第 10 章 矩阵分解¶
前置：Ch8 正交性/谱定理 · Ch9 正定性
本章脉络：LU（消元） → PLU（选主元） → Cholesky（正定） → QR（正交化） → Schur（三角化） → 谱分解 → 极分解
延伸：LU 分解是大规模线性方程组直接解法的工业标准（LAPACK）；QR 分解是特征值算法的核心（QR 迭代）；Cholesky 分解在金融工程（协方差矩阵模拟）和地球物理学（Kriging）中广泛使用
矩阵分解（matrix decomposition / matrix factorization）是将一个矩阵表示为若干特殊矩阵之积的技术，是数值线性代数和应用数学的核心工具。不同的矩阵分解适用于不同的应用场景：LU 分解用于高效求解线性方程组，QR 分解用于最小二乘问题，Schur 分解揭示矩阵的深层结构，谱分解刻画了对称矩阵和正规矩阵的本质。本章系统地介绍各种重要的矩阵分解方法。
10.1 LU 分解¶
高斯消元的矩阵化表述：\(A = LU\)（下三角 × 上三角） → 将 \(O(n^3)\) 的分解做一次，之后每个右端 \(\mathbf{b}\) 只需 \(O(n^2)\)
定义 10.1 (LU 分解)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 矩阵。若存在 \(n \times n\) 下三角矩阵 \(L\)（对角元素全为 1）和上三角矩阵 \(U\) 使得
则称 \(A = LU\) 为 \(A\) 的 LU 分解（LU decomposition / LU factorization）。\(L\) 称为单位下三角矩阵（unit lower triangular matrix），\(U\) 称为上三角矩阵（upper triangular matrix）。
定理 10.1 (LU 分解的存在唯一性)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 矩阵。\(A\) 具有 LU 分解当且仅当 \(A\) 的所有前 \(k\) 阶顺序主子矩阵 \(A_k\)（\(k = 1, \ldots, n-1\)）都是非奇异的，即 \(\det(A_k) \neq 0\)。若 \(A\) 可逆，则 LU 分解唯一。
证明
必要性： 设 \(A = LU\)，\(L, U\) 分别为下三角和上三角。\(A_k = L_k U_k\)，其中 \(L_k, U_k\) 分别是 \(L, U\) 的前 \(k\) 阶主子矩阵。\(L_k\) 是单位下三角，\(\det(L_k) = 1 \neq 0\)。若 \(\det(A_k) = 0\)，则 \(\det(U_k) = 0\)，这意味着 \(U\) 的前 \(k\) 个对角元中有零。但高斯消元过程要求主元非零，矛盾。
充分性： 用高斯消元法的语言。由 \(\det(A_k) \neq 0\) 保证消元过程中所有主元非零，不需要行交换。将消元过程记录为 \(A = L_1^{-1}L_2^{-1}\cdots L_{n-1}^{-1}U\)，其中 \(L_i\) 是初等下三角矩阵。\(L = L_1^{-1}L_2^{-1}\cdots L_{n-1}^{-1}\) 仍是单位下三角矩阵。
唯一性（\(A\) 可逆时）： 设 \(A = L_1U_1 = L_2U_2\)，则 \(L_2^{-1}L_1 = U_2U_1^{-1}\)。左边是单位下三角，右边是上三角，因此两边都等于单位矩阵 \(I\)。\(\blacksquare\)
例 10.1
对矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 8 & 7 & 9 \end{pmatrix}\) 进行 LU 分解。
高斯消元：\(R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1\)，\(R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1\)：
\(R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2\)：
乘数矩阵 \(L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)。
验证：\(LU = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 8 & 7 & 9 \end{pmatrix} = A\)。
注
LU 分解的主要应用是高效求解线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)：先解 \(L\mathbf{y} = \mathbf{b}\)（前代法），再解 \(U\mathbf{x} = \mathbf{y}\)（回代法）。计算量为 \(O(n^2)\)（假设 \(L, U\) 已知），而分解本身的计算量为 \(O(\frac{2}{3}n^3)\)。
10.2 PLU 分解¶
LU 要求顺序主子式非零 → 引入置换矩阵 \(P\)（行交换）→ \(PA = LU\) 对任意可逆矩阵成立
定义 10.2 (置换矩阵)
置换矩阵（permutation matrix）是恰好在每行每列有且仅有一个 \(1\)、其余元素为 \(0\) 的方阵。它对应于单位矩阵的行（列）的一个排列。
命题 10.1 (置换矩阵的性质)
设 \(P\) 是置换矩阵。则
- \(P\) 是正交矩阵：\(P^TP = PP^T = I\)，即 \(P^{-1} = P^T\)；
