下的坐标为 \((2, -2)^T\)，正确。

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5.5 基变换与相似矩阵

同一变换，不同矩阵：换基 → \([T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}[T]_\mathcal{B}P\) → 相似矩阵是同一线性算子的不同"语言描述" → 找好基 = 化简矩阵（→ 第 6 章对角化）

定义 5.6 (过渡矩阵)

设 \(V\) 为 \(n\) 维向量空间，\(\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) 和 \(\mathcal{B}' = \{\mathbf{v}_1', \ldots, \mathbf{v}_n'\}\) 是 \(V\) 的两组基。从 \(\mathcal{B}\) 到 \(\mathcal{B}'\) 的过渡矩阵（transition matrix / change of basis matrix）\(P\) 是 \(n \times n\) 矩阵，其第 \(j\) 列为 \(\mathbf{v}_j\) 在基 \(\mathcal{B}'\) 下的坐标向量：

\[P = \Big([\mathbf{v}_1]_{\mathcal{B}'} \;\; [\mathbf{v}_2]_{\mathcal{B}'} \;\; \cdots \;\; [\mathbf{v}_n]_{\mathcal{B}'}\Big)\]

则对任意 \(\mathbf{v} \in V\)，有 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}'} = P [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\)。（注：部分教材定义方向相反，此处约定需注意。）

定义 5.7 (相似矩阵)

设 \(A, B\) 为 \(n\) 阶方阵。若存在可逆矩阵 \(P\) 使得

\[B = P^{-1}AP\]

则称 \(A\) 与 \(B\) 相似（similar），记为 \(A \sim B\)。

定理 5.7 (基变换公式)

设 \(T: V \to V\) 为线性算子，\(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{B}'\) 是 \(V\) 的两组基，\(P\) 为从 \(\mathcal{B}\) 到 \(\mathcal{B}'\) 的过渡矩阵，则

\[[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1} [T]_{\mathcal{B}} P\]

即 \(T\) 在不同基下的矩阵表示是相似的。

证明

设 \(A = [T]_{\mathcal{B}}\)，\(B = [T]_{\mathcal{B}'}\)。对任意 \(\mathbf{v} \in V\)，

\[[T(\mathbf{v})]_{\mathcal{B}} = A [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\]

又 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}'} = P[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\)，即 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = P^{-1}[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}'}\)，因此

\[[T(\mathbf{v})]_{\mathcal{B}'} = P [T(\mathbf{v})]_{\mathcal{B}} = P A [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = P A P^{-1} [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}'}\]

由唯一性，\(B = PAP^{-1}\)。

注意：此处过渡矩阵的定义决定了公式形式。若采用 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = P[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}'}\) 的约定，则 \(B = P^{-1}AP\)。不同教材的约定不同，本质相同。 \(\blacksquare\)

定理 5.8 (相似是等价关系)

矩阵的相似关系满足：

1. 自反性：\(A \sim A\)（取 \(P = I\)）
2. 对称性：若 \(A \sim B\)，则 \(B \sim A\)
3. 传递性：若 \(A \sim B\) 且 \(B \sim C\)，则 \(A \sim C\)

证明

1. \(A = I^{-1}AI\)。
2. 若 \(B = P^{-1}AP\)，则 \(A = PBP^{-1} = (P^{-1})^{-1}B(P^{-1})\)，取 \(Q = P^{-1}\) 即可。
3. 若 \(B = P^{-1}AP\)，\(C = Q^{-1}BQ\)，则 \(C = Q^{-1}P^{-1}APQ = (PQ)^{-1}A(PQ)\)。 \(\blacksquare\)

例 5.8

设 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ 3y \end{pmatrix}\)。

取标准基 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}\)，则 \([T]_{\mathcal{B}} = A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)。

取新基 \(\mathcal{B}' = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}\)。过渡矩阵 \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，\(P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。

\[[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\]

在新基下，\(T\) 的矩阵变为对角矩阵，说明 \(\mathcal{B}'\) 是由 \(T\) 的特征向量构成的基。

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5.6 线性变换的复合与逆

复合 ↔ 矩阵乘法：\([S \circ T] = [S][T]\) → 可逆变换 \(\Leftrightarrow\) 双射 \(\Leftrightarrow\) 矩阵可逆（第 2 章）

定理 5.9 (线性变换的复合仍为线性变换)

设 \(T: U \to V\) 和 \(S: V \to W\) 为线性变换，则复合映射 \(S \circ T: U \to W\) 也是线性变换，且

\[[S \circ T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{D}} = [S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{D}} \cdot [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\]

其中 \(\mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}\) 分别为 \(U, V, W\) 的基。

