第 12 章 Jordan 标准形¶

前置：Ch8 谱定理（可对角化情形）

本章脉络：不变子空间 → 广义特征向量 → 幂零矩阵 → Jordan 块 \(J_k(\lambda) = \lambda I + N_k\) → Jordan 标准形定理 → 最小多项式 → 矩阵幂/ODE

延伸：Jordan 标准形在控制理论（系统的可控性标准形）、微分方程（非对角化系统的解）中有直接应用；其推广——广义 Jordan 标准形用于分析矩阵函数在亏损特征值处的行为

并非所有矩阵都可以对角化。当一个矩阵的特征值的几何重数小于代数重数时，它不存在由特征向量组成的基，因而无法对角化。然而，每个方阵都可以化为一种"几乎对角"的标准形式——Jordan 标准形（Jordan Normal Form / Jordan Canonical Form）。Jordan 标准形是对角化的自然推广，它在矩阵理论、微分方程、控制论等领域具有核心地位。本章将从不变子空间出发，逐步构建 Jordan 标准形理论。

12.1 不变子空间¶

\(A(W) \subseteq W\) → 不变子空间直和分解 ↔ 分块对角化 → 将大矩阵问题分解为小块独立处理

不变子空间（invariant subspace）是理解线性变换结构的基本工具，也是 Jordan 分解理论的起点。

定义 12.1 (不变子空间 Invariant Subspace)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵（或 \(T\) 为线性空间 \(V\) 上的线性变换），\(W\) 为 \(\mathbb{R}^n\)（或 \(V\)）的子空间。若对任意 \(\mathbf{w} \in W\) 都有 \(A\mathbf{w} \in W\)（即 \(A(W) \subseteq W\)），则称 \(W\) 为 \(A\) 的不变子空间。

例 12.1

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵，以下都是 \(A\) 的不变子空间：

\(\{0\}\) 和 \(\mathbb{R}^n\)（平凡不变子空间）；
\(\ker(A) = \{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\)（零空间）；
\(\operatorname{Im}(A) = \{A\mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}\)（像空间 / 列空间）；
特征空间 \(E_\lambda = \ker(A - \lambda I)\)；
\(\operatorname{span}\{\mathbf{v}\}\)，其中 \(\mathbf{v}\) 为 \(A\) 的特征向量。

验证 (2)： 若 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\)，则 \(A(A\mathbf{x}) = A\mathbf{0} = \mathbf{0}\)，故 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0} \in \ker(A)\)。

定义 12.2 (不变子空间直和分解)

设 \(W_1, W_2, \ldots, W_k\) 都是 \(A\) 的不变子空间，若

\[ \mathbb{R}^n = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_k \]

（即每个 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) 可以唯一表示为 \(\mathbf{x} = \mathbf{w}_1 + \cdots + \mathbf{w}_k\)，\(\mathbf{w}_i \in W_i\)），则称 \(\mathbb{R}^n\) 为 \(A\) 的不变子空间的直和分解。

定理 12.1 (不变子空间与分块对角化)

设 \(\mathbb{R}^n = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_k\) 为 \(A\) 的不变子空间直和分解，取 \(W_i\) 的基 \(\mathcal{B}_i\)，合并为 \(\mathcal{B} = \mathcal{B}_1 \cup \cdots \cup \mathcal{B}_k\)。设 \(P\) 为基 \(\mathcal{B}\) 的矩阵（列为各基向量），则

\[ P^{-1}AP = \begin{pmatrix} A_1 & & \\ & A_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{pmatrix}, \]

其中 \(A_i\) 为 \(A\) 限制在 \(W_i\) 上的矩阵表示（\(\dim W_i \times \dim W_i\)）。

证明

设 \(\dim W_i = n_i\)，\(\mathcal{B}_i = \{\mathbf{w}_{i,1}, \ldots, \mathbf{w}_{i,n_i}\}\)。由于 \(W_i\) 是 \(A\) 的不变子空间，\(A\mathbf{w}_{i,j} \in W_i\)，因此 \(A\mathbf{w}_{i,j}\) 可以表示为 \(\mathcal{B}_i\) 中向量的线性组合。

设 \(P = [\mathbf{w}_{1,1}, \ldots, \mathbf{w}_{1,n_1}, \ldots, \mathbf{w}_{k,1}, \ldots, \mathbf{w}_{k,n_k}]\)，则

\[ AP = P \begin{pmatrix} A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_k \end{pmatrix}, \]

其中 \(A_i\) 的第 \(j\) 列是 \(A\mathbf{w}_{i,j}\) 在基 \(\mathcal{B}_i\) 下的坐标。由 \(P\) 可逆即得结论。\(\blacksquare\)

