第 09 章 二次型与双线性型¶
前置：矩阵运算 (Ch02) · 特征值与对角化 (Ch06) · 向量空间 (Ch04)
本章脉络：双线性型定义 \(\to\) 对称双线性型 \(\to\) 二次型定义 \(x^T Ax\) \(\to\) 标准形与规范形 \(\to\) 配方法与初等变换法 \(\to\) 矩阵的合同变换 \(\to\) Sylvester 惯性定律（正负惯性指数） \(\to\) 正定性判定（Hurwitz 准则） \(\to\) 几何意义：二次曲面的分类与旋转 \(\to\) 应用：多元函数极值分析（Hessian 矩阵）
延伸：二次型是多元函数局部形状的代数刻画，是经典力学中动能表达以及最优化理论的代数核心；它是研究流形曲率与引力场方程的基础
二次型研究的是标量函数，其形式为变量的二次齐次多项式。通过线性替换（合同变换），我们可以将复杂的交叉项消除，从而揭示函数的本质几何特征。本章将确立判定二次型“符号”的标准方法，并将代数性质与空间曲面的形态完美对映。
09.1 双线性型与二次型¶
定义 09.1 (双线性型与二次型)
- 双线性型：映射 \(B: V \times V \to F\) 满足对每个变量都是线性的。
- 二次型：由对称双线性型导出的函数 \(Q(\mathbf{x}) = B(\mathbf{x}, \mathbf{x})\)。 在选定基后，可写为： $\(Q(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)$ 其中 \(A\) 总是可以选为对称矩阵。
09.2 合同变换与标准形¶
定义 09.2 (合同变换)
若存在非奇异矩阵 \(P\) 使得 \(B = P^T A P\)，则称矩阵 \(A\) 与 \(B\) 合同（Congruent）。 几何意义：合同变换对应于坐标系的线性替换，不改变二次型取值的集合。
定理 09.1 (Sylvester 惯性定律)
实数域上任一二次型通过合同变换化为标准形 \(\sum d_i y_i^2\) 后，其正系数的个数 \(p\)（正惯性指数）和负系数的个数 \(q\)（负惯性指数）是不变量。 - 秩：\(r = p + q\)。 - 符号差：\(s = p - q\)。
09.3 正定性判定¶
定义 09.3 (正定性分类)
- 正定：对所有 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\)，\(Q(\mathbf{x}) > 0\)。特征值全正。
- 半正定：\(Q(\mathbf{x}) \ge 0\)。特征值非负。
- 不定：既能取正值也能取负值。特征值有正有负。
定理 09.2 (Hurwitz 准则 / 顺序主子式判据)
实对称矩阵 \(A\) 正定的充要条件是：它的所有顺序主子式均大于 0。
练习题¶
1. [基础] 写出二次型 \(f(x, y) = x^2 + 4xy + 3y^2\) 的对称矩阵表示。
参考答案
步骤： 1. 平方项系数放在对角线上：\(a_{11}=1, a_{22}=3\)。 2. 交叉项系数 \(4xy\) 平分到非对角元：\(a_{12}=2, a_{21}=2\)。 矩阵表示： \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)。 验证：\((x \ y) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x(x+2y) + y(2x+3y) = x^2 + 4xy + 3y^2\)。
2. [配方法] 用配方法将 \(Q(x, y) = x^2 + 4xy\) 化为标准形。
参考答案
配方步骤： 1. 补全平方：\(Q = (x^2 + 4xy + 4y^2) - 4y^2\)。 2. 写成完全平方形式：\(Q = (x+2y)^2 - 4y^2\)。 3. 令坐标变换为：\(u = x+2y, v = y\)。 结论：标准形为 \(u^2 - 4v^2\)。其正惯性指数 \(p=1\)，负惯性指数 \(q=1\)。
3. [合同] 已知 \(A, B\) 合同，它们的特征值一定相同吗？
参考答案