证明

线性性：对任意 \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \in U\) 和 \(c \in \mathbb{F}\)，

\[(S \circ T)(c\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2) = S(T(c\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2)) = S(cT(\mathbf{u}_1) + T(\mathbf{u}_2)) = cS(T(\mathbf{u}_1)) + S(T(\mathbf{u}_2)) = c(S \circ T)(\mathbf{u}_1) + (S \circ T)(\mathbf{u}_2)\]

矩阵等式：对任意 \(\mathbf{u} \in U\)，

\[[(S \circ T)(\mathbf{u})]_{\mathcal{D}} = [S(T(\mathbf{u}))]_{\mathcal{D}} = [S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{D}} [T(\mathbf{u})]_{\mathcal{C}} = [S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{D}} [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} [\mathbf{u}]_{\mathcal{B}}\]

由唯一性得 \([S \circ T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{D}} = [S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{D}} [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\)。 \(\blacksquare\)

定义 5.8 (可逆线性变换)

线性变换 \(T: V \to W\) 称为可逆的（invertible），若存在线性变换 \(T^{-1}: W \to V\) 使得

\[T^{-1} \circ T = I_V, \quad T \circ T^{-1} = I_W\]

其中 \(I_V, I_W\) 分别为 \(V, W\) 上的恒等变换。

定理 5.10 (可逆性的等价条件)

设 \(T: V \to W\) 为线性变换，\(\dim(V) = \dim(W) = n\)，则以下条件等价：

1. \(T\) 可逆。
2. \(T\) 是双射。
3. \(\ker(T) = \{\mathbf{0}\}\)。
4. \(\operatorname{im}(T) = W\)。
5. \(T\) 将 \(V\) 的基映射为 \(W\) 的基。
6. \([T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}\) 是可逆矩阵（对任意基 \(\mathcal{B}, \mathcal{C}\)）。

证明

\((1) \Leftrightarrow (2)\)：可逆当且仅当双射，这是映射论的基本事实。

\((2) \Leftrightarrow (3) \Leftrightarrow (4)\)：由定理 5.4 和推论 5.1，当 \(\dim(V) = \dim(W)\) 时，单射、满射和双射等价。

\((2) \Rightarrow (5)\)：设 \(\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) 为 \(V\) 的基。由满射，\(\{T(\mathbf{v}_1), \ldots, T(\mathbf{v}_n)\}\) 生成 \(W\)。由单射，若 \(\sum c_i T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{0}\)，则 \(T(\sum c_i \mathbf{v}_i) = \mathbf{0}\)，故 \(\sum c_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}\)，因此 \(c_i = 0\)。

\((5) \Rightarrow (4)\)：若 \(T\) 将基映射为基，则 \(\operatorname{im}(T) \supseteq \operatorname{span}\{T(\mathbf{v}_1), \ldots, T(\mathbf{v}_n)\} = W\)。

\((3) \Leftrightarrow (6)\)：\(\ker(T) = \{\mathbf{0}\}\) 当且仅当 \([T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \mathbf{x} = \mathbf{0}\) 仅有零解，即矩阵可逆。 \(\blacksquare\)

例 5.9

设 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y \\ x + 3y \end{pmatrix}\)。标准矩阵为 \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)。

\(\det(A) = 6 - (-1) = 7 \neq 0\)，故 \(T\) 可逆。

\[A^{-1} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\]

因此 \(T^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 3x + y \\ -x + 2y \end{pmatrix}\)。

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5.7 同构

维数决定一切：\(V \cong W \Leftrightarrow \dim V = \dim W\) → 所有 \(n\) 维空间同构于 \(\mathbb{R}^n\) → 这就是为什么矩阵能解决一切有限维线性代数问题

定义 5.9 (同构)

若存在可逆线性变换 \(T: V \to W\)，则称 \(V\) 与 \(W\) 同构（isomorphic），记为 \(V \cong W\)。此时 \(T\) 称为从 \(V\) 到 \(W\) 的一个同构映射（isomorphism）。

定理 5.11 (有限维向量空间的分类定理)

设 \(V, W\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维向量空间，则

\[V \cong W \quad \Longleftrightarrow \quad \dim(V) = \dim(W)\]

特别地，每个 \(n\) 维向量空间都同构于 \(\mathbb{F}^n\)。

证明

\((\Rightarrow)\) 设 \(T: V \to W\) 为同构映射，\(\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) 为 \(V\) 的基。由定理 5.10 的条件 (5)，\(\{T(\mathbf{v}_1), \ldots, T(\mathbf{v}_n)\}\) 是 \(W\) 的基，故 \(\dim(W) = n = \dim(V)\)。

