第 13 章 矩阵函数

前置：Ch12 Jordan 标准形 · Ch10 谱分解

本章脉络：\(p(A)\)（多项式） → Cayley-Hamilton → 幂级数/收敛 → \(e^A\)（矩阵指数） → \(\log A\), \(A^{1/2}\) → 一般 \(f(A)\)（Jordan/Cauchy 积分）

延伸：矩阵指数 \(e^{tA}\) 是线性 ODE 系统 \(\dot{x} = Ax\) 的解算子，广泛用于控制工程和量子力学；矩阵对数在 Lie 群与 Lie 代数的联系（BCH 公式）中至关重要；矩阵函数理论是算子半群理论的有限维先导

在前面的章节中，我们已经熟悉了矩阵的加法、乘法和求逆等基本运算。本章将把函数的概念从标量推广到矩阵：给定一个函数 \(f\)（如指数函数、对数函数、平方根等），我们希望定义 \(f(A)\) 的含义。矩阵函数（matrix function）在微分方程、控制理论、量子力学等领域有着重要应用。本章从矩阵多项式出发，经由幂级数和 Jordan 标准形，逐步建立矩阵函数的完整理论。

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13.1 矩阵多项式

\(p(A) = a_k A^k + \cdots + a_0 I\)：最基础的矩阵函数 → 保相似性 \(p(PBP^{-1}) = Pp(B)P^{-1}\) → Cayley-Hamilton：\(p_A(A) = 0\)

矩阵多项式是定义矩阵函数的最基础方式，也是理解更一般矩阵函数的起点。

定义 13.1 (矩阵多项式 Matrix Polynomial)

设 \(p(\lambda) = a_k \lambda^k + a_{k-1}\lambda^{k-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0\) 为一个标量多项式，\(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵。定义矩阵多项式

\[ p(A) = a_k A^k + a_{k-1}A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I, \]

其中 \(A^0 = I\)（单位矩阵）。

定理 13.1 (矩阵多项式的基本性质)

设 \(p, q\) 为标量多项式，\(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵，则：

1. \((p + q)(A) = p(A) + q(A)\)；
2. \((pq)(A) = p(A)q(A)\)；
3. \(p(A)\) 与 \(q(A)\) 可交换：\(p(A)q(A) = q(A)p(A)\)；
4. 若 \(A = PBP^{-1}\)，则 \(p(A) = Pp(B)P^{-1}\)；
5. \(p(A)\) 的特征值为 \(p(\lambda_1), \ldots, p(\lambda_n)\)，其中 \(\lambda_i\) 为 \(A\) 的特征值。

证明

(1) 和 (2) 由矩阵乘法的分配律和结合律直接得出。

(3) 由 (2)，\(p(A)q(A) = (pq)(A) = (qp)(A) = q(A)p(A)\)（利用标量多项式乘法的交换性）。

(4) \(A^k = PB^kP^{-1}\)（数学归纳法易证），因此

\[ p(A) = \sum a_i A^i = \sum a_i PB^iP^{-1} = P\left(\sum a_i B^i\right)P^{-1} = Pp(B)P^{-1}. \]

(5) 设 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)，则 \(A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v}\)，因此 \(p(A)\mathbf{v} = p(\lambda)\mathbf{v}\)。即 \(p(\lambda)\) 为 \(p(A)\) 的特征值。\(\blacksquare\)

洞察：Cayley-Hamilton 意味着 \(A^n\) 可表示为 \(I, A, \ldots, A^{n-1}\) 的线性组合——矩阵代数 \(\mathbb{F}[A]\) 的维数 \(\le n\)

定理 13.2 (Cayley-Hamilton 定理)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵，\(p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\) 为其特征多项式，则

\[ p_A(A) = 0. \]

即每个矩阵都满足自己的特征方程。

证明

设 \(p_A(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_0\)。

方法一（伴随矩阵法）： 设 \(B(\lambda) = \operatorname{adj}(\lambda I - A)\) 为 \(\lambda I - A\) 的伴随矩阵（adjugate），则

\[ (\lambda I - A)B(\lambda) = \det(\lambda I - A) \cdot I = p_A(\lambda) I. \]

\(B(\lambda)\) 的每个元素是 \(\lambda\) 的至多 \((n-1)\) 次多项式，因此可以写为

\[ B(\lambda) = B_{n-1}\lambda^{n-1} + B_{n-2}\lambda^{n-2} + \cdots + B_0, \]

