第 13 章 矩阵函数¶
前置：Jordan 标准形 (Ch12) · 矩阵分析基础 (Ch14) · 微积分幂级数
本章脉络：从标量函数到矩阵函数 \(\to\) 矩阵函数的泰勒级数定义 \(\to\) 通过 Jordan 标准形的一般定义 \(\to\) Sylvester-Lagrange 插值计算法 \(\to\) 核心函数：矩阵指数 (\(e^A\)) 与对数 (\(\ln A\)) \(\to\) 矩阵指数的性质与运算律 \(\to\) 矩阵三角函数 \(\to\) 应用：线性常微分方程组 (ODE) 的解析解、量子演化算符、控制理论的状态转移矩阵
延伸：矩阵函数将算术代数提升到了解析代数的高度；它是连接离散矩阵结构与连续动力学演化的终极纽带，是描述一切随时间演化的线性系统的核心数学语言
矩阵函数（Matrix Functions）研究的是如何将经典的标量函数（如 \(e^x, \sin x, \ln x\)）作用于矩阵变量。这不仅仅是简单的逐元素运算，而是保持矩阵代数结构的算子运算。矩阵函数是处理时间演化、信号传播以及复杂系统响应的核心工具。本章将确立定义矩阵函数的三种等价路径，并深入探讨最重要的算子——矩阵指数。
13.1 定义方法：从级数到 Jordan 形¶
定义 13.1 (通过泰勒级数定义)
若标量函数 \(f(z)\) 的泰勒级数为 \(\sum_{k=0}^\infty c_k z^k\)，且其收敛半径大于矩阵 \(A\) 的所有特征值的模，则定义： $\(f(A) = \sum_{k=0}^\infty c_k A^k\)$
定义 13.2 (通过 Jordan 标准形定义)
若 \(A = P J P^{-1}\)，则 \(f(A) = P f(J) P^{-1}\)。 对于每个 Jordan 块 \(J_k(\lambda)\)，其函数值定义为由 \(f\) 及其导数构成的上三角阵： $\(f(J_k(\lambda)) = \begin{pmatrix} f(\lambda) & f'(\lambda) & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \cdots & \frac{f^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} \\ 0 & f(\lambda) & f'(\lambda) & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & f(\lambda) & f'(\lambda) \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & f(\lambda) \end{pmatrix}\)$
13.2 矩阵指数 \(e^A\)¶
定理 13.1 (矩阵指数的性质)
- 收敛性：对任何方阵 \(A\)，级数 \(\sum \frac{A^k}{k!}\) 始终绝对收敛。
- 微分性质：\(\frac{d}{dt} e^{At} = A e^{At}\)。
- 乘法性质：若 \(AB = BA\)，则 \(e^{A+B} = e^A e^B\)。
- 行列式关系：\(\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}\)（Jacobi 恒等式）。
13.3 计算技术：插值法¶
技术：Sylvester-Lagrange 插值
若 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_m\)，其在最小多项式中的重数为 \(n_1, \ldots, n_m\)。 存在一个次数小于 \(\sum n_i\) 的多项式 \(p(z)\)，使得 \(p(z)\) 及其导数在各特征值处与 \(f(z)\) 吻合。 则：\(f(A) = p(A)\)。 优点：不需要求解完整的 Jordan 分解，仅需特征值和矩阵幂。
练习题¶
1. [计算] 求 \(e^A\)，其中 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。
参考答案
步骤： 1. 观察矩阵性质：这是一个幂零阵，\(A^2 = O\)。 2. 利用幂级数定义：\(e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \cdots\)。 3. 代入：\(e^A = I + A + O = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。 结论：\(e^A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
2. [性质] 证明若 \(A\) 为对角阵 \(\operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_n)\)，则 \(f(A) = \operatorname{diag}(f(d_1), \ldots, f(d_n))\)。
参考答案
证明： 1. 利用级数定义：\(A^k = \operatorname{diag}(d_1^k, \ldots, d_n^k)\)。 2. \(f(A) = \sum c_k A^k = \sum c_k \operatorname{diag}(d_1^k, \ldots, d_n^k)\)。 3. 按分量合并：\(= \operatorname{diag}(\sum c_k d_1^k, \ldots, \sum c_k d_n^k)\)。 4. 每一项正好是 \(f(d_i)\) 的级数定义。 结论：对角阵的函数运算等价于对各分量分别求函数值。
