第 9 章 二次型

前置：Ch8 对称矩阵谱定理

本章脉络：\(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) → 配方法/正交法化标准形 → 惯性定理（签名不变） → 正定性判别 → 几何（椭球/双曲面）

延伸：二次型在优化（二次规划）、统计（\(\chi^2\) 分布）、微分几何（黎曼度量）中无处不在；双线性型的反对称情形给出辛形式，辛几何是经典力学（Hamilton 方程）和量子场论的数学语言；Hermite 型是量子力学中可观测量的数学结构

二次型（quadratic form）是二次齐次多项式的代数理论，它与对称矩阵和内积空间有着深刻的联系。二次型的研究不仅是线性代数的重要组成部分，而且在微分几何、优化理论、统计学和物理学中有着广泛的应用。本章将系统地研究二次型的定义、化简方法、惯性定理以及正定性判别等核心理论。

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9.1 二次型的定义

对称矩阵 \(A\) ↔ 二次型 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) 是一一对应；交叉项 \(x_ix_j\) 拆分为 \(a_{ij} = a_{ji}\)

定义 9.1 (二次型)

设 \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\)（或 \(\mathbb{C}\)）。\(n\) 个变量 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 上的二次型（quadratic form）是如下形式的二次齐次多项式：

\[Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j\]

其中 \(a_{ij} \in \mathbb{F}\)。用向量记号，设 \(\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)^T\)，则

\[Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\]

其中 \(A = (a_{ij})_{n \times n}\)。

定义 9.2 (二次型的矩阵)

对于二次型 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)，我们总可以假设矩阵 \(A\) 是对称的。事实上，对任意矩阵 \(A\)，\(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{x}^T \left(\frac{A + A^T}{2}\right) \mathbf{x}\)，而 \(\frac{A + A^T}{2}\) 是对称矩阵。

称对称矩阵 \(A\) 为二次型 \(Q\) 的矩阵，\(\operatorname{rank}(A)\) 称为二次型 \(Q\) 的秩（rank）。

定理 9.1 (二次型与对称矩阵的一一对应)

\(n\) 元实二次型 \(Q(\mathbf{x})\) 与 \(n\) 阶实对称矩阵 \(A\) 之间存在一一对应关系：\(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)。

证明

给定对称矩阵 \(A = (a_{ij})\)，\(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \sum_{i,j} a_{ij}x_ix_j\) 是二次型。

反之，给定二次型 \(Q(\mathbf{x}) = \sum_{i \leq j} c_{ij}x_ix_j\)（其中 \(c_{ii}\) 是 \(x_i^2\) 的系数，\(c_{ij}\)（\(i < j\)）是 \(x_ix_j\) 的系数），令对称矩阵 \(A\) 的元素为 \(a_{ii} = c_{ii}\)，\(a_{ij} = a_{ji} = c_{ij}/2\)（\(i < j\)），则 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\)。

唯一性：若 \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x} = \mathbf{x}^TB\mathbf{x}\) 对所有 \(\mathbf{x}\) 成立，\(A, B\) 均对称，则 \(\mathbf{x}^T(A-B)\mathbf{x} = 0\) 对所有 \(\mathbf{x}\) 成立。取 \(\mathbf{x} = \mathbf{e}_i\) 得 \(a_{ii} = b_{ii}\)；取 \(\mathbf{x} = \mathbf{e}_i + \mathbf{e}_j\) 得 \(a_{ij} + a_{ji} = b_{ij} + b_{ji}\)，由对称性得 \(a_{ij} = b_{ij}\)。\(\blacksquare\)

例 9.1

二次型 \(Q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_2 - 6x_1x_3 + 2x_2x_3\) 的对称矩阵为

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]

注意交叉项 \(4x_1x_2\) 拆分为 \(a_{12} = a_{21} = 2\)。

例 9.2

\(\mathbb{R}^2\) 上的二次型 \(Q(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2\) 对应矩阵 \(A = I_2\)，几何上表示以原点为圆心的圆。二次型 \(Q(x_1, x_2) = x_1^2 - x_2^2\) 对应矩阵 \(A = \operatorname{diag}(1, -1)\)，几何上表示双曲线。

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9.2 二次型的标准形

消去交叉项 → 只留 \(d_i y_i^2\) → 配方法（Lagrange）是构造性工具，任意二次型均可化标准形

定义 9.3 (标准形)

如果二次型 \(Q(\mathbf{x})\) 只含平方项（没有交叉项），即

\[Q(\mathbf{x}) = d_1 x_1^2 + d_2 x_2^2 + \cdots + d_n x_n^2\]

则称 \(Q\) 为标准形（canonical form，或对角形），其矩阵为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_n)\)。

定义 9.4 (非退化线性替换)

设 \(\mathbf{x} = C\mathbf{y}\)，其中 \(C\) 是 \(n \times n\) 可逆矩阵。这称为非退化线性替换（nonsingular linear substitution）。在此替换下，

\[Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x} = (C\mathbf{y})^TA(C\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T(C^TAC)\mathbf{y}\]

新二次型的矩阵为 \(B = C^TAC\)。

配方法

定理 9.2 (配方法化标准形)

任意实二次型 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\)（\(A\) 为对称矩阵）都可以通过非退化线性替换化为标准形。

证明

用配方法（拉格朗日配方法）。分两种情况：

情况 1： 若某个 \(a_{ii} \neq 0\)（不妨设 \(a_{11} \neq 0\)），则将含 \(x_1\) 的所有项配方：

\[Q = a_{11}\left(x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n\right)^2 + Q_1(x_2, \ldots, x_n)\]

令 \(y_1 = x_1 + \frac{a_{12}}{a_{11}}x_2 + \cdots + \frac{a_{1n}}{a_{11}}x_n\)，\(y_i = x_i\)（\(i \geq 2\)），此为非退化线性替换。对 \(Q_1\) 递归进行配方。

情况 2： 若所有 \(a_{ii} = 0\)，但存在 \(a_{ij} \neq 0\)（\(i \neq j\)）。令 \(x_i = y_i + y_j\)，\(x_j = y_i - y_j\)，其余 \(x_k = y_k\)，则 \(2a_{ij}x_ix_j = 2a_{ij}(y_i^2 - y_j^2)\)，产生平方项，回到情况 1。

由归纳法，经过有限步后，\(Q\) 化为标准形。\(\blacksquare\)