其中 \(B_i\) 为常数矩阵。将 \((\lambda I - A)B(\lambda) = p_A(\lambda) I\) 展开并比较 \(\lambda\) 的各次幂系数，可得到一组矩阵等式。将第 \(k\) 个等式左乘 \(A^k\) 后全部相加，利用抵消可得 \(p_A(A) = 0\)。\(\blacksquare\)

例 13.1

验证 Cayley-Hamilton 定理对 \(A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) 成立。

解： 特征多项式：

\[ p_A(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 2. \]

计算 \(p_A(A) = A^2 - 5A - 2I\)：

\[ A^2 = \begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}, \quad 5A = \begin{pmatrix}5&10\\15&20\end{pmatrix}, \quad 2I = \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}. \]

\[ p_A(A) = \begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5&10\\15&20\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \quad \checkmark \]

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13.2 矩阵幂级数

\(f(A) = \sum c_k A^k\) 收敛 ↔ 谱半径 \(\rho(A) < R\)（收敛半径） → Neumann 级数 \((I-A)^{-1} = \sum A^k\)（\(\rho(A)<1\)）

将多项式推广到幂级数，需要引入矩阵级数的收敛性概念。

定义 13.2 (矩阵级数的收敛 Convergence of Matrix Series)

设 \(\{A_k\}\) 为 \(m \times n\) 矩阵序列。称 \(\sum_{k=0}^{\infty} A_k\) 收敛，若每个元素位置的标量级数都收敛，即对所有 \(1 \le i \le m\)、\(1 \le j \le n\)，\(\sum_{k=0}^{\infty} [A_k]_{ij}\) 收敛。此时定义

\[ \sum_{k=0}^{\infty} A_k = \left[\sum_{k=0}^{\infty} [A_k]_{ij}\right]_{m \times n}. \]

定义 13.3 (谱半径 Spectral Radius)

矩阵 \(A\) 的谱半径（spectral radius）定义为

\[ \rho(A) = \max\{|\lambda| : \lambda \text{ 为 } A \text{ 的特征值}\}. \]

定理 13.3 (矩阵幂级数的收敛判定)

设 \(f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k\) 为收敛半径为 \(R\) 的幂级数，\(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵。则矩阵幂级数

\[ f(A) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k A^k \]

收敛的充分条件是 \(\rho(A) < R\)。

证明

设 \(A = PJP^{-1}\)，其中 \(J\) 为 Jordan 标准形。则 \(A^k = PJ^kP^{-1}\)，故

\[ f(A) = P\left(\sum_{k=0}^{\infty} c_k J^k\right)P^{-1} = Pf(J)P^{-1}. \]

由于 \(J\) 为分块对角矩阵，\(f(J) = \operatorname{diag}(f(J_{n_1}(\lambda_1)), \ldots)\)。

对 Jordan 块 \(J_m(\lambda)\)，\(f(J_m(\lambda))\) 的 \((p,q)\) 元素（\(q \ge p\)）为

\[ \frac{f^{(q-p)}(\lambda)}{(q-p)!} = \sum_{k=q-p}^{\infty} c_k \binom{k}{q-p} \lambda^{k-q+p}. \]

当 \(|\lambda| < R\) 时，\(f\) 在 \(\lambda\) 处的各阶导数都收敛，因此上式收敛。\(\rho(A) < R\) 保证所有特征值 \(\lambda\) 满足 \(|\lambda| < R\)。\(\blacksquare\)

定理 13.4 (Neumann 级数)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵。若 \(\rho(A) < 1\)，则 \(I - A\) 可逆且

\[ (I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} A^k = I + A + A^2 + \cdots. \]

证明

这是 \(f(z) = \frac{1}{1-z} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k\)（收敛半径 \(R = 1\)）的矩阵版本。

由定理 13.3，当 \(\rho(A) < 1\) 时，\(\sum A^k\) 收敛。设 \(S_N = \sum_{k=0}^N A^k\)，则

\[ (I - A)S_N = I - A^{N+1}. \]

由 \(\rho(A) < 1\)，可证 \(A^{N+1} \to 0\)（逐元素），因此 \((I - A) \lim S_N = I\)，即 \((I-A)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} A^k\)。\(\blacksquare\)

例 13.2

设 \(A = \begin{pmatrix}0.5&0.1\\0&0.3\end{pmatrix}\)，计算 \((I-A)^{-1}\)。

解： \(A\) 的特征值为 \(0.5\) 和 \(0.3\)，\(\rho(A) = 0.5 < 1\)，因此 Neumann 级数收敛。

直接计算：

\[ I - A = \begin{pmatrix}0.5&-0.1\\0&0.7\end{pmatrix}, \quad (I-A)^{-1} = \begin{pmatrix}2&\frac{2}{7}\\0&\frac{10}{7}\end{pmatrix}. \]