结论：不一定。 解析： - 相似变换 \(P^{-1}AP\) 保持特征值。 - 合同变换 \(P^T AP\) 保持的是惯性指数（正、负特征值的个数），但不保证特征值具体的数值。 - 例如 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 与 \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 合同（取 \(P=\sqrt{2}I\)），但特征值分别是 1 和 2。
4. [正定判定] 使用顺序主子式判定 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) 是否正定。
参考答案
计算主子式： 1. 一阶：\(D_1 = 2 > 0\)。 2. 二阶：\(D_2 = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3 > 0\)。 结论：由于所有顺序主子式均为正，该矩阵是正定的。
5. [惯性指数] 求 \(Q = x^2 - y^2\) 的惯性指数和符号差。
参考答案
分析： 1. 标准形已经给出：\(1x^2 + (-1)y^2\)。 2. 正系数个数 \(p=1\)。 3. 负系数个数 \(q=1\)。 4. 符号差 \(s = p - q = 0\)。 结论：惯性指数为 \((1, 1)\)，符号差为 0。
6. [几何] \(x^2 + y^2 = 1\) 与 \(x^2 - y^2 = 1\) 分别代表什么曲线？它们与二次型正定性的关系？
参考答案
几何分类： 1. \(x^2 + y^2 = 1\)：代表圆（或椭圆）。对应的二次型是正定的，等值线是闭合的。 2. \(x^2 - y^2 = 1\)：代表双曲线。对应的二次型是不定的，等值线是不闭合的。 这说明二次型的符号特征直接决定了其几何水平集的拓扑性质。
7. [瑞利商] 瑞利商 \(R(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}^T A \mathbf{x}}{\mathbf{x}^T \mathbf{x}}\) 的最大值是多少？
参考答案
定理： 瑞利商的最大值等于矩阵 \(A\) 的最大特征值 \(\lambda_{\max}\)，最小值等于最小特征值 \(\lambda_{\min}\)。 这建立了几何上的“拉伸”与代数上的谱之间的桥梁。
8. [反对称] 证明：对于任何反对称阵 \(A\)，其诱导的二次型 \(\mathbf{x}^T A \mathbf{x}\) 恒为 0。
参考答案
证明： 1. 二次型是一个标量，其转置等于自身：\(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = (\mathbf{x}^T A \mathbf{x})^T\)。 2. 展开转置：\(= \mathbf{x}^T A^T \mathbf{x}\)。 3. 利用反对称性 \(A^T = -A\)：\(= \mathbf{x}^T (-A) \mathbf{x} = -\mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)。 4. 一个数等于其相反数，必有 \(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 0\)。 结论：这就是为什么研究二次型时只考虑对称矩阵。
9. [规范形] 将 \(Q = 2x^2 + 2y^2\) 化为规范形。
参考答案
步骤： 1. 已是标准形。 2. 为了得到规范形（系数仅为 1, -1, 0），进行缩放。 3. 令 \(u = \sqrt{2}x, v = \sqrt{2}y\)。 结论：规范形为 \(u^2 + v^2\)。
10. [应用] 二次型在最优化中如何判定驻点处的性质？
参考答案
分析： 利用多元函数的 Hessian 矩阵 \(H\)： 1. 若 \(H\) 在驻点处是正定的，则该点是局部极小值。 2. 若 \(H\) 是负定的，则该点是局部极大值。 3. 若 \(H\) 是不定的，则该点是鞍点。 这展示了二次型理论在分析连续空间曲率中的核心作用。
本章小结¶
二次型建立了多项式代数与空间几何的桥梁：
- 结构简化：合同变换是消除交叉项、简化坐标系的利刃，揭示了对称算子的核心惯性。
- 符号动力学：惯性定律确立了二次函数最深层的拓扑不变量，不随坐标旋转或拉伸而改变。
- 正定性核心：作为能量、距离和稳定性分析的代数判据，正定性理论是连接线性代数与分析学、物理学的关键枢纽。