例 9.3

用配方法化标准形：\(Q(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 6x_2x_3\)。

所有平方项系数为零（情况 2）。令 \(x_1 = y_1 + y_2\)，\(x_2 = y_1 - y_2\)，\(x_3 = y_3\)：

\[Q = 2(y_1+y_2)(y_1-y_2) + 2(y_1+y_2)y_3 - 6(y_1-y_2)y_3\]

\[= 2y_1^2 - 2y_2^2 + 2y_1y_3 + 2y_2y_3 - 6y_1y_3 + 6y_2y_3\]

\[= 2y_1^2 - 4y_1y_3 - 2y_2^2 + 8y_2y_3\]

对 \(y_1\) 配方：\(2(y_1^2 - 2y_1y_3) = 2(y_1 - y_3)^2 - 2y_3^2\)。

对 \(y_2\) 配方：\(-2(y_2^2 - 4y_2y_3) = -2(y_2 - 2y_3)^2 + 8y_3^2\)。

\[Q = 2(y_1 - y_3)^2 - 2(y_2 - 2y_3)^2 + 6y_3^2\]

令 \(z_1 = y_1 - y_3\)，\(z_2 = y_2 - 2y_3\)，\(z_3 = y_3\)，得标准形 \(Q = 2z_1^2 - 2z_2^2 + 6z_3^2\)。

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9.3 正交化法化标准形

配方法的替换矩阵不唯一 → 用 Ch8 谱定理 \(A = Q\Lambda Q^T\) 做正交替换 → 标准形系数 = 特征值，变换 = 等距

配方法得到的标准形依赖于配方的顺序，变换矩阵不唯一。正交化法（利用谱定理）给出了一种"最自然"的标准形化简方法。

定理 9.3 (正交对角化法)

设 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\)，\(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵。由谱定理，存在正交矩阵 \(P\) 使得

\[P^TAP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)\]

其中 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) 是 \(A\) 的特征值。令 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\)（正交替换），则

\[Q = \mathbf{y}^T\Lambda\mathbf{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2\]

证明

由实对称矩阵的谱定理（定理 8.15），存在正交矩阵 \(P\)（其列为 \(A\) 的标准正交特征向量）使得 \(P^TAP = \Lambda\)。在替换 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\) 下：

\[Q(\mathbf{x}) = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T(P^TAP)\mathbf{y} = \mathbf{y}^T\Lambda\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2\]

\(\blacksquare\)

注

正交替换的优点是保持向量的长度和角度不变（它是等距变换），因此在几何应用中特别有意义。正交化法得到的标准形中的系数恰好是特征值，这在理论上非常自然。

例 9.4

用正交替换化标准形：\(Q(x_1, x_2) = 5x_1^2 + 4x_1x_2 + 8x_2^2\)。

对称矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}\)。

特征多项式：\(\det(A - \lambda I) = (5-\lambda)(8-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 13\lambda + 36 = (\lambda - 4)(\lambda - 9)\)。

\(\lambda_1 = 4\)：\((A - 4I)\mathbf{x} = \mathbf{0}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\mathbf{x} = \mathbf{0}\)，\(\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2, 1)^T\)。

\(\lambda_2 = 9\)：\((A - 9I)\mathbf{x} = \mathbf{0}\) \(\Rightarrow\) \(\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\mathbf{x} = \mathbf{0}\)，\(\mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)^T\)。

正交矩阵 \(P = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)，令 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\)，得 \(Q = 4y_1^2 + 9y_2^2\)。

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9.4 惯性定理

标准形的系数可变，但正系数个数 \(p\) 和负系数个数 \(q\) 不变——Sylvester 惯性定律是二次型理论的核心不变量

定义 9.5 (惯性指数)

设实二次型 \(Q(\mathbf{x})\) 经非退化线性替换化为标准形

\[Q = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_r y_r^2\]

其中 \(d_i \neq 0\)（\(i = 1, \ldots, r\)），\(r = \operatorname{rank}(A)\)。设其中正系数的个数为 \(p\)，负系数的个数为 \(q = r - p\)。则

• \(p\) 称为二次型的正惯性指数（positive index of inertia）；
• \(q\) 称为二次型的负惯性指数（negative index of inertia）；
• \((p, q)\) 称为二次型的符号差或签名（signature）。

洞察：证明的核心是维数论证——\(V_1 \cap V_2 \neq \{0\}\)（\(\dim V_1 + \dim V_2 > n\)）导出矛盾，这一技巧在 Ch11 Eckart-Young 中再现

定理 9.4 (Sylvester 惯性定律)

实二次型的标准形中正系数的个数 \(p\) 和负系数的个数 \(q\) 是不变的，与化标准形时所用的非退化线性替换无关。即 \(p\) 和 \(q\) 仅由二次型本身决定。

证明

设二次型 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) 经两种不同的非退化线性替换 \(\mathbf{x} = C_1\mathbf{y}\) 和 \(\mathbf{x} = C_2\mathbf{z}\) 分别化为标准形：

\[Q = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_r^2\]

\[Q = z_1^2 + \cdots + z_s^2 - z_{s+1}^2 - \cdots - z_r^2\]

（不失一般性，可将系数化为 \(\pm 1\)。）

用反证法，假设 \(p \neq s\)，不妨设 \(p > s\)。

设 \(\mathbf{y} = C_1^{-1}\mathbf{x}\)，\(\mathbf{z} = C_2^{-1}\mathbf{x}\)。考虑以下两个子空间：

• \(V_1 = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : y_{p+1} = \cdots = y_n = 0\}\)，\(\dim V_1 = p\)；
• \(V_2 = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : z_1 = \cdots = z_s = 0\}\)，\(\dim V_2 = n - s\)。

由于 \(\dim V_1 + \dim V_2 = p + (n-s) > n\)（因 \(p > s\)），故 \(V_1 \cap V_2 \neq \{\mathbf{0}\}\)。

设 \(\mathbf{0} \neq \mathbf{x}_0 \in V_1 \cap V_2\)。

• 在 \(V_1\) 中：\(Q(\mathbf{x}_0) = y_1^2 + \cdots + y_p^2 > 0\)（因 \(\mathbf{x}_0 \neq \mathbf{0}\) 意味着至少一个 \(y_i \neq 0\)，\(i \leq p\)）；
• 在 \(V_2\) 中：\(Q(\mathbf{x}_0) = -z_{s+1}^2 - \cdots - z_r^2 \leq 0\)。

矛盾！故 \(p = s\)。\(\blacksquare\)

推论 9.1

两个实二次型等价（即可通过非退化线性替换相互转化）当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数（或等价地，相同的签名）。