验证（用 Neumann 级数前几项近似）：

\[ I + A + A^2 + A^3 + \cdots \approx \begin{pmatrix}2&0.2857\\0&1.4286\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}2&\frac{2}{7}\\0&\frac{10}{7}\end{pmatrix}. \quad \checkmark \]

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13.3 矩阵指数

\(e^A = \sum \frac{A^k}{k!}\) 对任意 \(A\) 收敛 → \(\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}\) → 但 \(e^{A+B} = e^Ae^B\) 仅当 \(AB = BA\)

矩阵指数（matrix exponential）是最重要的矩阵函数，在线性微分方程理论中起核心作用。

定义 13.4 (矩阵指数 Matrix Exponential)

对 \(n \times n\) 矩阵 \(A\)，矩阵指数定义为

\[ e^A = \exp(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots. \]

该级数对任意矩阵 \(A\) 都绝对收敛（因为 \(e^z\) 的收敛半径为 \(\infty\)）。

定理 13.5 (矩阵指数的基本性质)

设 \(A, B\) 为 \(n \times n\) 矩阵，则：

1. \(e^{0} = I\)；
2. \((e^A)^{-1} = e^{-A}\)，即 \(e^A\) 总是可逆的；
3. \(e^{(s+t)A} = e^{sA} e^{tA}\)，对任意标量 \(s, t\)；
4. 若 \(AB = BA\)，则 \(e^{A+B} = e^A e^B\)；
5. \(\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}\)；
6. \(e^{PAP^{-1}} = P e^A P^{-1}\)，对任意可逆矩阵 \(P\)。

证明

(1) \(e^0 = I + 0 + 0 + \cdots = I\)。

(2) 由 (4)（取 \(B = -A\)，显然 \(A\) 与 \(-A\) 可交换），\(e^A e^{-A} = e^{A+(-A)} = e^0 = I\)。

(3) \(sA\) 与 \(tA\) 可交换，由 (4) 得 \(e^{sA}e^{tA} = e^{sA+tA} = e^{(s+t)A}\)。

(4) 当 \(AB = BA\) 时，可用二项式定理：

\[ (A+B)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}A^j B^{k-j}. \]

因此

\[ e^{A+B} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(A+B)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^k \frac{A^j B^{k-j}}{j!(k-j)!} = \left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^j}{j!}\right)\left(\sum_{l=0}^{\infty}\frac{B^l}{l!}\right) = e^A e^B. \]

（Cauchy 乘积，绝对收敛保证重排合法。）

(5) 设 \(A\) 的 Jordan 标准形为 \(J\)，\(A = PJP^{-1}\)。则 \(e^A = Pe^JP^{-1}\)，\(\det(e^A) = \det(e^J)\)。\(e^J = \operatorname{diag}(e^{J_{k_i}(\lambda_i)})\)，而 \(\det(e^{J_k(\lambda)}) = (e^\lambda)^k = e^{k\lambda}\)。因此 \(\det(e^A) = e^{\sum k_i\lambda_i} = e^{\operatorname{tr}(A)}\)。

(6) \((PAP^{-1})^k = PA^kP^{-1}\)，代入级数即得。\(\blacksquare\)

注

注意： 当 \(AB \neq BA\) 时，一般 \(e^{A+B} \neq e^A e^B\)。这是矩阵指数与标量指数的一个重要区别。例如取 \(A = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\)，可以验证 \(e^{A+B} \neq e^A e^B\)。

例 13.3

计算 \(e^A\)，其中 \(A = \begin{pmatrix}0&-\theta\\\theta&0\end{pmatrix}\)。

解： 注意到

\[ A^2 = \begin{pmatrix}-\theta^2&0\\0&-\theta^2\end{pmatrix} = -\theta^2 I, \quad A^3 = -\theta^2 A, \quad A^4 = \theta^4 I, \ldots \]

一般地，\(A^{2k} = (-1)^k \theta^{2k} I\)，\(A^{2k+1} = (-1)^k \theta^{2k} A\)。

\[ e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!}\right) I + \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k+1)!}\right) \frac{A}{\theta} \]

\[ = \cos\theta \cdot I + \frac{\sin\theta}{\theta} \cdot A = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}. \]

这正是旋转矩阵！\(A\) 是反对称矩阵，\(e^A\) 是正交矩阵。

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13.4 矩阵指数的计算

三条路线：对角化 \(e^A = Pe^{\Lambda}P^{-1}\)