定理 12.2 (特征空间是不变子空间)

设 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的特征值，则特征空间 \(E_\lambda = \ker(A - \lambda I)\) 是 \(A\) 的不变子空间。更一般地，对任意多项式 \(p\)，\(\ker(p(A))\) 是 \(A\) 的不变子空间。

证明

设 \(\mathbf{v} \in E_\lambda\)，即 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)。则 \(A(\lambda\mathbf{v}) = \lambda(A\mathbf{v}) = \lambda^2\mathbf{v}\)。但我们要证的是 \(A\mathbf{v} \in E_\lambda\)：\((A - \lambda I)(A\mathbf{v}) = A(A\mathbf{v}) - \lambda(A\mathbf{v}) = A(\lambda\mathbf{v}) - \lambda(\lambda\mathbf{v}) = \lambda^2\mathbf{v} - \lambda^2\mathbf{v} = \mathbf{0}\)。因此 \(A\mathbf{v} \in E_\lambda\)。

对一般情况：设 \(p(A)\mathbf{v} = \mathbf{0}\)，由于 \(A\) 与 \(p(A)\) 可交换，\(p(A)(A\mathbf{v}) = A(p(A)\mathbf{v}) = A\mathbf{0} = \mathbf{0}\)，故 \(A\mathbf{v} \in \ker(p(A))\)。\(\blacksquare\)

12.2 广义特征向量¶

特征向量不够 → 放宽为 \((A-\lambda I)^k\mathbf{v} = \mathbf{0}\) → 广义特征空间 \(G_\lambda\) 的维数 = 代数重数 → \(\mathbb{C}^n = \bigoplus G_{\lambda_i}\)

当特征值的几何重数小于代数重数时，特征向量不足以构成一组基。广义特征向量（generalized eigenvectors）通过放宽条件来弥补这一不足。

定义 12.3 (广义特征向量 Generalized Eigenvector)

设 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的特征值。若非零向量 \(\mathbf{v}\) 满足

\[ (A - \lambda I)^k \mathbf{v} = \mathbf{0} \]

对某个正整数 \(k\) 成立，则称 \(\mathbf{v}\) 为 \(A\) 对应于 \(\lambda\) 的广义特征向量（秩为 \(k\)，如果 \((A-\lambda I)^{k-1}\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)）。

定义 12.4 (广义特征空间 Generalized Eigenspace)

矩阵 \(A\) 对应于特征值 \(\lambda\) 的广义特征空间为

\[ G_\lambda = \ker(A - \lambda I)^n = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n : (A - \lambda I)^n \mathbf{v} = \mathbf{0}\}, \]

其中 \(n\) 为矩阵的阶数。等价地，\(G_\lambda = \bigcup_{k=1}^{\infty} \ker(A - \lambda I)^k\)。

定理 12.3 (广义特征空间的维数)

设 \(\lambda\) 为 \(A\) 的特征值，代数重数为 \(m\)，则

\[ \dim G_\lambda = m. \]

即广义特征空间的维数等于特征值的代数重数。

证明

由 Jordan 标准形定理（定理 12.8），\(A\) 相似于 Jordan 矩阵 \(J\)。设 \(A = PJP^{-1}\)，则 \((A - \lambda I)^n = P(J - \lambda I)^n P^{-1}\)。对 Jordan 矩阵 \(J\)，\(\ker(J - \lambda I)^n\) 恰好由所有对应于 \(\lambda\) 的 Jordan 块的列空间张成，其维数为 \(\lambda\) 的代数重数 \(m\)。由相似变换保维数，\(\dim G_\lambda = m\)。\(\blacksquare\)

定理 12.4 (广义特征空间的直和分解)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵（在复数域上），特征值为 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_s\)（互不相同），则

\[ \mathbb{C}^n = G_{\lambda_1} \oplus G_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus G_{\lambda_s}. \]

证明

维数验证： 由定理 12.3，\(\sum \dim G_{\lambda_i} = \sum m_i = n\)（代数重数之和等于 \(n\)）。

直和性： 需证明若 \(\mathbf{v}_1 + \cdots + \mathbf{v}_s = \mathbf{0}\)（\(\mathbf{v}_i \in G_{\lambda_i}\)），则 \(\mathbf{v}_i = \mathbf{0}\)。设 \((A - \lambda_i I)^{m_i} \mathbf{v}_i = \mathbf{0}\)。对 \(i \neq j\)，令 \(p_j(x) = \prod_{i \neq j}(x - \lambda_i)^{m_i}\)。则 \(p_j(A)\mathbf{v}_i = \mathbf{0}\)（\(i \neq j\)），而 \(p_j(A)\mathbf{v}_j = c_j \mathbf{v}_j\)（其中 \(c_j = \prod_{i \neq j}(\lambda_j - \lambda_i)^{m_i} \neq 0\)）。