命题 9.1

实对称矩阵 \(A\) 的正惯性指数等于 \(A\) 的正特征值的个数（计重数），负惯性指数等于 \(A\) 的负特征值的个数（计重数）。

证明

由正交对角化，\(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) 经正交替换可化为 \(\lambda_1 y_1^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2\)，其中 \(\lambda_i\) 是 \(A\) 的特征值。由惯性定律，正惯性指数等于正特征值个数，负惯性指数等于负特征值个数。\(\blacksquare\)

例 9.5

二次型 \(Q = x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2 + 2x_3^2\) 的矩阵为

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]

特征多项式：\(\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)[(1-\lambda)(4-\lambda) - 4] = (2-\lambda)(\lambda^2 - 5\lambda) = -\lambda(2-\lambda)(\lambda - 5)\)。

特征值为 \(\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 5\)。正惯性指数 \(p = 2\)，负惯性指数 \(q = 0\)，秩 \(r = 2\)。

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9.5 合同变换与合同矩阵

相似 \(P^{-1}AP\)（保特征值）vs 合同 \(C^TAC\)（保签名）——合同是二次型的自然等价关系，对称性和秩不变但特征值可变

定义 9.6 (合同)

设 \(A, B\) 是 \(n\) 阶实方阵。若存在可逆矩阵 \(C\) 使得

\[B = C^TAC\]

则称 \(A\) 与 \(B\) 合同（congruent），记作 \(A \simeq B\)。\(\mathbf{x} \mapsto C\mathbf{x}\) 称为合同变换（congruence transformation）。

命题 9.2 (合同是等价关系)

矩阵的合同关系是等价关系，即满足：

1. 自反性：\(A \simeq A\)（取 \(C = I\)）；
2. 对称性：若 \(A \simeq B\)，则 \(B \simeq A\)；
3. 传递性：若 \(A \simeq B\)，\(B \simeq D\)，则 \(A \simeq D\)。

证明

(2) 若 \(B = C^TAC\)，则 \(A = (C^{-1})^T B C^{-1} = (C^{-1})^T B (C^{-1})\)，故 \(B \simeq A\)。

(3) 若 \(B = C_1^TAC_1\)，\(D = C_2^TBC_2\)，则 \(D = C_2^T(C_1^TAC_1)C_2 = (C_1C_2)^T A (C_1C_2)\)。\(\blacksquare\)

定理 9.5 (合同标准形)

任意 \(n\) 阶实对称矩阵 \(A\)（秩为 \(r\)）合同于

\[\begin{pmatrix} I_p & & \\ & -I_q & \\ & & O_{n-r} \end{pmatrix}\]

其中 \(p\) 是正惯性指数，\(q = r - p\) 是负惯性指数。此标准形由惯性定律保证唯一。

证明

由配方法（定理 9.2），存在可逆矩阵 \(C_1\) 使 \(C_1^TAC_1 = \operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_r, 0, \ldots, 0)\)，其中 \(d_i \neq 0\)。不妨设 \(d_1, \ldots, d_p > 0\)，\(d_{p+1}, \ldots, d_r < 0\)。令

\[C_2 = \operatorname{diag}\left(\frac{1}{\sqrt{|d_1|}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{|d_r|}}, 1, \ldots, 1\right)\]

则 \(C_2^T(\operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_r, 0, \ldots, 0))C_2 = \operatorname{diag}(1, \ldots, 1, -1, \ldots, -1, 0, \ldots, 0)\)。

取 \(C = C_1C_2\)，即得所求。\(\blacksquare\)

注

合同关系保持对称性和秩：若 \(A\) 对称且 \(B = C^TAC\)，则 \(B\) 也对称，且 \(\operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A)\)。但合同关系不保持特征值。相比之下，相似关系保持特征值但不一定保持对称性。

例 9.6

矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) 的特征值为 \(3\) 和 \(-1\)，故正惯性指数 \(p = 1\)，负惯性指数 \(q = 1\)。\(A\) 合同于 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)。

验证：取 \(C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)（对应配方 \((x_1+2x_2)^2 - 3x_2^2\) 中再缩放），可以具体计算出合同变换矩阵。

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9.6 正定二次型与正定矩阵

签名 \((n,0)\) ↔ 所有特征值 > 0 ↔ \(A = C^TC\) ↔ 顺序主子式全正 → 正定矩阵直通 Ch10 Cholesky 分解 \(A = LL^T\)

正定性是二次型和对称矩阵最重要的性质之一，在优化、统计、微分方程等领域有核心地位。

定义 9.7 (正定性分类)

设 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) 是实二次型，\(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵。称 \(Q\)（或 \(A\)）为：

• 正定的（positive definite）：若对所有 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) 有 \(Q(\mathbf{x}) > 0\)；
• 半正定的（positive semidefinite）：若对所有 \(\mathbf{x}\) 有 \(Q(\mathbf{x}) \geq 0\)；
• 负定的（negative definite）：若对所有 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) 有 \(Q(\mathbf{x}) < 0\)；
• 半负定的（negative semidefinite）：若对所有 \(\mathbf{x}\) 有 \(Q(\mathbf{x}) \leq 0\)；
• 不定的（indefinite）：若 \(Q\) 既取正值也取负值。

洞察：五种等价条件统一了代数（特征值）、几何（\(A = C^TC\)）和组合（顺序主子式）三个视角

定理 9.6 (正定的等价条件)

设 \(A\) 是 \(n\) 阶实对称矩阵。以下条件等价：

1. \(A\) 是正定的；
2. \(A\) 的所有特征值 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) 都大于零；
3. \(A\) 的正惯性指数 \(p = n\)（即 \(Q\) 的标准形为 \(y_1^2 + \cdots + y_n^2\)）；
4. 存在可逆矩阵 \(C\) 使得 \(A = C^TC\)；
5. \(A\) 的所有顺序主子式（leading principal minors）都大于零。

证明

(1)\(\Leftrightarrow\)(2)： 若 \(A\) 正定，设 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)，\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)，则 \(\lambda\|\mathbf{v}\|^2 = \mathbf{v}^TA\mathbf{v} > 0\)，故 \(\lambda > 0\)。反之，若所有特征值大于零，\(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{y}^T\Lambda\mathbf{y} = \sum \lambda_i y_i^2 > 0\)（\(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\)）。

(2)\(\Leftrightarrow\)(3)： 正惯性指数等于正特征值个数（命题 9.1）。

(1)\(\Rightarrow\)(4)： 由正交对角化 \(A = P\Lambda P^T\)，\(\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)，\(\lambda_i > 0\)。令 \(C = \Lambda^{1/2}P^T\)（其中 \(\Lambda^{1/2} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})\)），则 \(C^TC = P\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2}P^T = P\Lambda P^T = A\)。