Jordan 形 \(e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t}\sum \frac{t^j}{j!}N^j\)

Cayley-Hamilton 法用特征值条件定系数

矩阵指数的计算是应用中的核心问题。本节介绍几种主要方法。

13.4.1 对角矩阵

定理 13.6 (对角矩阵的指数)

若 \(A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)，则

\[ e^A = \operatorname{diag}(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n}). \]

更一般地，若 \(A = P\operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)P^{-1}\)（\(A\) 可对角化），则

\[ e^A = P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n})P^{-1}. \]

证明

\(A^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)\)，因此

\[ e^A = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!} = \operatorname{diag}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda_1^k}{k!}, \ldots, \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda_n^k}{k!}\right) = \operatorname{diag}(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n}). \qquad \blacksquare \]

例 13.4

计算 \(e^{At}\)，其中 \(A = \begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix}\)。

解： \(A\) 是对角矩阵，因此

\[ e^{At} = \begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-2t}\end{pmatrix}. \]

13.4.2 Jordan 块

定理 13.7 (Jordan 块的指数)

对 Jordan 块 \(J_k(\lambda)\)，

\[ e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!} \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & t \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

证明

\(J_k(\lambda)t = \lambda t I + N_k t\)，其中 \(\lambda t I\) 和 \(N_k t\) 可交换。因此

\[ e^{J_k(\lambda)t} = e^{\lambda t I}e^{N_k t} = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(N_k t)^j}{j!} = e^{\lambda t}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{t^j}{j!}N_k^j. \]

而 \(N_k^j\) 是第 \(j\) 条超对角线全为 1 的矩阵，代入即得结论。\(\blacksquare\)

例 13.5

计算 \(e^{At}\)，其中 \(A = \begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix} = J_3(3)\)。

解： 由定理 13.7，

\[ e^{At} = e^{3t}\begin{pmatrix}1&t&\frac{t^2}{2}\\0&1&t\\0&0&1\end{pmatrix}. \]

13.4.3 Cayley-Hamilton 方法

定义 13.5 (Cayley-Hamilton 方法计算矩阵函数)

由 Cayley-Hamilton 定理，\(A^n\) 可以表示为 \(I, A, \ldots, A^{n-1}\) 的线性组合。因此任意矩阵函数 \(f(A)\) 可以表示为

\[ f(A) = \alpha_0 I + \alpha_1 A + \cdots + \alpha_{n-1} A^{n-1}, \]

其中系数 \(\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}\) 由以下条件确定：对 \(A\) 的每个特征值 \(\lambda_i\)（代数重数 \(m_i\)），

\[ f^{(j)}(\lambda_i) = \alpha_0^{(j)} + \alpha_1 \cdot j! + \cdots \quad (j = 0, 1, \ldots, m_i - 1), \]

即 \(\alpha\) 多项式在 \(\lambda_i\) 处的函数值及导数值与 \(f\) 的一致。

例 13.6

用 Cayley-Hamilton 方法计算 \(e^{At}\)，其中 \(A = \begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\)。

解： 特征值 \(\lambda = 2\)（代数重数 2）。\(n = 2\)，设

\[ e^{At} = \alpha_0(t) I + \alpha_1(t) A. \]

由条件 \(f(\lambda) = e^{\lambda t}\) 在 \(\lambda = 2\) 处匹配到一阶导数：

• \(f(2) = e^{2t}\)：\(\alpha_0 + 2\alpha_1 = e^{2t}\)；
• \(f'(2) = te^{2t}\)：\(\alpha_1 = te^{2t}\)。

解得 \(\alpha_1 = te^{2t}\)，\(\alpha_0 = e^{2t} - 2te^{2t}\)。

\[ e^{At} = (e^{2t} - 2te^{2t})I + te^{2t}A = e^{2t}\begin{pmatrix}1-2t&0\\0&1-2t\end{pmatrix} + te^{2t}\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix} \]

\[ = e^{2t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}. \]

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13.5 矩阵指数与微分方程

\(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\) → \(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0\)（唯一解） → 非齐次用常数变易法 → Jordan 形决定解的渐近行为（\(e^{\lambda t}\) × 多项式）

矩阵指数的最重要应用是求解线性常系数微分方程组。

洞察：唯一性证明的巧妙之处——令 \(\mathbf{z}(t) = e^{-At}\mathbf{y}(t)\)，利用 \(\mathbf{z}'=0\) 即得 \(\mathbf{y} = e^{At}\mathbf{x}_0\)

定理 13.8 (齐次线性微分方程组的解)

微分方程组

\[ \mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, \]

的唯一解为

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0. \]