对 \(\mathbf{v}_1 + \cdots + \mathbf{v}_s = \mathbf{0}\) 两边作用 \(p_j(A)\)：\(c_j \mathbf{v}_j = \mathbf{0}\)，故 \(\mathbf{v}_j = \mathbf{0}\)。\(\blacksquare\)

例 12.2

设 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)，求 \(A\) 的广义特征空间。

解： \(A\) 的特征值为 \(\lambda = 2\)（代数重数 2）。

\((A - 2I) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(\ker(A - 2I) = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}\)，维数为 1（几何重数）。

\((A - 2I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，\(\ker(A - 2I)^2 = \mathbb{R}^2\)，维数为 2。

因此 \(G_2 = \mathbb{R}^2\)。广义特征向量 \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) 满足 \((A-2I)\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \neq \mathbf{0}\)，但 \((A-2I)^2\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}\)，故 \(\mathbf{v}_2\) 是秩为 2 的广义特征向量。

12.3 幂零矩阵¶

\(N^k = 0\) → 所有特征值为 \(0\) → \((I-N)^{-1} = I + N + \cdots + N^{k-1}\)（有限 Neumann 级数） → Jordan 块 = \(\lambda I + N\)

幂零矩阵（nilpotent matrix）是理解 Jordan 标准形的关键。每个 Jordan 块可以分解为一个标量矩阵加一个幂零矩阵。

定义 12.5 (幂零矩阵 Nilpotent Matrix)

若存在正整数 \(k\) 使得 \(N^k = 0\)，则称矩阵 \(N\) 为幂零矩阵。满足 \(N^k = 0\) 的最小正整数 \(k\) 称为 \(N\) 的幂零指数（nilpotency index）。

定理 12.5 (幂零矩阵的性质)

设 \(N\) 为 \(n \times n\) 幂零矩阵，幂零指数为 \(k\)，则：

\(N\) 的所有特征值都为 \(0\)；
\(\operatorname{tr}(N) = 0\)，\(\det(N) = 0\)；
\(k \le n\)；
\(N\) 的特征多项式为 \(p(\lambda) = \lambda^n\)；
\(I - N\) 可逆，且 \((I - N)^{-1} = I + N + N^2 + \cdots + N^{k-1}\)。

证明

(1) 设 \(\lambda\) 为 \(N\) 的特征值，\(\mathbf{v}\) 为对应特征向量。则 \(N\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)，\(N^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v}\)。由 \(N^k = 0\)，得 \(\lambda^k\mathbf{v} = \mathbf{0}\)。因为 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)，所以 \(\lambda^k = 0\)，即 \(\lambda = 0\)。

(2) 由 (1)，所有特征值为零，故 \(\operatorname{tr}(N) = 0\)（特征值之和），\(\det(N) = 0\)（特征值之积）。

(3) 考虑子空间链 \(\{0\} \subseteq \ker(N) \subseteq \ker(N^2) \subseteq \cdots\)。若 \(\ker(N^j) = \ker(N^{j+1})\)，则对所有 \(i \ge j\)，\(\ker(N^i) = \ker(N^j)\)。由 \(\ker(N^k) = \mathbb{R}^n\)（因为 \(N^k = 0\)），且维数严格递增直到稳定，\(k \le n\)。

(4) 由 (1)，\(N\) 的特征多项式只有零根，故 \(p(\lambda) = \lambda^n\)。

(5) \((I - N)(I + N + \cdots + N^{k-1}) = I - N^k = I\)。\(\blacksquare\)

例 12.3

设 \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)。验证 \(N\) 是幂零矩阵并求其幂零指数。

解：

\[ N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad N^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

\(N^2 \neq 0\) 而 \(N^3 = 0\)，故幂零指数为 \(3\)。

定理 12.6 (幂零矩阵的 Jordan 标准形)

设 \(N\) 为 \(n \times n\) 幂零矩阵，幂零指数为 \(k\)。则 \(N\) 相似于分块对角矩阵

\[ J = \operatorname{diag}(J_{n_1}(0), J_{n_2}(0), \ldots, J_{n_t}(0)), \]

其中 \(J_{n_i}(0)\) 为 \(n_i \times n_i\) 的幂零 Jordan 块（对角线为 0，超对角线为 1），\(n_1 \ge n_2 \ge \cdots \ge n_t \ge 1\)，\(\sum n_i = n\)，\(n_1 = k\)。

证明

这是 Jordan 标准形定理（定理 12.8）在 \(\lambda = 0\) 情形的特例。幂零指数 \(k\) 等于最大 Jordan 块的阶数 \(n_1\)，因为 \(J_{n_1}(0)^{n_1} = 0\) 但 \(J_{n_1}(0)^{n_1-1} \neq 0\)。详细证明见定理 12.8。