- \(\det(P) = \pm 1\)；
- 置换矩阵的乘积仍是置换矩阵。
证明
(1) \(P\) 的行（列）向量是标准基向量的排列，因此是标准正交集。
(2) 由 \(\det(P^TP) = (\det P)^2 = 1\) 得 \(\det P = \pm 1\)。
(3) 两个排列的复合仍是排列。\(\blacksquare\)
定理 10.2 (PLU 分解)
任意 \(n \times n\) 可逆矩阵 \(A\) 都可以分解为
其中 \(P\) 是置换矩阵，\(L\) 是单位下三角矩阵，\(U\) 是上三角矩阵。等价地，
证明
在高斯消元过程中，若某步的主元为零，可以通过行交换（部分选主元）使主元非零。所有行交换操作对应一个置换矩阵 \(P\)。对 \(PA\) 进行不需要行交换的高斯消元，得到 \(PA = LU\)。
更精确地说：对可逆矩阵 \(A\)，每步消元时选择当前列中绝对值最大的元素作为主元（部分选主元策略），通过行交换将其移至对角位置。全部行交换的效果由 \(P\) 记录。由于 \(A\) 可逆，消元过程一定能完成。\(\blacksquare\)
例 10.2
对 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\) 进行 PLU 分解。
第一列主元为 \(0\)，需要行交换。交换第 1 行和第 3 行：
\(R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{2}R_1\)：
\(R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2\)：
因此 \(P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)，\(L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)，\(PA = LU\)。
10.3 Cholesky 分解¶
Ch9 正定 \(A = C^TC\) → 取 \(C = L^T\) 得 \(A = LL^T\) → 计算量仅 \(\frac{1}{3}n^3\)（LU 的一半），无需选主元，数值稳定
定义 10.3 (Cholesky 分解)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 实对称正定矩阵。\(A\) 的 Cholesky 分解（Cholesky decomposition）是
其中 \(L\) 是对角元素全为正的下三角矩阵。对复 Hermitian 正定矩阵，\(A = LL^H\)。
定理 10.3 (Cholesky 分解的存在唯一性)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 实对称正定矩阵。则存在唯一的对角元素全为正的下三角矩阵 \(L\) 使得 \(A = LL^T\)。
证明
存在性： 由 LU 分解（正定矩阵的顺序主子式全为正，保证 LU 分解存在）：\(A = L_0 U_0\)。令 \(D = \operatorname{diag}(u_{11}, \ldots, u_{nn})\)（\(U_0\) 的对角线），则 \(U_0 = DU_1\)，其中 \(U_1\) 是单位上三角。
由 \(A = A^T\)，有 \(L_0DU_1 = U_1^TDL_0^T\)。由唯一性可推出 \(U_1 = L_0^T\)，故 \(A = L_0DL_0^T\)。
正定性保证 \(u_{ii} = d_i > 0\)。令 \(L = L_0 D^{1/2}\)（其中 \(D^{1/2} = \operatorname{diag}(\sqrt{d_1}, \ldots, \sqrt{d_n})\)），则 \(A = L_0 D^{1/2}(D^{1/2})^TL_0^T = LL^T\)。
唯一性： 设 \(A = L_1L_1^T = L_2L_2^T\)。则 \(L_2^{-1}L_1 = L_2^T L_1^{-T}\)。左边是下三角，右边是上三角，故两边都是对角矩阵 \(D\)。由 \(L_2^{-1}L_1 = D\) 和 \(L_2^TL_1^{-T} = D\)，得 \(D = D^T = D\)，且 \(DD^T = I\)。由对角元素为正，\(D = I\)，故 \(L_1 = L_2\)。\(\blacksquare\)
例 10.3
对 \(A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 10 & 2 \\ -2 & 2 & 5 \end{pmatrix}\) 进行 Cholesky 分解。
设 \(L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}\)，由 \(A = LL^T\)：
- \(l_{11}^2 = 4 \Rightarrow l_{11} = 2\)
- \(l_{21}l_{11} = 2 \Rightarrow l_{21} = 1\)
- \(l_{31}l_{11} = -2 \Rightarrow l_{31} = -1\)
- \(l_{21}^2 + l_{22}^2 = 10 \Rightarrow l_{22}^2 = 9 \Rightarrow l_{22} = 3\)
- \(l_{31}l_{21} + l_{32}l_{22} = 2 \Rightarrow l_{32} = 1\)