证明

存在性： 令 \(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0\)。则

\[ \mathbf{x}'(t) = \frac{d}{dt}e^{At}\mathbf{x}_0 = Ae^{At}\mathbf{x}_0 = A\mathbf{x}(t), \]

其中 \(\frac{d}{dt}e^{At} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{kA^k t^{k-1}}{k!} = A\sum_{k=1}^{\infty}\frac{A^{k-1}t^{k-1}}{(k-1)!} = Ae^{At}\)。

且 \(\mathbf{x}(0) = e^{0}\mathbf{x}_0 = \mathbf{x}_0\)。

唯一性： 设 \(\mathbf{y}(t)\) 也是解。令 \(\mathbf{z}(t) = e^{-At}\mathbf{y}(t)\)，则

\[ \mathbf{z}'(t) = -Ae^{-At}\mathbf{y}(t) + e^{-At}\mathbf{y}'(t) = -Ae^{-At}\mathbf{y}(t) + e^{-At}A\mathbf{y}(t) = 0. \]

因此 \(\mathbf{z}(t) = \mathbf{z}(0) = \mathbf{x}_0\)，即 \(\mathbf{y}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0\)。\(\blacksquare\)

定理 13.9 (非齐次线性微分方程组)

微分方程组

\[ \mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t) + \mathbf{f}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, \]

的解为（常数变易法 / variation of parameters）

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{f}(s)\,ds. \]

证明

令 \(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{c}(t)\)（常数变易法），代入方程得

\[ Ae^{At}\mathbf{c}(t) + e^{At}\mathbf{c}'(t) = Ae^{At}\mathbf{c}(t) + \mathbf{f}(t). \]

化简得 \(e^{At}\mathbf{c}'(t) = \mathbf{f}(t)\)，即 \(\mathbf{c}'(t) = e^{-At}\mathbf{f}(t)\)。积分得

\[ \mathbf{c}(t) = \mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{-As}\mathbf{f}(s)\,ds. \]

因此 \(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{f}(s)\,ds\)。\(\blacksquare\)

例 13.7

求微分方程组

\[ \begin{cases} x_1' = 3x_1 + x_2, \\ x_2' = -x_1 + x_2, \end{cases} \quad \mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \]

的解。

解： \(A = \begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}\)。特征值：\(\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0\)，\(\lambda = 2\)（重根）。

\(A - 2I = \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\)，\(\operatorname{rank} = 1\)，几何重数 = 1。

Jordan 形 \(J = J_2(2)\)。特征向量 \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)，广义特征向量 \((A-2I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1\)：

\[ \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}. \]

\(P = \begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}\)，\(P^{-1} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}\)。

\[ e^{At} = Pe^{Jt}P^{-1} = \begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}e^{2t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix} \]

\[ = e^{2t}\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t&-1+t\\1&1\end{pmatrix} = e^{2t}\begin{pmatrix}1+t&t\\-t&1-t\end{pmatrix}. \]

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0) = e^{2t}\begin{pmatrix}1+t\\-t\end{pmatrix}. \]

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13.6 矩阵对数

\(e^X = A\) 的逆问题 → 可逆矩阵必有对数 → 对 Jordan 块 \(\log J_k(\lambda) = (\log\lambda)I + \sum \frac{(-1)^{j+1}}{j}(\lambda^{-1}N)^j\)（有限和）

矩阵对数（matrix logarithm）是矩阵指数的逆运算。

定义 13.6 (矩阵对数 Matrix Logarithm)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 可逆矩阵。若存在矩阵 \(X\) 使得 \(e^X = A\)，则称 \(X\) 为 \(A\) 的矩阵对数，记为 \(X = \log A\) 或 \(X = \ln A\)。

定理 13.10 (矩阵对数的存在性)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 可逆复数矩阵，则 \(A\) 的矩阵对数存在。即存在矩阵 \(X\) 使得 \(e^X = A\)。

更精确地，若 \(A\) 没有负实数特征值，则存在唯一的矩阵对数 \(X\)，使得 \(X\) 的所有特征值的虚部都在 \((-\pi, \pi)\) 内。此 \(X\) 称为 \(A\) 的主对数（principal logarithm）。

证明

存在性（构造性证明）：

设 \(A = PJP^{-1}\)，\(J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \ldots, J_{k_s}(\lambda_s))\)。只需对每个 Jordan 块定义对数。

对 \(J_k(\lambda)\)（\(\lambda \neq 0\)），写

\[ J_k(\lambda) = \lambda(I + \lambda^{-1}N_k) = \lambda(I + M), \]