(4)\(\Rightarrow\)(1)： \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x} = \mathbf{x}^TC^TC\mathbf{x} = \|C\mathbf{x}\|^2 \geq 0\)，且等号成立当且仅当 \(C\mathbf{x} = \mathbf{0}\)，即 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)（因 \(C\) 可逆）。

(1)\(\Leftrightarrow\)(5)： 这是 Sylvester 判据，证明如下。设 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子矩阵为 \(A_k\)，顺序主子式为 \(\Delta_k = \det(A_k)\)。

若 \(A\) 正定，则 \(A_k\) 也正定（对 \(\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_k, 0, \ldots, 0)^T\)，\(\mathbf{x}^TA\mathbf{x} = \mathbf{y}^TA_k\mathbf{y}\) 其中 \(\mathbf{y} = (x_1, \ldots, x_k)^T\)）。\(A_k\) 正定 \(\Rightarrow\) 特征值均正 \(\Rightarrow\) \(\Delta_k = \prod \lambda_i^{(k)} > 0\)。

反之，对 \(n\) 用归纳法证明。\(n=1\) 时 \(\Delta_1 = a_{11} > 0\) 即正定。设 \(n-1\) 时成立。由 \(\Delta_1, \ldots, \Delta_{n-1} > 0\)，\(A_{n-1}\) 正定。利用 Schur 补可以证明 \(A\) 正定。\(\blacksquare\)

定理 9.7 (半正定的等价条件)

设 \(A\) 是 \(n\) 阶实对称矩阵。以下条件等价：

1. \(A\) 是半正定的；
2. \(A\) 的所有特征值 \(\lambda_i \geq 0\)；
3. 存在矩阵 \(B\)（不一定可逆）使得 \(A = B^TB\)；
4. \(A\) 的所有主子式（principal minors，不仅是顺序主子式）都非负。

证明

(1)\(\Leftrightarrow\)(2) 和 (1)\(\Leftrightarrow\)(3) 的证明类似正定情形。

(4) 的必要性：\(A\) 半正定 \(\Rightarrow\) 每个主子矩阵也半正定 \(\Rightarrow\) 主子式（= 特征值之积）\(\geq 0\)。\(\blacksquare\)

注

判别负定性：\(A\) 负定当且仅当 \(-A\) 正定，等价于 \((-1)^k\Delta_k > 0\)（\(k = 1, \ldots, n\)），即奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正。

例 9.7

判断矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\) 的正定性。

\(\Delta_1 = 2 > 0\)，\(\Delta_2 = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = 3 > 0\)，\(\Delta_3 = \det(A) = 2(4-1) - (-1)(-2) = 6 - 2 = 4 > 0\)。

所有顺序主子式为正，故 \(A\) 正定。

例 9.8

判断 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) 的正定性。

\(\Delta_1 = 1 > 0\)，\(\Delta_2 = 1 - 4 = -3 < 0\)。

\(A\) 不是正定的。事实上，\(A\) 的特征值为 \(3\) 和 \(-1\)，故 \(A\) 是不定的。

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9.7 二次型的几何意义

\(\mathbf{x}^TA\mathbf{x} = c\) 定义二次曲面 → 正交替换沿特征向量方向（主轴）消去交叉项 → 曲面类型由签名 \((p,q)\) 决定

二次型在几何上描述了二次曲线和二次曲面。

定义 9.8 (二次曲面)

\(\mathbb{R}^n\) 中的方程 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x} = c\)（\(c\) 为常数）定义的集合称为二次曲面（quadric surface）。在 \(\mathbb{R}^2\) 中为二次曲线（conic section）。

定理 9.8 (主轴定理)

设 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) 是实二次型，\(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵。通过正交替换 \(\mathbf{x} = P\mathbf{y}\)（\(P\) 的列为 \(A\) 的标准正交特征向量），二次型化为标准形

\[Q = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2\]

新坐标轴 \(y_1, y_2, \ldots, y_n\) 的方向（即 \(P\) 的列向量）称为二次曲面的主轴（principal axes）。

证明

直接由谱定理和正交替换得到。正交替换相当于旋转坐标系，使得新坐标轴沿特征向量方向。在新坐标下，二次型没有交叉项，从而二次曲面的方程取最简形式。\(\blacksquare\)

例 9.9

分类 \(\mathbb{R}^2\) 中的二次曲线 \(5x_1^2 + 4x_1x_2 + 8x_2^2 = 36\)。

由例 9.4，正交替换后得 \(4y_1^2 + 9y_2^2 = 36\)，即 \(\dfrac{y_1^2}{9} + \dfrac{y_2^2}{4} = 1\)。这是以 \(y_1\) 轴和 \(y_2\) 轴为主轴的椭圆，半长轴 \(a = 3\)，半短轴 \(b = 2\)。

主轴方向为 \(A\) 的特征向量 \(\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2, 1)^T\)（对应 \(\lambda = 4\)）和 \(\mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)^T\)（对应 \(\lambda = 9\)）。

例 9.10

\(\mathbb{R}^3\) 中二次曲面的标准分类（设 \(Q = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 = 1\)）：

• 椭球面：\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 > 0\)，如 \(\frac{y_1^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} + \frac{y_3^2}{c^2} = 1\)；
• 单叶双曲面：两正一负，如 \(\frac{y_1^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} - \frac{y_3^2}{c^2} = 1\)；
• 双叶双曲面：一正两负，如 \(\frac{y_1^2}{a^2} - \frac{y_2^2}{b^2} - \frac{y_3^2}{c^2} = 1\)；
• 若 \(Q = 0\)（齐次情形）则为二次锥面。

二次曲面的类型由二次型的签名 \((p, q)\) 决定。

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9.8 双线性型

前置：二次型 \(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) 是"一元函数" → 双线性型 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{y}\) 是"二元函数" → 通过极化恒等式二次型可恢复出双线性型 → 对称/反对称双线性型引出正交群与辛群

二次型是"对角线上"的值 \(Q(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}, \mathbf{x})\)。要全面理解二次型，必须先理解更一般的双线性型。双线性型是线性代数中最基本的"两个向量之间的标量函数"，内积、行列式、面积形式等都是它的特例。

定义 9.9 (双线性型)

设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维向量空间。映射 \(f: V \times V \to \mathbb{F}\) 称为 \(V\) 上的双线性型（bilinear form），如果 \(f\) 对每个变量都是线性的：