\((\Leftarrow)\) 设 \(\dim(V) = \dim(W) = n\)，取 \(V\) 的基 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}\)，\(W\) 的基 \(\mathcal{C} = \{\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n\}\)。由定理 5.2，存在唯一的线性变换 \(T\) 使得 \(T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i\)。由于 \(T\) 将基映射为基，由定理 5.10，\(T\) 可逆。

特别地，\(V\) 的坐标映射 \(\phi_{\mathcal{B}}: V \to \mathbb{F}^n\)，\(\phi_{\mathcal{B}}(\mathbf{v}) = [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\) 是同构映射。 \(\blacksquare\)

注

同构定理说明：在有限维的框架下，向量空间的"本质"完全由维数决定。所有 \(n\) 维向量空间——无论是 \(\mathbb{R}^n\)、\(\mathbb{P}_{n-1}\)、\(\mathbb{R}^{m \times k}\)（当 \(mk = n\) 时）——从线性代数的角度看都是"相同的"。这是线性代数理论的强大之处，也解释了为何我们总可以用矩阵和向量来处理抽象问题。

例 5.10

\(\mathbb{R}^{2 \times 2}\)（\(2 \times 2\) 实矩阵的空间）与 \(\mathbb{R}^4\) 同构。一个具体的同构映射为

\[T\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}\]

这个映射就是将矩阵"拉直"为列向量（向量化，vectorization）。

定理 5.12 (同构保持线性结构)

设 \(T: V \to W\) 为同构映射，则：

1. \(T\) 将线性无关集映射为线性无关集。
2. \(T\) 将生成集映射为生成集。
3. \(T\) 将 \(V\) 的基映射为 \(W\) 的基。
4. 对任意子空间 \(U \leq V\)，\(T(U)\) 是 \(W\) 的子空间，且 \(\dim(T(U)) = \dim(U)\)。

证明

1. 设 \(\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}\) 线性无关。若 \(\sum c_i T(\mathbf{v}_i) = \mathbf{0}\)，则 \(T(\sum c_i \mathbf{v}_i) = \mathbf{0}\)。由 \(T\) 单射，\(\sum c_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}\)，故 \(c_i = 0\)。

2. 设 \(\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\} = V\)。对任意 \(\mathbf{w} \in W\)，由 \(T\) 满射，存在 \(\mathbf{v} = \sum c_i \mathbf{v}_i \in V\) 使得 \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}\)，即 \(\mathbf{w} = \sum c_i T(\mathbf{v}_i)\)。

3. 由 1 和 2 立得。

4. \(T(U)\) 的子空间性由 \(T\) 的线性性保证。\(T\) 限制在 \(U\) 上仍为单射，故 \(\ker(T|_U) = \{\mathbf{0}\}\)，由秩-零化度定理，\(\dim(T(U)) = \dim(U)\)。 \(\blacksquare\)

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5.8 不变子空间

对角化的理论基础：\(T(U) \subseteq U\) → 不变子空间上 \(T\) 可"独立研究" → 直和分解 \(V = U_1 \oplus U_2\) 对应分块对角矩阵 → 一维不变子空间 = 特征向量（→ 第 6 章）

定义 5.10 (不变子空间)

设 \(T: V \to V\) 为线性算子，\(U\) 为 \(V\) 的子空间。若 \(T(U) \subseteq U\)（即对任意 \(\mathbf{u} \in U\)，有 \(T(\mathbf{u}) \in U\)），则称 \(U\) 为 \(T\) 的不变子空间（invariant subspace）。

命题 5.2 (平凡不变子空间)

设 \(T: V \to V\) 为线性算子，则：

1. \(\{\mathbf{0}\}\) 和 \(V\) 是 \(T\) 的不变子空间。
2. \(\ker(T)\) 是 \(T\) 的不变子空间。
3. \(\operatorname{im}(T)\) 是 \(T\) 的不变子空间（注：\(\operatorname{im}(T) \subseteq V\) 因为 \(T\) 是算子）。

证明

1. 显然 \(T(\{\mathbf{0}\}) = \{\mathbf{0}\} \subseteq \{\mathbf{0}\}\)，\(T(V) \subseteq V\)。
2. 若 \(\mathbf{u} \in \ker(T)\)，则 \(T(\mathbf{u}) = \mathbf{0} \in \ker(T)\)。
3. 若 \(\mathbf{w} \in \operatorname{im}(T)\)，则 \(\mathbf{w} = T(\mathbf{v})\) 对某 \(\mathbf{v} \in V\)，而 \(T(\mathbf{w}) = T(T(\mathbf{v})) \in \operatorname{im}(T)\)。 \(\blacksquare\)