其中 \(M = \lambda^{-1}N_k\) 是幂零矩阵。取

\[ \log J_k(\lambda) = (\log\lambda) I + \log(I + M) = (\log\lambda)I + \sum_{j=1}^{k-1}\frac{(-1)^{j+1}}{j}M^j. \]

级数是有限的（因为 \(M\) 幂零），且 \(e^{\log J_k(\lambda)} = J_k(\lambda)\)。

令 \(\log A = P \operatorname{diag}(\log J_{k_1}(\lambda_1), \ldots) P^{-1}\)。\(\blacksquare\)

例 13.8

求 \(\log A\)，其中 \(A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = J_2(1)\)。

解： \(A = I + N\)，其中 \(N = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)。

\[ \log A = \log(I + N) = N - \frac{N^2}{2} + \frac{N^3}{3} - \cdots = N = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}. \]

（因为 \(N^2 = 0\)，级数只有一项。）

验证：\(e^N = I + N + \frac{N^2}{2!} + \cdots = I + N = A\)。 \(\checkmark\)

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13.7 矩阵平方根

\(X^2 = A\) → 正定矩阵有唯一正定平方根 \(A^{1/2} = Q\Lambda^{1/2}Q^T\) → 也可通过 \(e^{\frac{1}{2}\log A}\) 定义 → 出现在 Ch10 极分解 \(P = (A^HA)^{1/2}\)

定义 13.7 (矩阵平方根 Matrix Square Root)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 矩阵。若存在矩阵 \(X\) 使得 \(X^2 = A\)，则称 \(X\) 为 \(A\) 的矩阵平方根，记为 \(X = A^{1/2}\)。

定理 13.11 (正定矩阵的唯一正定平方根)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 实对称正定矩阵。则存在唯一的实对称正定矩阵 \(B\) 使得 \(B^2 = A\)。\(B\) 称为 \(A\) 的正定平方根。

证明

存在性： \(A\) 是实对称正定矩阵，由谱定理，\(A = Q\Lambda Q^T\)，其中 \(Q\) 是正交矩阵，\(\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)，\(\lambda_i > 0\)。

令 \(B = Q\Lambda^{1/2}Q^T\)，其中 \(\Lambda^{1/2} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})\)。则

\[ B^2 = Q\Lambda^{1/2}Q^T Q\Lambda^{1/2}Q^T = Q\Lambda Q^T = A. \]

\(B\) 是对称的：\(B^T = (Q\Lambda^{1/2}Q^T)^T = Q\Lambda^{1/2}Q^T = B\)。\(B\) 的特征值为 \(\sqrt{\lambda_i} > 0\)，因此 \(B\) 正定。

唯一性： 设 \(C\) 也是对称正定矩阵且 \(C^2 = A\)。由 \(C\) 对称正定，设 \(C = R\Gamma R^T\)，\(\Gamma = \operatorname{diag}(\gamma_1, \ldots, \gamma_n)\)，\(\gamma_i > 0\)。则 \(A = C^2 = R\Gamma^2 R^T\)。

由 \(A\) 的谱分解的唯一性（特征值确定后特征空间确定），\(\Gamma^2 = \Lambda\)（特征值重新排列后）。因为 \(\gamma_i > 0\)，\(\gamma_i = \sqrt{\lambda_i}\)，故 \(C = B\)。\(\blacksquare\)

定义 13.8 (半正定矩阵的平方根)

对实对称半正定矩阵 \(A\)（特征值 \(\lambda_i \ge 0\)），正定平方根的构造推广为：\(A^{1/2} = Q\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})Q^T\)。此时 \(A^{1/2}\) 是半正定的（唯一的半正定平方根）。

定理 13.12 (可逆矩阵平方根的存在性)

设 \(A\) 为 \(n \times n\) 可逆复数矩阵，且 \(A\) 没有负实数特征值。则 \(A\) 存在唯一的平方根 \(A^{1/2}\)，使得 \(A^{1/2}\) 的所有特征值具有正实部。

证明

利用主对数：令 \(A^{1/2} = e^{\frac{1}{2}\log A}\)，其中 \(\log A\) 为主对数。则

\[ (A^{1/2})^2 = e^{\frac{1}{2}\log A} e^{\frac{1}{2}\log A} = e^{\log A} = A. \]

\(A^{1/2}\) 的特征值为 \(e^{\frac{1}{2}\log\lambda_i}\)，其中 \(\log\lambda_i\) 的虚部在 \((-\pi, \pi)\) 内，因此 \(\frac{1}{2}\log\lambda_i\) 的虚部在 \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) 内，\(e^{\frac{1}{2}\log\lambda_i}\) 的实部为正。唯一性可由此条件推出。\(\blacksquare\)