12.4 Jordan 块¶

\(J_k(\lambda) = \lambda I + N_k\)：唯一特征值 \(\lambda\)，代数重数 \(k\)，几何重数 1 → 二项式定理 \(J_k(\lambda)^m = \sum \binom{m}{j}\lambda^{m-j}N_k^j\)

Jordan 块（Jordan block）是构成 Jordan 标准形的基本单元。

定义 12.6 (Jordan 块 Jordan Block)

\(k \times k\) 的 Jordan 块 \(J_k(\lambda)\) 定义为

\[ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \lambda I_k + N_k, \]

其中 \(N_k\) 为 \(k \times k\) 的基本幂零矩阵（超对角线元素全为 1，其余为 0）。

定理 12.7 (Jordan 块的性质)

\(J_k(\lambda)\) 具有以下性质：

唯一特征值为 \(\lambda\)，代数重数 \(k\)，几何重数 \(1\)；
\((J_k(\lambda) - \lambda I)^k = N_k^k = 0\)，但 \((J_k(\lambda) - \lambda I)^{k-1} \neq 0\)；
\(J_k(\lambda)^m = \sum_{j=0}^{k-1} \binom{m}{j} \lambda^{m-j} N_k^j\)（\(m \ge k-1\)）；
当 \(\lambda \neq 0\) 时，\(J_k(\lambda)\) 可逆，\(J_k(\lambda)^{-1} = \frac{1}{\lambda}(I + \frac{1}{\lambda}N_k)^{-1}\)。

证明

(1) \(\det(J_k(\lambda) - \mu I) = (\lambda - \mu)^k\)，故唯一特征值为 \(\lambda\)，代数重数 \(k\)。\((J_k(\lambda) - \lambda I)\mathbf{v} = N_k\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 的解空间为 \(\operatorname{span}\{\mathbf{e}_1\}\)，几何重数为 1。

(2) \(J_k(\lambda) - \lambda I = N_k\)，而 \(N_k^k = 0\)、\(N_k^{k-1} \neq 0\)（\(N_k^{k-1}\) 的 \((1,k)\) 元素为 1）。

(3) 由二项式定理，\(J_k(\lambda)^m = (\lambda I + N_k)^m = \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j} \lambda^{m-j} N_k^j\)。由于 \(N_k^j = 0\)（\(j \ge k\)），求和实际只到 \(k-1\)。

(4) \(J_k(\lambda) = \lambda(I + \frac{1}{\lambda}N_k)\)。由定理 12.5(5)，\(I + \frac{1}{\lambda}N_k\) 可逆。\(\blacksquare\)

例 12.4

计算 \(J_3(2)^4\)。

解： \(J_3(2) = 2I + N_3\)，其中 \(N_3 = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\)。

由公式：

\[ J_3(2)^4 = \sum_{j=0}^{2} \binom{4}{j} 2^{4-j} N_3^j = \binom{4}{0}2^4 I + \binom{4}{1}2^3 N_3 + \binom{4}{2}2^2 N_3^2 \]

\[ = 16I + 32N_3 + 24N_3^2 = \begin{pmatrix}16&32&24\\0&16&32\\0&0&16\end{pmatrix}. \]

12.5 Jordan 标准形定理¶

全章核心：任意复矩阵 \(A = PJP^{-1}\)，\(J\) 由 Jordan 块拼成且在排列意义下唯一 → 块结构由 \(\operatorname{rank}(A-\lambda I)^j\) 序列确定

定义 12.7 (Jordan 矩阵 Jordan Matrix)

Jordan 矩阵是分块对角矩阵

\[ J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), J_{k_2}(\lambda_2), \ldots, J_{k_s}(\lambda_s)), \]

其中每个 \(J_{k_i}(\lambda_i)\) 是 Jordan 块。不同块可以有相同的 \(\lambda\) 值。

洞察：存在性三步——广义特征空间分解 → 在每个 \(G_\lambda\) 上化幂零问题 → 构造 Jordan 链逐块解决

定理 12.8 (Jordan 标准形定理)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 复数矩阵。则存在可逆矩阵 \(P\) 使得

\[ P^{-1}AP = J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \ldots, J_{k_s}(\lambda_s)), \]