- \(l_{31}^2 + l_{32}^2 + l_{33}^2 = 5 \Rightarrow l_{33}^2 = 3 \Rightarrow l_{33} = \sqrt{3}\)
注
Cholesky 分解的计算量约为 \(\frac{1}{3}n^3\)，是 LU 分解的一半。它在数值计算中非常稳定，不需要选主元。Cholesky 分解也常用于判定矩阵是否正定：若算法顺利完成（所有对角元素为正），则矩阵正定。
10.4 QR 分解¶
正交 × 上三角：\(A = QR\) → 三种构造法：Gram-Schmidt（Ch8 正交化）、Householder 反射、Givens 旋转 → 数值最小二乘的核心工具
定义 10.4 (QR 分解)
设 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵（\(m \geq n\)）。\(A\) 的 QR 分解（QR decomposition）是
其中 \(Q\) 是 \(m \times m\) 正交（或酉）矩阵，\(R\) 是 \(m \times n\) 上三角矩阵。
缩减形式（thin QR）：\(A = Q_1R_1\)，其中 \(Q_1\) 是 \(m \times n\)（列正交，\(Q_1^TQ_1 = I_n\)），\(R_1\) 是 \(n \times n\) 上三角。
定理 10.4 (QR 分解的存在性)
任意 \(m \times n\) 矩阵 \(A\)（\(m \geq n\)）都具有 QR 分解。若 \(A\) 列满秩且要求 \(R\) 的对角元素为正，则缩减 QR 分解唯一。
证明
存在性（Gram-Schmidt 方法）： 设 \(A = [\mathbf{a}_1 | \cdots | \mathbf{a}_n]\)。对列向量 \(\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n\) 施以 Gram-Schmidt 正交化：
则 \(\mathbf{a}_k = \sum_{j=1}^{k}\langle \mathbf{a}_k, \mathbf{e}_j\rangle \mathbf{e}_j\)，写成矩阵形式即 \(A = Q_1R_1\)。
唯一性： 若 \(A = Q_1R_1 = Q_2R_2\)（\(R_i\) 对角元素为正），则 \(Q_2^TQ_1 = R_2R_1^{-1}\)。左边列正交，右边上三角。\(Q_2^TQ_1\) 同时是正交矩阵和上三角矩阵，因此是对角矩阵，且对角元素为 \(\pm 1\)。由 \(R_1, R_2\) 对角元素为正，该对角矩阵为 \(I\)。\(\blacksquare\)
Gram-Schmidt 正交化¶
定义 10.5 (Gram-Schmidt 正交化)
设 \(\{\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n\}\) 是线性无关向量组。Gram-Schmidt 正交化（Gram-Schmidt orthogonalization）过程为：
对 \(k = 2, \ldots, n\)：
则 \(\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) 是标准正交组，且对每个 \(k\)，\(\operatorname{span}\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_k\} = \operatorname{span}\{\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_k\}\)。
Householder 变换¶
定义 10.6 (Householder 反射)
设 \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\) 是非零向量。Householder 反射（Householder reflection）定义为
\(H\) 是对称正交矩阵（\(H^T = H\)，\(H^2 = I\)），几何上表示关于 \(\mathbf{v}\) 的正交补超平面的反射。
命题 10.2
Householder 反射矩阵 \(H\) 满足：
- \(H = H^T\)（对称）；
- \(H^2 = I\)（对合）；
- \(H\) 是正交矩阵，\(\det(H) = -1\)。
证明
(1) \((I - 2\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^T}{\mathbf{v}^T\mathbf{v}})^T = I - 2\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^T}{\mathbf{v}^T\mathbf{v}} = H\)。
(2) \(H^2 = (I - 2\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^T}{\|\mathbf{v}\|^2})^2 = I - 4\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^T}{\|\mathbf{v}\|^2} + 4\frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}^T\mathbf{v})\mathbf{v}^T}{\|\mathbf{v}\|^4} = I\)。