例 13.9

求 \(A = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) 的正定平方根。

解： 特征值 \(\lambda_1 = 3\)，\(\lambda_2 = 1\)。正交特征向量：\(\mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)。

\[ A^{1/2} = Q\begin{pmatrix}\sqrt{3}&0\\0&1\end{pmatrix}Q^T = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{3}&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \]

\[ = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3}+1&\sqrt{3}-1\\\sqrt{3}-1&\sqrt{3}+1\end{pmatrix}. \]

验证：\((A^{1/2})^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}\sqrt{3}+1&\sqrt{3}-1\\\sqrt{3}-1&\sqrt{3}+1\end{pmatrix}^2\)。

计算对角元：\(\frac{1}{4}[(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2] = \frac{1}{4}(4+2\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}) = \frac{8}{4} = 2\)。

计算非对角元：\(\frac{1}{4}[(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)] = \frac{1}{4}(2 \times 2) = 1\)。

因此 \((A^{1/2})^2 = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} = A\)。\(\checkmark\)

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13.8 一般矩阵函数

统一框架：\(f(J_k(\lambda))\) 的 \((p,q)\) 元素 = \(\frac{f^{(q-p)}(\lambda)}{(q-p)!}\) → Cauchy 积分定义 \(f(A) = \frac{1}{2\pi i}\oint f(z)(zI-A)^{-1}dz\) 与之等价 → 谱映射 \(\sigma(f(A)) = f(\sigma(A))\)

前面几节讨论了特定的矩阵函数（指数、对数、平方根）。本节给出矩阵函数的一般定义框架。

13.8.1 通过 Jordan 标准形定义

洞察：\(f(J_k(\lambda))\) 中出现 \(f, f', f'', \ldots, f^{(k-1)}\) ——Jordan 块的大小决定了 \(f\) 需要多少阶可微性

定义 13.9 (一般矩阵函数 — Jordan 形定义)

设 \(f\) 为定义在 \(A\) 的谱上的函数，\(A = PJP^{-1}\)，\(J = \operatorname{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \ldots, J_{k_s}(\lambda_s))\)。定义

\[ f(A) = P f(J) P^{-1} = P \operatorname{diag}(f(J_{k_1}(\lambda_1)), \ldots, f(J_{k_s}(\lambda_s))) P^{-1}, \]

其中对每个 Jordan 块

\[ f(J_k(\lambda)) = \begin{pmatrix} f(\lambda) & f'(\lambda) & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \cdots & \frac{f^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} \\ 0 & f(\lambda) & f'(\lambda) & \cdots & \frac{f^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & f(\lambda) & f'(\lambda) \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & f(\lambda) \end{pmatrix}. \]

要求 \(f\) 在每个特征值 \(\lambda_i\) 处至少 \(k_i - 1\) 次可微。

定理 13.13 (Jordan 形定义的合理性)

定义 13.9 中的 \(f(A)\) 不依赖于 Jordan 分解的选取（即不依赖 \(P\) 的选取），因此 \(f(A)\) 是良定义的。

证明

设 \(A = P_1 J P_1^{-1} = P_2 J P_2^{-1}\)（同一个 Jordan 形 \(J\)，但不同的过渡矩阵）。则 \(P_2^{-1}P_1\) 与 \(J\) 可交换，即 \(P_2^{-1}P_1 J = J P_2^{-1}P_1\)。

由于 \(f(J)\) 是 \(J\) 的多项式的极限（当 \(f\) 是解析函数时），\(P_2^{-1}P_1\) 也与 \(f(J)\) 可交换。因此

\[ P_1 f(J) P_1^{-1} = P_2 (P_2^{-1}P_1) f(J) (P_2^{-1}P_1)^{-1} P_2^{-1} = P_2 f(J) P_2^{-1}. \qquad \blacksquare \]

例 13.10

计算 \(\sin(A)\)，其中 \(A = \begin{pmatrix}0&\pi\\0&0\end{pmatrix}\)。

解： \(A = J_2(0)\)，\(\lambda = 0\)，\(k = 2\)。

\(f(\lambda) = \sin(\lambda)\)。\(f(0) = 0\)，\(f'(0) = \cos(0) = 1\)。

\[ \sin(A) = f(J_2(0)) = \begin{pmatrix}f(0)&f'(0)\\0&f(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}. \]

注意这不是逐元素的 \(\sin\)！\(\sin\begin{pmatrix}0&\pi\\0&0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}\sin 0&\sin\pi\\\sin 0&\sin 0\end{pmatrix}\)。