• 对第一个变量：\(f(\alpha \mathbf{x}_1 + \beta \mathbf{x}_2, \mathbf{y}) = \alpha f(\mathbf{x}_1, \mathbf{y}) + \beta f(\mathbf{x}_2, \mathbf{y})\)
• 对第二个变量：\(f(\mathbf{x}, \alpha \mathbf{y}_1 + \beta \mathbf{y}_2) = \alpha f(\mathbf{x}, \mathbf{y}_1) + \beta f(\mathbf{x}, \mathbf{y}_2)\)

对所有 \(\mathbf{x}, \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{y}, \mathbf{y}_1, \mathbf{y}_2 \in V\) 和 \(\alpha, \beta \in \mathbb{F}\) 成立。

定义 9.10 (双线性型的矩阵)

设 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) 是 \(V\) 的一组基。双线性型 \(f\) 在基 \(\mathcal{B}\) 下的矩阵（又称 Gram 矩阵）定义为

\[ A = (a_{ij})_{n \times n}, \quad a_{ij} = f(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) \]

若 \(\mathbf{x} = \sum x_i \mathbf{e}_i\)，\(\mathbf{y} = \sum y_j \mathbf{e}_j\)，则

\[ f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i y_j \]

定理 9.9 (基变换下的矩阵变换)

设双线性型 \(f\) 在基 \(\mathcal{B}\) 下的矩阵为 \(A\)，在基 \(\mathcal{B}'\) 下的矩阵为 \(A'\)。若从 \(\mathcal{B}\) 到 \(\mathcal{B}'\) 的过渡矩阵为 \(C\)，则

\[ A' = C^T A C \]

证明

设 \(\mathcal{B}' = \{\mathbf{e}_1', \ldots, \mathbf{e}_n'\}\)，\((\mathbf{e}_1', \ldots, \mathbf{e}_n') = (\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n)C\)。 则

\[ a_{ij}' = f(\mathbf{e}_i', \mathbf{e}_j') = f\!\left(\sum_k c_{ki}\mathbf{e}_k, \sum_l c_{lj}\mathbf{e}_l\right) = \sum_{k,l} c_{ki} a_{kl} c_{lj} \]

写成矩阵形式即 \(A' = C^TAC\)。\(\blacksquare\)

定义 9.11 (双线性型的秩与非退化性)

双线性型 \(f\) 的秩定义为其 Gram 矩阵的秩（由定理 9.9，这与基的选取无关）。

若 \(\operatorname{rank}(f) = n\)（即 Gram 矩阵可逆），则称 \(f\) 是非退化的（nondegenerate）。等价地，\(f\) 非退化当且仅当：若对所有 \(\mathbf{y} \in V\) 有 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0\)，则 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)。

定理 9.10 (极化恒等式)

设 \(\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2\)。对称双线性型 \(f\) 与其关联的二次型 \(Q(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}, \mathbf{x})\) 通过极化恒等式相互确定：

\[ f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac{1}{2}\bigl[Q(\mathbf{x} + \mathbf{y}) - Q(\mathbf{x}) - Q(\mathbf{y})\bigr] \]

证明

展开 \(Q(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = f(\mathbf{x}+\mathbf{y}, \mathbf{x}+\mathbf{y})\)：

\[ Q(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = f(\mathbf{x}, \mathbf{x}) + f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) + f(\mathbf{y}, \mathbf{x}) + f(\mathbf{y}, \mathbf{y}) \]

由对称性 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = f(\mathbf{y}, \mathbf{x})\)，故 \(Q(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = Q(\mathbf{x}) + 2f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) + Q(\mathbf{y})\)。解出 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) 即得。\(\blacksquare\)

定义 9.12 (对称与反对称双线性型)

双线性型 \(f\) 称为

• 对称的（symmetric）：若 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = f(\mathbf{y}, \mathbf{x})\)，对所有 \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\)；
• 反对称的（antisymmetric / skew-symmetric）：若 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = -f(\mathbf{y}, \mathbf{x})\)，对所有 \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\)。

对称双线性型的矩阵满足 \(A = A^T\)；反对称双线性型的矩阵满足 \(A = -A^T\)（且对角元为零）。

定理 9.11 (双线性型的分解)

设 \(\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2\)。任意双线性型 \(f\) 可唯一分解为对称部分与反对称部分之和：

\[ f = f_s + f_a, \quad f_s(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac{f(\mathbf{x},\mathbf{y}) + f(\mathbf{y},\mathbf{x})}{2}, \quad f_a(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac{f(\mathbf{x},\mathbf{y}) - f(\mathbf{y},\mathbf{x})}{2} \]

证明

直接验证 \(f_s\) 对称、\(f_a\) 反对称、\(f = f_s + f_a\)。唯一性：若 \(f = g_s + g_a\)（\(g_s\) 对称，\(g_a\) 反对称），则 \(f(\mathbf{x},\mathbf{y}) + f(\mathbf{y},\mathbf{x}) = 2g_s(\mathbf{x},\mathbf{y})\)，故 \(g_s = f_s\)，从而 \(g_a = f_a\)。\(\blacksquare\)

定理 9.12 (对称双线性型的标准形)

设 \(\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2\)，\(f\) 是 \(V\) 上的对称双线性型。则存在 \(V\) 的一组基 \(\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) 使得

\[ f(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) = 0 \quad (i \neq j) \]

即 \(f\) 在该基下的矩阵为对角矩阵。

证明

对 \(n\) 用归纳法。\(n = 1\) 时显然。设对 \(n-1\) 维空间成立。

若 \(f \equiv 0\)，取任意基即可。否则，存在 \(\mathbf{v}\) 使 \(f(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \neq 0\)（若所有 \(f(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = 0\)，由极化恒等式 \(f \equiv 0\)，矛盾）。令 \(\mathbf{e}_1 = \mathbf{v}\)，\(d = f(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1) \neq 0\)。

令 \(W = \{\mathbf{w} \in V : f(\mathbf{e}_1, \mathbf{w}) = 0\}\)。则 \(V = \operatorname{span}\{\mathbf{e}_1\} \oplus W\)（对任意 \(\mathbf{x} \in V\)，令 \(\mathbf{w} = \mathbf{x} - \frac{f(\mathbf{e}_1, \mathbf{x})}{d}\mathbf{e}_1\)，则 \(f(\mathbf{e}_1, \mathbf{w}) = 0\)）。

由归纳假设，\(f|_W\) 可在某基下对角化。合并 \(\mathbf{e}_1\) 和 \(W\) 的基即得结论。\(\blacksquare\)

定义 9.13 (正交补空间)