其中 \(J\) 为 Jordan 矩阵。

而且，在不计 Jordan 块的排列顺序的意义下，\(J\) 是唯一的。即 Jordan 块的大小和对应的特征值是由 \(A\) 唯一确定的。

证明

证明思路：（完整证明较长，这里给出关键步骤）

存在性：

第一步（广义特征空间分解）：由定理 12.4，\(\mathbb{C}^n = G_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus G_{\lambda_s}\)。每个 \(G_{\lambda_i}\) 是 \(A\) 的不变子空间，\(A\) 限制在 \(G_{\lambda_i}\) 上的矩阵为 \(A|_{G_{\lambda_i}}\)。

第二步（化为幂零情形）：在 \(G_{\lambda_i}\) 上，\(A|_{G_{\lambda_i}} - \lambda_i I\) 是幂零的（因为 \((A - \lambda_i I)^{m_i}|_{G_{\lambda_i}} = 0\)，其中 \(m_i\) 为 \(\lambda_i\) 的代数重数）。

第三步（幂零矩阵的 Jordan 形）：设 \(N\) 为 \(d \times d\) 幂零矩阵。通过构造 Jordan 链（Jordan chains）可以找到基使得 \(N\) 在此基下为 Jordan 形。

具体地，选取 \(\mathbf{v}\) 使得 \((A-\lambda I)^{k-1}\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) 但 \((A-\lambda I)^k\mathbf{v} = \mathbf{0}\)。定义 Jordan 链：

\[ \mathbf{v}, (A-\lambda I)\mathbf{v}, (A-\lambda I)^2\mathbf{v}, \ldots, (A-\lambda I)^{k-1}\mathbf{v}. \]

这 \(k\) 个向量线性无关，且 \(A\) 在它们张成的子空间上表示为 \(J_k(\lambda)\)。

反复应用此过程，可将整个广义特征空间分解为 Jordan 链的直和。

唯一性：

Jordan 块的结构由以下不变量确定：对每个特征值 \(\lambda\) 和每个正整数 \(j\)，

\[ r_j = \operatorname{rank}(A - \lambda I)^j \]

是相似不变量。大小为 \(k\) 的 Jordan 块 \(J_k(\lambda)\) 的个数为

\[ n_k = r_{k-2} - 2r_{k-1} + r_k \]

（约定 \(r_{-1} = n\), \(r_0 = n - \dim\ker(A-\lambda I)\)），这由 \(A\) 唯一确定。\(\blacksquare\)

定理 12.9 (Jordan 标准形与矩阵性质)

设 \(A\) 的 Jordan 标准形为 \(J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \ldots, J_{k_s}(\lambda_s))\)，则：

\(A\) 可对角化当且仅当所有 Jordan 块的大小为 \(1\)（即 \(k_i = 1\)）；
特征值 \(\lambda\) 的几何重数等于对应于 \(\lambda\) 的 Jordan 块的个数；
特征值 \(\lambda\) 的代数重数等于对应于 \(\lambda\) 的所有 Jordan 块大小之和；
\(\det(A) = \prod_{i=1}^s \lambda_i^{k_i}\)，\(\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^s k_i \lambda_i\)。

证明

(1) \(A\) 可对角化 \(\Leftrightarrow\) 对每个特征值，几何重数 = 代数重数 \(\Leftrightarrow\) 每个 Jordan 块都是 \(1 \times 1\) 的。

(2) 特征值 \(\lambda\) 对应的 Jordan 块为 \(J_{k_1}(\lambda), \ldots, J_{k_t}(\lambda)\)。每个 \(J_{k_i}(\lambda)\) 的特征空间维数为 1，因此总几何重数为 \(t\)（块的个数）。

(3) 各 Jordan 块 \(J_{k_i}(\lambda)\) 贡献代数重数 \(k_i\)，总代数重数为 \(\sum k_i\)。

(4) 相似变换不改变行列式和迹。\(\det(J) = \prod \det(J_{k_i}(\lambda_i)) = \prod \lambda_i^{k_i}\)。\(\operatorname{tr}(J) = \sum k_i\lambda_i\)。\(\blacksquare\)

例 12.5

一个 \(5 \times 5\) 矩阵 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1 = 2\)（代数重数 3，几何重数 2）和 \(\lambda_2 = -1\)（代数重数 2，几何重数 1）。确定 \(A\) 的 Jordan 标准形。

解：

对 \(\lambda_1 = 2\)：代数重数 3，几何重数 2，因此有 2 个 Jordan 块，大小之和为 3。可能为 \((2,1)\)（一个 \(2\times 2\) 块和一个 \(1\times 1\) 块）。

对 \(\lambda_2 = -1\)：代数重数 2，几何重数 1，因此有 1 个 Jordan 块，大小为 2。

Jordan 标准形为

\[ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & & & \\ 0 & 2 & & & \\ & & 2 & & \\ & & & -1 & 1 \\ & & & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