13.8.2 Cauchy 积分定义

定义 13.10 (矩阵函数 — Cauchy 积分定义)

设 \(f\) 在包含 \(A\) 的所有特征值的开集 \(\Omega\) 上解析，\(\Gamma\) 为 \(\Omega\) 中包围所有特征值的简单闭曲线。定义

\[ f(A) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(z)(zI - A)^{-1}\,dz. \]

定理 13.14 (Cauchy 积分定义与 Jordan 形定义的等价性)

当 \(f\) 在 \(A\) 的谱的某个开邻域上解析时，定义 13.9 和定义 13.10 给出的 \(f(A)\) 相同。

证明

设 \(A = PJP^{-1}\)，\((zI - A)^{-1} = P(zI - J)^{-1}P^{-1}\)。因此

\[ \frac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma f(z)(zI-A)^{-1}dz = P\left(\frac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma f(z)(zI-J)^{-1}dz\right)P^{-1}. \]

对 Jordan 块 \(J_k(\lambda)\)，\((zI - J_k(\lambda))^{-1}\) 的 \((p,q)\) 元素（\(q \ge p\)）为 \(\frac{1}{(z-\lambda)^{q-p+1}}\)。由 Cauchy 积分公式：

\[ \frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{(z-\lambda)^{q-p+1}}dz = \frac{f^{(q-p)}(\lambda)}{(q-p)!}. \]

这正是定义 13.9 中 \(f(J_k(\lambda))\) 的 \((p,q)\) 元素。\(\blacksquare\)

定理 13.15 (矩阵函数的谱映射定理)

设 \(f\) 为矩阵 \(A\) 的谱上的解析函数，则

\[ \sigma(f(A)) = f(\sigma(A)) = \{f(\lambda) : \lambda \in \sigma(A)\}, \]

即 \(f(A)\) 的特征值恰好是 \(A\) 的特征值经 \(f\) 映射后的值。

证明

设 \(A = PJP^{-1}\)，\(f(A) = Pf(J)P^{-1}\)。\(f(J)\) 的对角元素为 \(f(\lambda_i)\)（各 Jordan 块的对角元素），这些正是 \(f(A)\) 的特征值（相似变换保谱）。\(\blacksquare\)

例 13.11

设 \(A\) 的特征值为 \(1, 2, 3\)。求 \(e^A\) 的特征值和 \(\cos(A)\) 的特征值。

解： 由谱映射定理：

• \(e^A\) 的特征值为 \(e^1, e^2, e^3\)，即 \(e, e^2, e^3\)。
• \(\cos(A)\) 的特征值为 \(\cos 1, \cos 2, \cos 3\)。

例 13.12

设 \(A = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\)，计算 \(\sqrt{A}\)（取主平方根）。

解： \(A = J_1(1) \oplus J_2(2)\)。\(f(\lambda) = \sqrt{\lambda}\)，\(f'(\lambda) = \frac{1}{2\sqrt{\lambda}}\)。

\[ f(J_1(1)) = (1) = (\sqrt{1}) = (1). \]

\[ f(J_2(2)) = \begin{pmatrix} f(2) & f'(2) \\ 0 & f(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{4} \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}. \]

因此

\[ \sqrt{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{4} \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}. \]

验证：\((\sqrt{A})^2\) 的 \((2,3)\) 元素 = \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{2} = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 = A_{23}\)。\(\checkmark\)

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本章小结

本章系统介绍了矩阵函数理论，包括：

1. 矩阵多项式 \(p(A)\) 是最基础的矩阵函数，Cayley-Hamilton 定理是核心结果；
2. 矩阵幂级数的收敛由谱半径 \(\rho(A)\) 控制；
3. 矩阵指数 \(e^A\) 对任意矩阵都有定义，满足 \(\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}\)，但注意 \(e^{A+B} = e^A e^B\) 仅在 \(AB = BA\) 时成立；
4. 矩阵指数与微分方程：\(\mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t)\) 的解为 \(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0\)；
5. 矩阵对数在可逆矩阵上存在，正定矩阵有唯一的半正定对数；
6. 矩阵平方根：正定矩阵有唯一的正定平方根 \(A^{1/2} = Q\Lambda^{1/2}Q^T\)；
7. 一般矩阵函数可通过 Jordan 标准形或 Cauchy 积分定义，谱映射定理 \(\sigma(f(A)) = f(\sigma(A))\) 是重要性质。

矩阵函数理论将微积分与线性代数深度融合，是现代应用数学的重要工具箱。