(3) 由 (1) 和 (2) 得 \(HH^T = H^2 = I\)。\(\det(H) = -1\) 因为 \(H\) 有一个特征值为 \(-1\)，其余 \(n-1\) 个特征值为 \(1\)。\(\blacksquare\)
定理 10.5 (Householder QR)
对任意 \(m \times n\) 矩阵 \(A\)（\(m \geq n\)），存在 Householder 反射 \(H_1, H_2, \ldots, H_n\) 使得
为上三角矩阵。因此 \(A = QR\)，其中 \(Q = H_1 H_2 \cdots H_n\)。
证明
构造 \(H_1\)： 设 \(\mathbf{a}_1\) 是 \(A\) 的第一列。选择 \(\mathbf{v}_1 = \mathbf{a}_1 + \operatorname{sign}(a_{11})\|\mathbf{a}_1\|\mathbf{e}_1\)，令 \(H_1 = I - 2\frac{\mathbf{v}_1\mathbf{v}_1^T}{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_1}\)，则 \(H_1\mathbf{a}_1 = -\operatorname{sign}(a_{11})\|\mathbf{a}_1\|\mathbf{e}_1\)，即第一列被消为只有第一个分量非零。
对 \(H_1A\) 的右下角 \((m-1)\times(n-1)\) 子矩阵重复此过程。将 \((m-1)\) 维的 Householder 矩阵嵌入 \(m\) 维（左上角补 \(1\)）得到 \(H_2\)。如此迭代 \(n\) 步。\(\blacksquare\)
Givens 旋转¶
定义 10.7 (Givens 旋转)
Givens 旋转（Givens rotation）\(G(i, j, \theta)\) 是单位矩阵在第 \((i,i), (i,j), (j,i), (j,j)\) 位置修改为
其余位置不变。\(G(i,j,\theta)\) 是正交矩阵，表示在 \((i,j)\) 平面内旋转 \(\theta\) 角。
例 10.4
用 Gram-Schmidt 方法对 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) 进行 QR 分解。
\(\mathbf{a}_1 = (1,1,0)^T\)，\(\|\mathbf{a}_1\| = \sqrt{2}\)，\(\mathbf{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T\)。
\(\mathbf{u}_2 = \mathbf{a}_2 - \langle \mathbf{a}_2, \mathbf{e}_1\rangle \mathbf{e}_1 = (1,0,1)^T - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T = (1,0,1)^T - \frac{1}{2}(1,1,0)^T = \frac{1}{2}(1,-1,2)^T\)。
\(\|\mathbf{u}_2\| = \frac{1}{2}\sqrt{6}\)，\(\mathbf{e}_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^T\)。
\(\mathbf{u}_3 = \mathbf{a}_3 - \langle \mathbf{a}_3, \mathbf{e}_1\rangle \mathbf{e}_1 - \langle \mathbf{a}_3, \mathbf{e}_2\rangle \mathbf{e}_2\)。
\(\langle \mathbf{a}_3, \mathbf{e}_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(\langle \mathbf{a}_3, \mathbf{e}_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}(0-1+2) = \frac{1}{\sqrt{6}}\)。
\(\mathbf{u}_3 = (0,1,1)^T - \frac{1}{2}(1,1,0)^T - \frac{1}{6}(1,-1,2)^T = \frac{1}{3}(-1,1,1)^T \cdot \frac{3}{2}\)。
经计算，\(\mathbf{u}_3 = (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})^T\)，\(\|\mathbf{u}_3\| = \frac{2}{\sqrt{3}}\)，\(\mathbf{e}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)^T\)。
10.5 Schur 分解¶
任意方阵可酉三角化 \(A = UTU^H\) → 对角元 = 特征值 → 比对角化更一般（不要求可对角化） → 正规矩阵时 \(T\) 退化为对角
洞察：Schur 分解的存在性证明与谱定理同构——找特征向量、正交补不变、归纳降维——但不需正规性假设
定理 10.6 (Schur 分解)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 复矩阵。则存在酉矩阵 \(U\) 使得