定理 5.13 (不变子空间与分块对角矩阵)

设 \(T: V \to V\) 为线性算子，\(\dim(V) = n\)。若 \(V = U_1 \oplus U_2\)（直和分解），\(\dim(U_1) = k\)，\(\dim(U_2) = n - k\)，且 \(U_1, U_2\) 都是 \(T\) 的不变子空间，则存在 \(V\) 的基 \(\mathcal{B}\) 使得

\[[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}\]

其中 \(A_1\) 为 \(k \times k\) 矩阵（\(T|_{U_1}\) 的矩阵表示），\(A_2\) 为 \((n-k) \times (n-k)\) 矩阵（\(T|_{U_2}\) 的矩阵表示）。

证明

取 \(U_1\) 的基 \(\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k\}\) 和 \(U_2\) 的基 \(\{\mathbf{u}_{k+1}, \ldots, \mathbf{u}_n\}\)，合在一起构成 \(V\) 的基 \(\mathcal{B}\)。

由于 \(U_1\) 是不变子空间，对 \(j \leq k\)，\(T(\mathbf{u}_j) \in U_1\)，因此 \(T(\mathbf{u}_j)\) 可表示为 \(\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k\) 的线性组合，对 \(\mathbf{u}_{k+1}, \ldots, \mathbf{u}_n\) 的系数为零。

同理，对 \(j > k\)，\(T(\mathbf{u}_j) \in U_2\)，对 \(\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k\) 的系数为零。

因此矩阵具有分块对角形式。 \(\blacksquare\)

定理 5.14 (特征值与不变子空间)

设 \(T: V \to V\) 为线性算子，\(\lambda\) 为标量，则以下等价：

1. \(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值（即存在非零 \(\mathbf{v}\) 使得 \(T(\mathbf{v}) = \lambda\mathbf{v}\)）。
2. \(T\) 存在一维不变子空间 \(U = \operatorname{span}\{\mathbf{v}\}\)，其中 \(T|_U = \lambda \cdot I_U\)。

证明

\((1) \Rightarrow (2)\)：设 \(T(\mathbf{v}) = \lambda\mathbf{v}\)，\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)。令 \(U = \operatorname{span}\{\mathbf{v}\}\)，则对任意 \(c\mathbf{v} \in U\)，\(T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v}) = c\lambda\mathbf{v} = \lambda(c\mathbf{v}) \in U\)。

\((2) \Rightarrow (1)\)：设 \(U = \operatorname{span}\{\mathbf{v}\}\) 为一维不变子空间。则 \(T(\mathbf{v}) \in U\)，即 \(T(\mathbf{v}) = \lambda\mathbf{v}\) 对某标量 \(\lambda\)。由 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)，\(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值。 \(\blacksquare\)

例 5.11

设 \(V = \mathbb{R}^2\)，\(T\) 为关于 \(x\) 轴的反射：\(T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}\)。

• \(U_1 = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}\)（\(x\) 轴）是 \(T\) 的不变子空间，\(T|_{U_1} = I\)。
• \(U_2 = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}\)（\(y\) 轴）是 \(T\) 的不变子空间，\(T|_{U_2} = -I\)。
• \(V = U_1 \oplus U_2\)，在基 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}\) 下 \([T] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)，为对角矩阵。

例 5.12

设 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) 为逆时针旋转 \(\pi/2\)，\(T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\)。

\(T\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上没有一维不变子空间（因为旋转 \(90°\) 不会把任何直线映射到自身），因此 \(T\) 在 \(\mathbb{R}\) 上没有特征值。但在 \(\mathbb{C}\) 上，\(T\) 的特征值为 \(\pm i\)。

这说明不变子空间（和特征值）的存在性可能依赖于底层数域的选取。

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本章小结

本章从抽象角度研究了向量空间之间保持线性结构的映射——线性变换。核心内容包括：

1. 线性变换的定义：保持加法和标量乘法的映射，由基上的值唯一确定。
2. 核与像：分别刻画了线性变换"损失"和"覆盖"了多少信息。
3. 秩-零化度定理：\(\dim(V) = \operatorname{rank}(T) + \operatorname{nullity}(T)\)，是有限维线性代数最基本的等式之一。
4. 矩阵表示：线性变换在给定基下等价于矩阵乘法，搭建了抽象理论与计算的桥梁。
5. 基变换与相似：同一线性算子在不同基下的矩阵通过 \(B = P^{-1}AP\) 联系。
6. 复合与逆：复合对应矩阵乘法，可逆当且仅当双射。
7. 同构：有限维向量空间由维数完全分类。
8. 不变子空间：为矩阵的对角化和分块结构提供了理论基础，直接通向特征值理论。