设 \(f\) 是 \(V\) 上的双线性型，\(S \subseteq V\)。\(S\) 关于 \(f\) 的左正交补和右正交补分别为

\[ S^{\perp_L} = \{\mathbf{x} \in V : f(\mathbf{x}, \mathbf{s}) = 0, \forall \mathbf{s} \in S\}, \quad S^{\perp_R} = \{\mathbf{y} \in V : f(\mathbf{s}, \mathbf{y}) = 0, \forall \mathbf{s} \in S\} \]

若 \(f\) 对称，则 \(S^{\perp_L} = S^{\perp_R}\)，简记为 \(S^\perp\)。\(V\) 的根（radical）定义为 \(\operatorname{rad}(f) = V^\perp\)。\(f\) 非退化当且仅当 \(\operatorname{rad}(f) = \{\mathbf{0}\}\)。

例 9.11

\(\mathbb{R}^3\) 上双线性型 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 3x_2y_2 - x_3y_3\) 的 Gram 矩阵为

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]

\(\det(A) = (3-1)(-1) = -2 \neq 0\)，故 \(f\) 非退化。\(A\) 对称，故 \(f\) 是对称双线性型。

例 9.12

\(\mathbb{R}^3\) 上的反对称双线性型 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = x_1y_2 - x_2y_1\)，矩阵为

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\(\operatorname{rank}(A) = 2\)，\(\operatorname{rad}(f) = \operatorname{span}\{\mathbf{e}_3\}\)，\(f\) 退化。

例 9.13

验证极化恒等式。设 \(Q(x_1,x_2) = 2x_1^2 + 3x_1x_2 + x_2^2\)，对应对称矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3/2 \\ 3/2 & 1 \end{pmatrix}\)。

取 \(\mathbf{x} = (1,0)^T\)，\(\mathbf{y} = (0,1)^T\)：

\[ Q(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = Q(1,1) = 2 + 3 + 1 = 6, \quad Q(\mathbf{x}) = 2, \quad Q(\mathbf{y}) = 1 \]

\[ f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac{6-2-1}{2} = \frac{3}{2} = a_{12} \checkmark \]

定理 9.13 (反对称双线性型的标准形)

设 \(f\) 是有限维向量空间 \(V\) 上的反对称双线性型。则存在基 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{e}_m, \mathbf{f}_m, \mathbf{g}_1, \ldots, \mathbf{g}_k\}\) 使得

\[ f(\mathbf{e}_i, \mathbf{f}_j) = \delta_{ij}, \quad f(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) = f(\mathbf{f}_i, \mathbf{f}_j) = 0 \]

且 \(f(\mathbf{g}_s, \cdot) \equiv 0\)。特别地，反对称双线性型的秩必为偶数 \(2m\)。

证明

若 \(f \equiv 0\)，结论显然。否则存在 \(\mathbf{x}, \mathbf{y}\) 使 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = c \neq 0\)。令 \(\mathbf{e}_1 = \mathbf{x}\)，\(\mathbf{f}_1 = \mathbf{y}/c\)，则 \(f(\mathbf{e}_1, \mathbf{f}_1) = 1\)。

令 \(W = \{\mathbf{w} : f(\mathbf{e}_1, \mathbf{w}) = 0 \text{ 且 } f(\mathbf{f}_1, \mathbf{w}) = 0\}\)。可验证 \(V = \operatorname{span}\{\mathbf{e}_1, \mathbf{f}_1\} \oplus W\)（对任意 \(\mathbf{v}\)，令 \(\mathbf{w} = \mathbf{v} - f(\mathbf{v}, \mathbf{f}_1)\mathbf{e}_1 + f(\mathbf{v}, \mathbf{e}_1)\mathbf{f}_1\)，验证 \(\mathbf{w} \in W\)）。

对 \(W\) 上的 \(f|_W\) 递归应用即得。\(\blacksquare\)

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9.9 辛空间

反对称非退化双线性型 = 辛形式 → 辛空间必偶维 → Darboux 定理：所有同维辛空间等价 → 辛几何是 Hamilton 力学的数学语言

辛空间（symplectic space）是装备了非退化反对称双线性型的向量空间，它在经典力学（Hamilton 系统）、量子力学和现代微分几何中有着基础性的地位。

定义 9.14 (辛形式与辛空间)

设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\)（\(\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2\)）上的有限维向量空间。\(V\) 上的辛形式（symplectic form）是一个非退化的反对称双线性型 \(\omega: V \times V \to \mathbb{F}\)。配备辛形式的向量空间 \((V, \omega)\) 称为辛空间（symplectic space）。

定理 9.14 (辛空间的维数)

辛空间的维数必为偶数。

证明

设 \((V, \omega)\) 是辛空间，\(\dim V = n\)。\(\omega\) 在任意基下的矩阵 \(A\) 满足 \(A^T = -A\)（反对称），故

\[ \det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det(A) \]

由于 \(\omega\) 非退化，\(\det(A) \neq 0\)，故 \((-1)^n = 1\)，即 \(n\) 为偶数。\(\blacksquare\)

定义 9.15 (辛基)

设 \((V, \omega)\) 是 \(2n\) 维辛空间。\(V\) 的一组基 \(\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n\}\) 称为辛基（symplectic basis / Darboux basis），如果

\[ \omega(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) = 0, \quad \omega(\mathbf{f}_i, \mathbf{f}_j) = 0, \quad \omega(\mathbf{e}_i, \mathbf{f}_j) = \delta_{ij} \]

在辛基下，\(\omega\) 的矩阵为标准辛矩阵

\[ J_{2n} = \begin{pmatrix} O_n & I_n \\ -I_n & O_n \end{pmatrix} \]

定理 9.15 (Darboux 定理——辛空间的标准形)

每个辛空间 \((V, \omega)\) 都存在辛基。因此所有 \(2n\) 维辛空间（在同一域上）彼此同构。

证明

这是定理 9.13 在非退化情形（\(k = 0\)）的直接推论。由于 \(\omega\) 非退化，秩为 \(\dim V = 2m\)，定理 9.13 给出基 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{e}_m, \mathbf{f}_m\}\) 满足 \(\omega(\mathbf{e}_i, \mathbf{f}_j) = \delta_{ij}\)，\(\omega(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) = \omega(\mathbf{f}_i, \mathbf{f}_j) = 0\)。这恰是辛基。\(\blacksquare\)

定义 9.16 (辛矩阵与辛群)

\(2n\) 阶实方阵 \(M\) 称为辛矩阵（symplectic matrix），如果

\[ M^T J_{2n} M = J_{2n} \]

所有 \(2n\) 阶辛矩阵在矩阵乘法下构成群，称为辛群（symplectic group），记作 \(\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{F})\)。

定理 9.16 (辛矩阵的行列式)