3. [交换性] 证明：对于任何 \(f(A)\)，必有 \(A f(A) = f(A) A\)。
参考答案
证明： 1. 使用多项式/级数表示：\(f(A) = \sum c_k A^k\)。 2. \(A f(A) = A (\sum c_k A^k) = \sum c_k A^{k+1}\)。 3. \(f(A) A = (\sum c_k A^k) A = \sum c_k A^{k+1}\)。 结论：矩阵总是与其自身的函数值交换。这反映了算子与其自身生成的代数具有交换性。
4. [行列式] 若 \(\operatorname{tr}(A) = 0\)，求 \(\det(e^A)\)。
参考答案
定理应用： 利用公式 \(\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}\)。 计算： \(\det(e^A) = e^0 = 1\)。 物理应用：这说明如果系统演化的生成元是迹为零的（如旋转），则演化过程保持体积不变（行列式为 1）。
5. [对数] 若 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，求 \(\ln A\)。
参考答案
方法： 1. 令 \(A = I + N\)，其中 \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。 2. 利用级数：\(\ln(I+N) = N - \frac{N^2}{2} + \frac{N^3}{3} - \cdots\)。 3. 由于 \(N^2 = O\)，级数截断。 结论：\(\ln A = N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。
6. [插值法] 使用插值法求 \(f(A)\)，已知 \(A\) 的唯一特征值为 2，代数重数为 2。
参考答案
步骤： 1. 最小多项式为 \((z-2)^2\)。 2. 设插值多项式为 \(p(z) = a z + b\)。 3. 匹配条件：\(p(2) = f(2)\) 且 \(p'(2) = f'(2)\)。 4. 解方程：\(2a + b = f(2)\)，\(a = f'(2)\)。 5. 得 \(b = f(2) - 2f'(2)\)。 结论：\(f(A) = f'(2) A + [f(2) - 2f'(2)] I\)。
7. [ODE] 若系统满足 \(\mathbf{x}' = A\mathbf{x}\)，且 \(\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0\)，其解析解是什么？
参考答案
结论： \(\mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{x}_0\)。 理由：对该式求导 \(\frac{d}{dt}(e^{At} \mathbf{x}_0) = A e^{At} \mathbf{x}_0 = A \mathbf{x}(t)\)，且在 \(t=0\) 时，\(e^O = I\)，满足初始条件。
8. [幂运算] 证明 \((e^A)^k = e^{kA}\) 对任何整数 \(k\) 成立。
参考答案
证明： 由于 \(A\) 与 \(A\) 总是交换的，根据乘法律：\(e^A e^A = e^{A+A} = e^{2A}\)。利用数学归纳法推广到 \(k\)。对于负数，\(e^A e^{-A} = e^O = I\)，故 \(e^{-A} = (e^A)^{-1}\)。
9. [三角函数] 若 \(A^2 = -I\)，求 \(\cos A\)。
参考答案
级数展开： \(\cos A = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \cdots\)。 代入 \(A^2 = -I, A^4 = I \ldots\)： \(\cos A = I(1 - (-1)/2! + 1/4! - \cdots)\)。 这对应标量 \(\cos(i)\) 的展开？不，注意符号：\(= I(1 + 1/2! + 1/4! + \cdots) = I \cosh(1)\)。 结论：\(\cos A = (\cosh 1) I\)。
10. [应用] 为什么在数值计算中，大矩阵的 \(e^A\) 很难计算？
参考答案
难点分析： 1. 舍入误差：泰勒级数在项数较多时，正负项相互抵消会产生巨大的相对误差。 2. 缩放平方开销：常用算法是先缩小 \(A\)（使 \(\|A\|\) 小），计算 \(e^{A/2^k}\)，再通过 \(2^k\) 次平方。这虽然稳定，但大矩阵的连续乘法计算开销巨大。 3. 条件数：如果 \(A\) 接近亏损（非正规），计算过程极度敏感。
本章小结¶
矩阵函数是算子理论的解析延拓：
- 一致性原则：无论是通过级数、Jordan 形还是插值定义，只要函数在谱上解析，定义就是等价的，保证了逻辑的严密性。
- 指数核心：矩阵指数 \(e^A\) 是线性动力系统的 DNA，它将复杂的微分演化压缩为纯粹的代数算子作用。
- 计算的多样性：插值法提供了一种绕过 Jordan 分解计算函数值的捷径，揭示了矩阵性质完全由其在特征点处的局部解析行为决定。