其中 \(T\) 是上三角矩阵，其对角元素是 \(A\) 的特征值（按任意指定顺序排列）。等价地，\(A = UTU^H\)。
证明
对 \(n\) 用数学归纳法。\(n = 1\) 时显然。设结论对 \(n-1\) 阶矩阵成立。
由代数基本定理，\(A\) 有特征值 \(\lambda_1\)。设 \(\mathbf{u}_1\) 是对应的单位特征向量。将 \(\mathbf{u}_1\) 扩充为 \(\mathbb{C}^n\) 的标准正交基 \(\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n\}\)，令 \(U_1 = [\mathbf{u}_1 | \cdots | \mathbf{u}_n]\)。则
其中 \(A_1\) 是 \((n-1) \times (n-1)\) 矩阵（第一列为零向量是因为 \(\mathbf{u}_j^HA\mathbf{u}_1 = \lambda_1 \mathbf{u}_j^H\mathbf{u}_1 = 0\)，\(j \geq 2\)）。
由归纳假设，存在 \((n-1)\) 阶酉矩阵 \(V_1\) 使 \(V_1^HA_1V_1 = T_1\) 为上三角。令
则 \(U = U_1V\) 是酉矩阵，且 \(U^HAU\) 是上三角矩阵，对角元素为 \(A\) 的特征值。\(\blacksquare\)
定理 10.7 (实 Schur 分解)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 实矩阵。则存在正交矩阵 \(Q\) 使得
其中 \(T\) 是准上三角矩阵（quasi-upper triangular），即对角块是 \(1\times 1\) 块（对应实特征值）或 \(2\times 2\) 块 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)（对应共轭复特征值对）。
证明
思路类似复 Schur 分解。对实特征值，可像复情形一样处理。对共轭复特征值对 \(\lambda = a \pm bi\)，对应两个共轭复特征向量 \(\mathbf{v} \pm i\mathbf{w}\)，其实部和虚部 \(\mathbf{v}, \mathbf{w}\) 张成一个 \(2\) 维实不变子空间，在此子空间上 \(A\) 的限制给出 \(2\times 2\) 块。\(\blacksquare\)
例 10.5
对 \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)（旋转 90 度矩阵），其特征值为 \(\pm i\)。
复 Schur 分解：\(U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ i & -i \end{pmatrix}\)，\(U^HAU = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}\)。
实 Schur 分解：\(A\) 本身已经是准上三角形式（一个 \(2\times 2\) 块）：\(Q = I\)，\(T = A\)。
10.6 谱分解¶
\(A = \sum \lambda_i P_i\)（特征值 × 正交投影之和） → 将矩阵拆为独立模式的叠加 → Ch11 SVD 是非对称版本，Ch13 \(f(A) = \sum f(\lambda_i)P_i\)
定义 10.8 (谱分解)
设 \(A\) 是可对角化的矩阵。若 \(A\) 有特征值 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\)（互不相同），对应的特征空间投影为 \(P_1, \ldots, P_k\)，则
称为 \(A\) 的谱分解（spectral decomposition）。
洞察：\(A = \sum \lambda_i \mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T\) 中每个 \(\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T\) 是秩一正交投影——矩阵被分解为"频率分量"，这是 Fourier 分析的有限维版本
定理 10.8 (对称矩阵的谱分解)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 实对称矩阵，特征值为 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\)（允许重复），对应的标准正交特征向量为 \(\mathbf{q}_1, \ldots, \mathbf{q}_n\)。则
若将相同特征值的项合并，设不同特征值为 \(\mu_1, \ldots, \mu_k\)，对应的特征空间正交投影为 \(P_j = \sum_{\lambda_i = \mu_j} \mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T\)，则
证明
由谱定理，\(A = Q\Lambda Q^T\)。展开矩阵乘法：
验证 \(P_j\) 的性质：\(P_j\) 是到特征空间 \(E_{\mu_j}\) 上的正交投影，因此 \(P_j^2 = P_j\)，\(P_j^T = P_j\)，\(P_jP_l = 0\)（\(j \neq l\)，因不同特征空间正交），\(\sum P_j = I\)（因特征向量组成完整的标准正交基）。\(\blacksquare\)