辛矩阵的行列式为 \(1\)。

证明

由 \(M^T J M = J\)，取行列式得 \(\det(M)^2 \det(J) = \det(J)\)。由于 \(\det(J) = 1\)（可直接计算或利用 \(J^2 = -I\) 得 \(\det(J)^2 = 1\)），故 \(\det(M)^2 = 1\)，\(\det(M) = \pm 1\)。

为证 \(\det(M) = 1\)，注意辛群 \(\operatorname{Sp}(2n, \mathbb{R})\) 是连通的（可以连续地将 \(M\) 变形为 \(I_{2n}\)），而行列式是连续函数，\(\det(I_{2n}) = 1\)，故 \(\det(M) = 1\)。

另一个代数证明：将 \(M\) 写成分块 \(M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\)，由 \(M^TJM = J\) 得 \(A^TD - C^TB = I\)，因此 \(\det(M)\) 的正负性可由 Pfaffian 论证确定为 \(+1\)。\(\blacksquare\)

定义 9.17 (Lagrange 子空间)

设 \((V, \omega)\) 是 \(2n\) 维辛空间。子空间 \(L \subseteq V\) 称为 Lagrange 子空间（Lagrangian subspace），如果 \(L = L^\perp\)（关于 \(\omega\)），即

\[ \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in L \]

且 \(\dim L = n\)（达到最大各向同性子空间的维数）。

定理 9.17 (Lagrange 子空间的维数)

设 \((V, \omega)\) 是 \(2n\) 维辛空间，\(L\) 是各向同性子空间（即 \(\omega|_{L \times L} = 0\)）。则 \(\dim L \leq n\)，且等号成立当且仅当 \(L\) 是 Lagrange 子空间。

证明

令 \(L^\perp = \{\mathbf{v} \in V : \omega(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = 0, \forall \mathbf{l} \in L\}\)。由 \(\omega\) 非退化，映射 \(V \to V^*\)，\(\mathbf{v} \mapsto \omega(\mathbf{v}, \cdot)\) 是同构，故 \(\dim L^\perp = 2n - \dim L\)。

各向同性意味着 \(L \subseteq L^\perp\)，故 \(\dim L \leq \dim L^\perp = 2n - \dim L\)，即 \(\dim L \leq n\)。

等号成立当且仅当 \(L = L^\perp\)，即 \(L\) 是 Lagrange 子空间。\(\blacksquare\)

例 9.14

标准辛空间 \((\mathbb{R}^4, \omega)\)，辛形式由矩阵 \(J_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) 定义。

标准辛基为 \(\mathbf{e}_1 = (1,0,0,0)^T\)，\(\mathbf{e}_2 = (0,1,0,0)^T\)，\(\mathbf{f}_1 = (0,0,1,0)^T\)，\(\mathbf{f}_2 = (0,0,0,1)^T\)。

\(L_1 = \operatorname{span}\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}\) 是 Lagrange 子空间：\(\omega(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) = 0\)，\(\dim L_1 = 2 = n\)。

\(L_2 = \operatorname{span}\{\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2\}\) 也是 Lagrange 子空间。

例 9.15

辛矩阵的例子。矩阵 \(M = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & b \\ 0 & d & -c & 0 \\ 0 & c & d & 0 \\ -b & 0 & 0 & a \end{pmatrix}\)（其中 \(a^2 + b^2 = 1\)，\(c^2 + d^2 = 1\)）是 \(4 \times 4\) 辛矩阵。验证 \(M^TJ_4M = J_4\) 可直接分块计算。\(\det(M) = (a^2+b^2)(c^2+d^2) = 1\)。

例 9.16

Hamilton 力学中的应用。经典力学的相空间 \(\mathbb{R}^{2n}\) 以广义坐标 \((q_1, \ldots, q_n)\) 和广义动量 \((p_1, \ldots, p_n)\) 为坐标。辛形式为

\[ \omega = \sum_{i=1}^n dp_i \wedge dq_i \]

Hamilton 运动方程 \(\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}\)，\(\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\) 可紧凑地写为

\[ \dot{\mathbf{z}} = J_{2n} \nabla H(\mathbf{z}) \]

其中 \(\mathbf{z} = (q_1, \ldots, q_n, p_1, \ldots, p_n)^T\)。正则变换（保持 Hamilton 方程形式的变量替换）恰对应辛矩阵。

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9.10 Hermite 型

实 \(\to\) 复：内积从双线性变为半双线性 → Hermite 型 \(H(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^*A\mathbf{x}\)（\(A = A^*\) Hermite 矩阵）→ 惯性定理在复数域上的推广 → 签名仍是完全不变量

当基础域从 \(\mathbb{R}\) 扩展到 \(\mathbb{C}\) 时，对称双线性型的自然推广是 Hermite 型。Hermite 型在量子力学（可观测量对应 Hermite 算子）和酉几何中有着根本性的作用。

定义 9.18 (半双线性型)

设 \(V\) 是复向量空间。映射 \(f: V \times V \to \mathbb{C}\) 称为半双线性型（sesquilinear form），如果

• 对第一个变量是共轭线性的：\(f(\alpha\mathbf{x}_1 + \beta\mathbf{x}_2, \mathbf{y}) = \bar{\alpha}f(\mathbf{x}_1, \mathbf{y}) + \bar{\beta}f(\mathbf{x}_2, \mathbf{y})\)
• 对第二个变量是线性的：\(f(\mathbf{x}, \alpha\mathbf{y}_1 + \beta\mathbf{y}_2) = \alpha f(\mathbf{x}, \mathbf{y}_1) + \beta f(\mathbf{x}, \mathbf{y}_2)\)

（此处采用物理学惯例，第一个变量取共轭。数学文献中有时反过来。）

定义 9.19 (Hermite 型)

半双线性型 \(f\) 称为 Hermite 型（Hermitian form），如果满足共轭对称性：

\[ f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \overline{f(\mathbf{y}, \mathbf{x})}, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V \]

特别地，\(f(\mathbf{x}, \mathbf{x}) = \overline{f(\mathbf{x}, \mathbf{x})}\)，故 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{x}) \in \mathbb{R}\)。

定义 9.20 (Hermite 矩阵表示)

设 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) 是 \(V\) 的基，Hermite 型 \(f\) 的矩阵 \(A = (a_{ij})\)，\(a_{ij} = f(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j)\)。则

\[ f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^* A \mathbf{y} = \sum_{i,j} \bar{x}_i a_{ij} y_j \]

其中 \(\mathbf{x}^* = \bar{\mathbf{x}}^T\) 是共轭转置。\(A\) 满足 \(A^* = A\)（Hermite 矩阵）。

定理 9.18 (Hermite 型的基变换)

