第 06 章 特征值与特征向量¶
前置：行列式 (Ch03) · 线性变换 (Ch05)
本章脉络：特征值与特征向量定义 \(\to\) 特征方程与特征多项式 \(\to\) 代数重数与几何重数 \(\to\) 相似变换 \(\to\) 矩阵可对角化的判定定理 \(\to\) 特殊矩阵的谱（对称阵、三角阵） \(\to\) Cayley-Hamilton 定理 \(\to\) 矩阵幂的计算 \(\to\) 谱半径与稳定性初步
延伸：特征值分析是理解动力系统稳定性、Google PageRank 算法及量子力学能级的关键；它是 Jordan 标准形 (Ch12) 的基础
特征值和特征向量揭示了线性变换最本质的“不变方向”。一个复杂的矩阵作用在特定向量上，可能仅仅表现为一种缩放。寻找这些缩放因子及其对应的方向，是简化矩阵运算、分析系统长期行为的核心手段。
06.1 定义与特征方程¶
定义 06.1 (特征值与特征向量)
设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵。若存在非零向量 \(\mathbf{v}\) 和标量 \(\lambda\)，使得： $\(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)$ 则称 \(\lambda\) 为 \(A\) 的特征值（Eigenvalue），\(\mathbf{v}\) 为对应于 \(\lambda\) 的特征向量（Eigenvector）。
定义 06.2 (特征多项式)
方程 \(\det(A - \lambda I) = 0\) 称为 \(A\) 的特征方程。其左侧 \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\) 是关于 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多项式，称为特征多项式。
06.2 重数与特征空间¶
定义 06.3 (代数重数与几何重数)
- 代数重数：特征值 \(\lambda_i\) 作为特征方程根的重数。
- 几何重数：特征空间 \(E_{\lambda_i} = \ker(A - \lambda_i I)\) 的维数，即线性无关特征向量的最大个数。 性质：几何重数 \(\leq\) 代数重数。
06.3 对角化¶
定理 06.1 (可对角化判定)
\(n\) 阶方阵 \(A\) 可对角化 \(\iff\) \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(\iff\) 每个特征值的几何重数等于代数重数。 对角化形式为：\(P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)。
06.4 Cayley-Hamilton 定理¶
定理 06.2 (Cayley-Hamilton 定理)
每一个方阵都满足其自身的特征方程。即若 \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)，则 \(p(A) = O\)。 应用：该定理可用于高效计算矩阵的高次幂以及逆矩阵 \(A^{-1}\)。
练习题¶
1. [计算] 求 \(A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\) 的特征值。
参考答案
解特征方程： 1. 写出 \(\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -5 \\ 2 & -3-\lambda \end{vmatrix}\)。 2. 展开行列式：\((4-\lambda)(-3-\lambda) - (-10) = \lambda^2 - \lambda - 12 + 10 = \lambda^2 - \lambda - 2 = 0\)。 3. 因式分解：\((\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0\)。 结论：特征值为 \(\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1\)。
2. [特征向量] 求上题中 \(\lambda = 2\) 对应的特征向量。
参考答案
解线性方程组 \((A - 2I)\mathbf{v} = 0\)： 1. 计算 \(A - 2I = \begin{pmatrix} 4-2 & -5 \\ 2 & -3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}\)。 2. 方程组为 \(2v_1 - 5v_2 = 0\)。 3. 取自由变量 \(v_2 = 2\)，则 \(v_1 = 5\)。 结论：特征向量为 \(\mathbf{v} = k \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}, k \neq 0\)。
3. [对角化] 若 \(A\) 的特征值各不相同，它是否一定可对角化？
参考答案
结论： 是的。这是一个重要判定：具有 \(n\) 个互异特征值的 \(n\) 阶矩阵必然可对角化。 理由：不同特征值对应的特征向量必然线性无关。既然有 \(n\) 个互异特征值，我们就拥有了 \(n\) 个线性无关特征向量，构成了空间的一组基。
4. [性质] 证明：若 \(A\) 可逆，则其特征值均不为 0。
参考答案
证明： 1. 设 \(\lambda\) 是 \(A\) 的一个特征值，则 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)。 2. 若 \(\lambda = 0\)，则 \(A\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 对非零向量 \(\mathbf{v}\) 成立。 3. 这意味着 \(A\) 的核不为零，即 \(A\) 是奇异矩阵（不可逆）。 4. 矛盾。因此可逆矩阵的所有特征值必非零。
5. [迹与行列式] 矩阵的迹与特征值之和有什么关系？
参考答案
定理： 1. 迹的关系：\(\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i\)（特征值之和等于主对角线元素之和）。 2. 行列式关系：\(\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i\)（特征值之积等于行列式）。 这是通过对比特征多项式展开式的系数直接得出的。
6. [三角阵] 上三角矩阵的特征值是什么？
参考答案
结论： 上三角（或下三角、对角）矩阵的特征值就是其主对角线上的所有元素。 理由：因为 \((A - \lambda I)\) 仍是三角阵，其行列式直接等于对角线元素的乘积 \(\prod (a_{ii} - \lambda)\)。
7. [相似] 证明相似矩阵具有相同的特征多项式。
参考答案
证明： 1. 设 \(B = P^{-1}AP\)。 2. \(\det(B - \lambda I) = \det(P^{-1}AP - \lambda P^{-1}IP) = \det(P^{-1}(A - \lambda I)P)\)。 3. 利用行列式乘法性质：\(= \det(P^{-1})\det(A - \lambda I)\det(P)\)。 4. 由于 \(\det(P^{-1})\det(P) = 1\)，结果为 \(\det(A - \lambda I)\)。 结论：特征多项式是相似变换下的不变量。
8. [幂运算] 若 \(A = PDP^{-1}\)，计算 \(A^{10}\)。
参考答案
推导过程： 1. \(A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^2P^{-1}\)。 2. 重复上述过程 \(k\) 次：\(A^k = PD^kP^{-1}\)。 3. 对于对角阵 \(D\)， \(D^{10}\) 仅需将对角元分别取 10 次方。 结论：利用对角化可极大简化大矩阵的高次幂运算。
9. [C-H定理] 已知 \(A^2 - 3A + 2I = O\)，若 \(A\) 可逆，求 \(A^{-1}\)。
参考答案
步骤： 1. 将 \(I\) 孤立出来：\(2I = 3A - A^2\)。 2. 两边左乘 \(A^{-1}\)：\(2A^{-1} = 3I - A\)。 3. 解出逆矩阵：\(A^{-1} = \frac{1}{2}(3I - A)\)。 这种方法在不知道矩阵具体元素、仅知道其零化多项式时非常有效。
10. [重数] 举例说明几何重数小于代数重数的情况。
参考答案
典型例子：Jordan块 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。 1. 特征方程：\(\lambda^2 = 0 \implies \lambda = 0\)（代数重数为 2）。 2. 求特征向量：\(A\mathbf{v} = 0 \implies \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0 \implies v_2 = 0\)。 3. 所有的特征向量都具有形式 \((k, 0)^T\)，即特征空间是一维的（几何重数为 1）。 结论：这种特征向量缺失的矩阵称为亏损矩阵（Defective Matrix），不可对角化。