定理 10.9 (正规矩阵的谱分解)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 正规矩阵，特征值为 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\)，对应的标准正交特征向量为 \(\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n\)。则
证明
由正规矩阵的谱定理（定理 8.17），\(A\) 可酉对角化为 \(A = U\Lambda U^H\)。展开即得。\(\blacksquare\)
例 10.6
对 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) 进行谱分解。
特征值 \(\lambda_1 = 1\)，\(\mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^T\)；\(\lambda_2 = 3\)，\(\mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T\)。
验证：\(P_1 + P_2 = I\)，\(P_1P_2 = 0\)。
10.7 极分解¶
\(A = UP\)：酉 × 正定 ↔ 复数极坐标 \(z = e^{i\theta}|z|\) → 通过 SVD 计算：\(U = VW^H\), \(P = W\Sigma W^H\) → 分离"旋转"与"伸缩"
定义 10.9 (极分解)
设 \(A\) 是 \(n \times n\) 可逆复矩阵。\(A\) 的极分解（polar decomposition）是
其中 \(U\) 是酉矩阵（\(U^HU = I\)），\(P\) 是正定 Hermitian 矩阵（\(P^H = P\)，\(P > 0\)）。这称为右极分解。类似地，\(A = P'U\)（\(P'\) 正定）称为左极分解。
定理 10.10 (极分解的存在唯一性)
(1) 任意 \(n \times n\) 可逆矩阵 \(A\) 都有唯一的右极分解 \(A = UP\)（\(U\) 酉，\(P\) 正定 Hermitian）和唯一的左极分解 \(A = P'U\)。
(2) 更一般地，任意 \(m \times n\) 矩阵 \(A\) 都可以分解为 \(A = UP\)，其中 \(U\) 的列是正交的（\(U^HU = I_n\)），\(P\) 是半正定 Hermitian 矩阵。\(P\) 唯一确定（\(P = \sqrt{A^HA}\)），但 \(U\) 在 \(A\) 不满秩时不唯一。
证明
存在性： \(A^HA\) 是半正定 Hermitian 矩阵。令 \(P = (A^HA)^{1/2}\)（正半定 Hermitian 平方根，由谱定理可构造）。
若 \(A\) 可逆，则 \(A^HA\) 正定，\(P\) 正定可逆。令 \(U = AP^{-1}\)。验证 \(U\) 是酉矩阵：
唯一性（可逆情形）： 设 \(A = U_1P_1 = U_2P_2\)，则 \(A^HA = P_1^2 = P_2^2\)。由正定矩阵正平方根的唯一性（见定理 13.7），\(P_1 = P_2\)。从而 \(U_1 = U_2\)。
左极分解： \(P' = (AA^H)^{1/2}\)，\(U = (P')^{-1}A\)。\(\blacksquare\)
注
极分解的名称来自与复数极坐标表示 \(z = e^{i\theta}|z|\) 的类比：\(U\) 对应"旋转"（\(e^{i\theta}\)），\(P\) 对应"伸缩"（\(|z|\)）。极分解可以通过 SVD 方便地计算：若 \(A = V\Sigma W^H\)（SVD），则 \(U = VW^H\)，\(P = W\Sigma W^H\)。
例 10.7
对 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 进行极分解。
\(A^TA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)，特征值为 \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)。
设 \(\lambda_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\)，\(\lambda_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\)。\(P = (A^TA)^{1/2}\)，即 \(P\) 的特征值为 \(\sqrt{\lambda_1}, \sqrt{\lambda_2}\)。
\(P = Q\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \sqrt{\lambda_2})Q^T\)（\(Q\) 由 \(A^TA\) 的标准正交特征向量组成）。
\(U = AP^{-1}\) 是正交矩阵。
具体数值：\(P \approx \begin{pmatrix} 1.0515 & 0.4851 \\ 0.4851 & 1.2965 \end{pmatrix}\)，\(U \approx \begin{pmatrix} 0.8507 & 0.5257 \\ -0.5257 & 0.8507 \end{pmatrix}\)。