设 Hermite 型 \(f\) 在基 \(\mathcal{B}\) 下矩阵为 \(A\)，在基 \(\mathcal{B}'\) 下矩阵为 \(A'\)，过渡矩阵为 \(C\)，则

\[ A' = C^* A C \]

即 \(A'\) 与 \(A\) 共轭合同（\(^*\)-congruent）。

证明

设 \(\mathcal{B}' = \{\mathbf{e}_1', \ldots, \mathbf{e}_n'\}\)，\((\mathbf{e}_1', \ldots, \mathbf{e}_n') = (\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n)C\)。则

\[ a_{ij}' = f(\mathbf{e}_i', \mathbf{e}_j') = f\!\left(\sum_k c_{ki}\mathbf{e}_k, \sum_l c_{lj}\mathbf{e}_l\right) = \sum_{k,l} \bar{c}_{ki} a_{kl} c_{lj} \]

即 \(A' = C^*AC\)。\(\blacksquare\)

定理 9.19 (Hermite 型的标准形)

设 \(f\) 是复向量空间 \(V\) 上的 Hermite 型。则存在 \(V\) 的基使 \(f\) 的矩阵为对角矩阵 \(\operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_n)\)，其中 \(d_i \in \mathbb{R}\)。

进一步，经过适当缩放，可化为

\[ \operatorname{diag}(\underbrace{1, \ldots, 1}_{p}, \underbrace{-1, \ldots, -1}_{q}, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n-r}) \]

证明

类似实对称双线性型的配方法。若存在 \(\mathbf{v}\) 使 \(f(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \neq 0\)（此值为实数），令 \(\mathbf{e}_1 = \mathbf{v}\)，取正交补 \(W = \{\mathbf{w} : f(\mathbf{e}_1, \mathbf{w}) = 0\}\)，由归纳法对 \(W\) 对角化。

若对所有 \(\mathbf{v}\) 有 \(f(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = 0\)，由极化恒等式的 Hermite 版本

\[ f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac{1}{4}\bigl[f(\mathbf{x}+\mathbf{y}, \mathbf{x}+\mathbf{y}) - f(\mathbf{x}-\mathbf{y}, \mathbf{x}-\mathbf{y}) + if(\mathbf{x}+i\mathbf{y}, \mathbf{x}+i\mathbf{y}) - if(\mathbf{x}-i\mathbf{y}, \mathbf{x}-i\mathbf{y})\bigr] \]

可知 \(f \equiv 0\)。故归纳法可以进行。

缩放：若 \(d_k > 0\)，令 \(\mathbf{e}_k' = \mathbf{e}_k/\sqrt{d_k}\)；若 \(d_k < 0\)，令 \(\mathbf{e}_k' = \mathbf{e}_k/\sqrt{|d_k|}\)。\(\blacksquare\)

定理 9.20 (Hermite 型的惯性定律)

Hermite 型的标准形中正项个数 \(p\) 和负项个数 \(q\) 是不变量，不依赖于基的选取。\((p, q)\) 称为 Hermite 型的签名。

证明

证明与实二次型的 Sylvester 惯性定律（定理 9.4）完全类似。假设两种标准形有不同的正项个数 \(p > s\)，构造子空间 \(V_1\)（维数 \(p\)，在其上 \(f > 0\)）和 \(V_2\)（维数 \(n-s\)，在其上 \(f \leq 0\)）。维数论证 \(p + (n-s) > n\) 给出 \(V_1 \cap V_2 \neq \{\mathbf{0}\}\)，导出矛盾。\(\blacksquare\)

定理 9.21 (Hermite 矩阵的谱定理)

Hermite 矩阵 \(A\)（\(A^* = A\)）的所有特征值都是实数，且 \(A\) 可被酉矩阵对角化：存在酉矩阵 \(U\) 使

\[ U^* A U = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \quad \lambda_i \in \mathbb{R} \]

证明

特征值为实数：设 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)，\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)。则 \(\lambda \mathbf{v}^*\mathbf{v} = \mathbf{v}^*A\mathbf{v} = (A\mathbf{v})^*\mathbf{v} = \bar{\lambda}\mathbf{v}^*\mathbf{v}\)（利用 \(A^* = A\)），故 \(\lambda = \bar{\lambda}\)，\(\lambda \in \mathbb{R}\)。

酉对角化：不同特征值的特征向量正交（证明同实情形）。对每个特征空间进行 Gram-Schmidt 正交化，合并得到酉矩阵 \(U\)。\(\blacksquare\)

定义 9.21 (正定 Hermite 型)

Hermite 型 \(f\) 称为正定的，若 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{x}) > 0\) 对所有 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) 成立。等价条件与实情形类似：

• Hermite 矩阵 \(A\) 的所有特征值大于零；
• 存在可逆矩阵 \(C\) 使 \(A = C^*C\)；
• \(A\) 的所有顺序主子式大于零。

例 9.17

Hermite 型 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 2\bar{x}_1y_1 + (1+i)\bar{x}_1y_2 + (1-i)\bar{x}_2y_1 + 3\bar{x}_2y_2\) 的 Hermite 矩阵为

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{pmatrix} \]

验证 \(A^* = A\)：\(\overline{(1+i)} = 1-i = a_{21}\) \(\checkmark\)。\(\Delta_1 = 2 > 0\)，\(\Delta_2 = 6 - |1+i|^2 = 6 - 2 = 4 > 0\)，故 \(A\) 正定。

例 9.18

找 Hermite 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}\) 的特征值和酉对角化。

特征多项式：\((1-\lambda)^2 - i(-i) = (1-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda = \lambda(\lambda - 2)\)。

\(\lambda_1 = 0\)：\(\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(i, 1)^T\)。

\(\lambda_2 = 2\)：\(\mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(-i, 1)^T\)。

酉矩阵 \(U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & -i \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，\(U^*AU = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)。

签名 \((p, q) = (1, 0)\)，秩 \(r = 1\)，\(A\) 半正定但不正定。

例 9.19

反 Hermite 型（anti-Hermitian / skew-Hermitian）。若半双线性型 \(f\) 满足 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = -\overline{f(\mathbf{y}, \mathbf{x})}\)，则 \(f(\mathbf{x}, \mathbf{x})\) 纯虚。此时矩阵 \(A\) 满足 \(A^* = -A\)（反 Hermite 矩阵），特征值全为纯虚数。

例如 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) 是反 Hermite 矩阵（也是实反对称矩阵），特征值为 \(\pm i\)。