12.6 最小多项式¶

\(m_A(\lambda) = \prod(\lambda - \lambda_i)^{d_i}\)，\(d_i\) = 最大 Jordan 块大小 → 可对角化 ↔ \(m_A\) 无重根 → 直连 Ch13 矩阵函数的定义条件

最小多项式（minimal polynomial）与 Jordan 标准形有着密切联系。

定义 12.8 (最小多项式 Minimal Polynomial)

矩阵 \(A\) 的最小多项式 \(m_A(\lambda)\) 是满足 \(m_A(A) = 0\) 的次数最低的首一多项式。

定理 12.10 (Cayley-Hamilton 定理与最小多项式)

设 \(A\) 的特征多项式为 \(p_A(\lambda)\)，最小多项式为 \(m_A(\lambda)\)，则：

\(m_A(\lambda)\) 整除 \(p_A(\lambda)\)；
\(m_A(\lambda)\) 与 \(p_A(\lambda)\) 有相同的根（即相同的特征值集合）；
\(A\) 可对角化当且仅当 \(m_A(\lambda)\) 无重根。

证明

(1) 由 Cayley-Hamilton 定理，\(p_A(A) = 0\)。由最小多项式的定义，\(m_A\) 是使 \(m_A(A) = 0\) 的最低次首一多项式。用多项式除法 \(p_A = q \cdot m_A + r\)，则 \(r(A) = p_A(A) - q(A)m_A(A) = 0\)。若 \(r \neq 0\)，则 \(\deg r < \deg m_A\)，矛盾。故 \(r = 0\)，\(m_A | p_A\)。

(2) 设 \(\lambda_0\) 是 \(p_A\) 的根，\(\mathbf{v}\) 为对应特征向量。\(m_A(A)\mathbf{v} = m_A(\lambda_0)\mathbf{v} = \mathbf{0}\)。因为 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)，所以 \(m_A(\lambda_0) = 0\)。反向由 (1) 显然。

(3) \(A\) 可对角化 \(\Leftrightarrow\) 所有 Jordan 块为 \(1 \times 1\) \(\Leftrightarrow\) \(m_A(\lambda) = \prod(\lambda - \lambda_i)\)（无重根）。

详细来说，\(m_A(\lambda) = \prod_{i=1}^s (\lambda - \lambda_i)^{d_i}\)，其中 \(d_i\) 是 \(\lambda_i\) 对应的最大 Jordan 块的大小。\(A\) 可对角化 \(\Leftrightarrow\) 所有 \(d_i = 1\) \(\Leftrightarrow\) \(m_A\) 无重根。\(\blacksquare\)

定理 12.11 (最小多项式与 Jordan 形的关系)

设 \(A\) 的 Jordan 标准形中，特征值 \(\lambda_i\) 对应的最大 Jordan 块大小为 \(d_i\)，则

\[ m_A(\lambda) = \prod_{i=1}^{s} (\lambda - \lambda_i)^{d_i}. \]

证明

设 \(q(\lambda) = \prod_{i=1}^s (\lambda - \lambda_i)^{d_i}\)。需证 \(q(A) = 0\) 且 \(q\) 是满足此条件的最低次首一多项式。

\(q(J) = \operatorname{diag}(q(J_{k_1}(\lambda_1)), \ldots)\)。对每个 Jordan 块 \(J_k(\lambda_i)\)，\(q(J_k(\lambda_i))\) 包含因子 \((J_k(\lambda_i) - \lambda_i I)^{d_i} = N_k^{d_i}\)。由于 \(k \le d_i\)（\(d_i\) 是最大块大小），\(N_k^{d_i} = 0\)，故 \(q(J_k(\lambda_i)) = 0\)。因此 \(q(J) = 0\)，\(q(A) = Pq(J)P^{-1} = 0\)。

若 \(\deg q\) 可以更低，则存在某个 \(\lambda_i\) 使得 \((lambda-\lambda_i)\) 的幂次小于 \(d_i\)，但这会导致最大 Jordan 块 \(J_{d_i}(\lambda_i)\) 不被零化，矛盾。\(\blacksquare\)

例 12.6

设 \(A = \begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}\)，求其最小多项式。

解： \(A\) 已经是 Jordan 形：\(J_2(3) \oplus J_1(5)\)。

特征值 \(\lambda_1 = 3\)（最大块大小 2），\(\lambda_2 = 5\)（最大块大小 1）。

最小多项式：\(m_A(\lambda) = (\lambda - 3)^2(\lambda - 5)\)。

验证：\(p_A(\lambda) = (\lambda-3)^2(\lambda-5)\)。此处最小多项式等于特征多项式。

12.7 Jordan 标准形的计算¶

算法：特征多项式 → 逐步计算 \(\dim\ker(A-\lambda I)^j\) 确定块结构 → 构造 Jordan 链得过渡矩阵 \(P\)

本节通过系统方法和详细例题展示如何计算 Jordan 标准形和过渡矩阵。

定义 12.9 (Jordan 链 Jordan Chain)

设 \(\lambda\) 为 \(A\) 的特征值。如果向量序列 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) 满足

\[ (A - \lambda I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}, \quad (A - \lambda I)\mathbf{v}_j = \mathbf{v}_{j-1}, \quad j = 2, \ldots, k, \]

则称 \(\{\mathbf{v}_k, \mathbf{v}_{k-1}, \ldots, \mathbf{v}_1\}\) 为一条Jordan 链，长度为 \(k\)。其中 \(\mathbf{v}_1\) 是特征向量，\(\mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) 是广义特征向量。

定义 12.10 (Jordan 标准形的计算步骤)

给定 \(n \times n\) 矩阵 \(A\)，计算其 Jordan 标准形的系统方法：

求特征多项式，确定特征值 \(\lambda_i\) 及其代数重数 \(m_i\)；
对每个 \(\lambda_i\)，逐步计算 \(\ker(A-\lambda_i I)^j\)（\(j = 1, 2, \ldots\)）的维数，确定 Jordan 块结构；
大小为 \(k\) 的 Jordan 块个数 = \(\dim\ker(A-\lambda I)^k - 2\dim\ker(A-\lambda I)^{k-1} + \dim\ker(A-\lambda I)^{k-2}\)；
构造 Jordan 链以确定过渡矩阵 \(P\)。

例 12.7

求矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\) 的 Jordan 标准形。

解：

第一步： 特征多项式（可通过行列式展开或其他方法计算）：

\[ p_A(\lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda - 4)(\lambda - 3). \]

特征值：\(\lambda_1 = 1\)（代数重数 2），\(\lambda_2 = 4\)（代数重数 1），\(\lambda_3 = 3\)（代数重数 1）。

第二步： 对 \(\lambda_1 = 1\)：

\[ A - I = \begin{pmatrix} 4&4&2&1 \\ 0&0&-1&-1 \\ -1&-1&2&0 \\ 1&1&-1&1 \end{pmatrix}. \]

计算 \(\operatorname{rank}(A-I)\)。通过行化简可得 \(\operatorname{rank}(A-I) = 3\)，故 \(\dim\ker(A-I) = 1\)。

几何重数为 1 < 代数重数 2，因此有一个 \(2 \times 2\) Jordan 块 \(J_2(1)\)。

对 \(\lambda_2 = 4\) 和 \(\lambda_3 = 3\)：代数重数均为 1，因此各有一个 \(1 \times 1\) 块。

第三步： Jordan 标准形为

\[ J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & & \\ 0 & 1 & & \\ & & 4 & \\ & & & 3 \end{pmatrix}. \]

例 12.8

求矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 的 Jordan 标准形和过渡矩阵。

解： \(A\) 本身已经是 Jordan 形 \(J_2(2)\)。

特征值 \(\lambda = 2\)（代数重数 2，几何重数 1）。

\((A - 2I) = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(\ker(A-2I) = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}\)。

特征向量 \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)。广义特征向量 \(\mathbf{v}_2\) 满足 \((A-2I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1\)：

\[ \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}. \]

过渡矩阵 \(P = [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2] = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\)。

验证：\(P^{-1}AP = A = J_2(2)\)。

例 12.9

求矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 8 & -12 & 6 \end{pmatrix}\) 的 Jordan 标准形。

解：特征多项式为

\[ p_A(\lambda) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 12\lambda + 8 = -(\lambda - 2)^3. \]

唯一特征值 \(\lambda = 2\)，代数重数 3。

\[ A - 2I = \begin{pmatrix}-2&1&0\\0&-2&1\\8&-12&4\end{pmatrix}. \]

行化简得 \(\operatorname{rank}(A - 2I) = 2\)，\(\dim\ker(A-2I) = 1\)，几何重数为 1。

\((A-2I)^2\) 的秩：计算

\[ (A-2I)^2 = \begin{pmatrix}4&-4&1\\-8&8&-2\\-16&16&-4\end{pmatrix} + \cdots \]

实际计算得 \(\operatorname{rank}(A-2I)^2 = 1\)，\(\dim\ker(A-2I)^2 = 2\)。

\((A-2I)^3 = 0\)，\(\dim\ker(A-2I)^3 = 3\)。

大小为 3 的 Jordan 块个数 = \(3 - 2 \times 2 + 1 = 0\)...

重新使用公式：Jordan 块计数由递增序列 \(d_j = \dim\ker(A-\lambda I)^j\) 决定。\(d_0 = 0, d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 3\)。增量为 \(\Delta_1 = 1, \Delta_2 = 1, \Delta_3 = 1\)。

大小 \(\ge k\) 的块的个数 = \(\Delta_k\)。因此大小 \(\ge 1\) 的块有 1 个，大小 \(\ge 2\) 的块有 1 个，大小 \(\ge 3\) 的块有 1 个。故恰好有 1 个大小为 3 的 Jordan 块。

Jordan 标准形：\(J = J_3(2) = \begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\)。

12.8 Jordan 形的应用¶

\(A^n = PJ^nP^{-1}\)（矩阵幂）· \(e^{At} = Pe^{Jt}P^{-1}\)（微分方程）→ Jordan 形让所有矩阵函数变为对 Jordan 块的运算 → Ch13 的基础

12.8.1 矩阵幂的计算¶

定理 12.12 (利用 Jordan 形计算矩阵幂)

设 \(A = PJP^{-1}\)，则 \(A^n = PJ^nP^{-1}\)。而

\[ J^n = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1)^n, \ldots, J_{k_s}(\lambda_s)^n), \]

其中

\[ J_k(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \cdots & \binom{n}{k-1}\lambda^{n-k+1} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \cdots & \binom{n}{k-2}\lambda^{n-k+2} \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}. \]

证明

\(J_k(\lambda)^n = (\lambda I + N_k)^n = \sum_{j=0}^{k-1}\binom{n}{j}\lambda^{n-j}N_k^j\)。而 \(N_k^j\) 的 \((p,q)\) 元素为 \(\delta_{p+j,q}\)（第 \(j\) 条超对角线为 1）。因此 \(J_k(\lambda)^n\) 的 \((p,q)\) 元素为：

\[ [J_k(\lambda)^n]_{pq} = \begin{cases} \binom{n}{q-p}\lambda^{n-q+p} & \text{if } q \ge p, \\ 0 & \text{if } q < p. \end{cases} \]

其中约定 \(\binom{n}{j} = 0\) 当 \(j > n\) 或 \(j < 0\)。\(\blacksquare\)

例 12.10

设 \(A = \begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}\)，求 \(A^{100}\)。

解： \(A = J_2(3)\)，因此

\[ A^{100} = J_2(3)^{100} = \begin{pmatrix} 3^{100} & 100 \cdot 3^{99} \\ 0 & 3^{100} \end{pmatrix}. \]

12.8.2 微分方程组¶

定理 12.13 (Jordan 形与线性常微分方程组)

线性常系数微分方程组 \(\mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t)\) 的解为 \(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0)\)。利用 Jordan 分解 \(A = PJP^{-1}\)：

\[ e^{At} = Pe^{Jt}P^{-1} = P \operatorname{diag}(e^{J_{k_1}(\lambda_1)t}, \ldots, e^{J_{k_s}(\lambda_s)t}) P^{-1}, \]

其中

\[ e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!} \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & t \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

证明

\(e^{J_k(\lambda)t} = e^{(\lambda I + N_k)t} = e^{\lambda t I} e^{N_k t}\)（因为 \(\lambda I\) 和 \(N_k\) 可交换）。

\(e^{\lambda t I} = e^{\lambda t} I\)，\(e^{N_k t} = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{t^j}{j!} N_k^j\)（因为 \(N_k^k = 0\)）。

因此 \(e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t} \sum_{j=0}^{k-1} \frac{t^j}{j!} N_k^j\)，矩阵元素如上所述。\(\blacksquare\)

例 12.11

求微分方程组 \(\mathbf{x}' = \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\mathbf{x}\)，初始条件 \(\mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\) 的解。

解： \(A = J_2(2)\)，因此

\[ e^{At} = e^{2t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}. \]

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0) = e^{2t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} = e^{2t}\begin{pmatrix}1+3t\\3\end{pmatrix}. \]

即 \(x_1(t) = (1+3t)e^{2t}\)，\(x_2(t) = 3e^{2t}\)。

本章小结¶

本章系统介绍了 Jordan 标准形理论：

不变子空间提供了将线性变换分块研究的框架；
广义特征向量弥补了特征向量不足的问题，\(\dim G_\lambda\) 等于代数重数；
Jordan 块 \(J_k(\lambda) = \lambda I + N_k\) 是"几乎对角"的基本单元；
Jordan 标准形定理保证每个方阵（在复数域上）相似于唯一的 Jordan 矩阵；
最小多项式反映了最大 Jordan 块的大小，\(A\) 可对角化当且仅当最小多项式无重根；
应用包括高效计算矩阵幂 \(A^n\) 和求解线性常微分方程组。

Jordan 标准形是矩阵理论中最深刻的结果之一，为后续的矩阵函数理论奠定了基础。