第 13A 章 商空间与对偶空间¶
前置：向量空间 (Ch04) · 线性变换 (Ch05) · 内积空间 (Ch08)
本章脉络：从空间内部到外部映射 \(\to\) 商空间 \(V/W\) 定义 \(\to\) 陪集 (Cosets) 与线性运算 \(\to\) 商空间的维数公式 \(\to\) 诱导映射 (Induced Maps) \(\to\) 对偶空间 \(V^*\) \(\to\) 线性泛函 \(\to\) 对偶基 (Dual Bases) \(\to\) 零化子 (Annihilators) \(\to\) 转置映射与对偶算子 \(\to\) 双对偶空间与自然同构 \(\to\) 应用：张量分析初步、物理中的协变与逆变向量
延伸：商空间是处理子空间信息的“忽略”工具，是研究不变子空间降维的关键；对偶空间则是建立现代几何、物理（广义相对论）和泛函分析的必备语言
线性代数不仅研究空间内部的构造，还研究空间之间的“投影”与“映射”。商空间让我们能通过忽略特定的子空间来简化视野（如在研究波动的振幅时忽略相位）；而对偶空间则将映射本身视为向量，为测量、观测和张量计算提供了数学载体。
13A.1 商空间 \(V/W\)¶
定义 13A.1 (陪集与商空间)
设 \(W\) 是 \(V\) 的子空间。对于 \(v \in V\)，其关于 \(W\) 的陪集（Coset）定义为： $\(v + W = \{v + w : w \in W\}\)$ 所有陪集的集合构成商空间（Quotient Space），记作 \(V/W\)。 - 加法：\((u+W) + (v+W) = (u+v) + W\) - 数乘：\(c(v+W) = (cv) + W\)
定理 13A.1 (商空间的维数)
若 \(V\) 是有限维的，则有： $\(\dim(V/W) = \dim V - \dim W\)$ 这反映了商空间实质上是通过“减去”子空间的自由度得到的余维空间。
13A.2 对偶空间 \(V^*\)¶
定义 13A.2 (线性泛函与对偶空间)
从 \(V\) 到其标量域 \(F\) 的线性映射称为线性泛函（Linear Functional）。 所有线性泛函构成的向量空间称为 \(V\) 的对偶空间（Dual Space），记作 \(V^*\)。
定理 13A.2 (对偶基)
设 \(V\) 的基为 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\)。对应的对偶基 \(\{e^1, \ldots, e^n\} \subset V^*\) 定义为： $\(e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i \neq j \end{cases}\)$ 在有限维情况下，\(\dim V^* = \dim V\)。
13A.3 零化子 (Annihilators)¶
定义 13A.3 (零化子 \(W^0\))
子空间 \(W \subseteq V\) 的零化子是 \(V^*\) 中在 \(W\) 上恒取 0 的泛函集合： $\(W^0 = \{ f \in V^* : f(w) = 0, \forall w \in W \}\)$ 性质：\(\dim W^0 = \dim(V/W) = \dim V - \dim W\)。
练习题¶
1. [商空间] 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，若 \(W = \operatorname{span}\{e_1, e_2\}\)，描述 \(V/W\) 的几何意义。
参考答案
几何分析： 1. \(W\) 是 \(xy\) 平面。 2. 一个陪集 \(v+W\) 是将 \(xy\) 平面沿向量 \(v\) 平移得到的平行平面。 3. 但注意：所有落在同一条垂直于 \(xy\) 平面（即平行于 \(z\) 轴）的线上的向量，其差值必属于 \(W\)，因此它们对应同一个陪集。 结论：\(V/W\) 在几何上可以看作是 \(z\) 轴，或者更准确地说是所有平行于 \(xy\) 平面的平面的集合。其维数为 \(3-2=1\)。
2. [陪集判定] 证明若 \(u+W = v+W\)，则 \(u-v \in W\)。
参考答案
证明： 1. 由 \(u+W = v+W\) 知，\(u \in v+W\)（因为 \(u = u+0 \in u+W\)）。 2. 根据陪集的定义，这意味着存在某个 \(w \in W\)，使得 \(u = v + w\)。 3. 移项得：\(u - v = w\)。 4. 由于 \(w \in W\)，故 \(u - v \in W\)。 直观理解：两个向量处于同一个陪集，当且仅当它们的“差”落在了被忽略的子空间中。
3. [对偶基] 求 \(\mathbb{R}^2\) 中基 \(B = \{(1, 1), (1, 0)\}\) 的对偶基 \(\{f_1, f_2\}\)。
参考答案
计算步骤： 1. 设 \(f_1(x, y) = ax+by\)。 - \(f_1(1, 1) = a+b = 1\) - \(f_1(1, 0) = a = 0\) 解得 \(a=0, b=1\)。故 \(f_1(x, y) = y\)。 2. 设 \(f_2(x, y) = cx+dy\)。 - \(f_2(1, 1) = c+d = 0\) - \(f_2(1, 0) = c = 1\) 解得 \(c=1, d=-1\)。故 \(f_2(x, y) = x-y\)。 结论：对偶基为 \(\{y, x-y\}\)。
4. [零化子] 证明 \(W^0\) 是 \(V^*\) 的子空间。
参考答案
验证子空间公理： 1. 零元素：零泛函 \(\mathbf{0}(v)=0\) 显然在 \(W\) 上为 0，故 \(\mathbf{0} \in W^0\)。 2. 加法封闭：若 \(f, g \in W^0\)，则对任何 \(w \in W\)，\((f+g)(w) = f(w)+g(w) = 0+0=0\)，故 \(f+g \in W^0\)。 3. 数乘封闭：若 \(f \in W^0\)，则 \((cf)(w) = c(f(w)) = c(0)=0\)，故 \(cf \in W^0\)。 结论：零化子集合满足子空间的所有性质。
5. [转置] 线性映射 \(T: V \to U\) 的转置 \(T^*: U^* \to V^*\) 是如何定义的？
参考答案
定义方式： 对于任何泛函 \(g \in U^*\)，其在 \(T^*\) 下的像是 \(V^*\) 中的一个泛函，定义为： $\(T^*(g) = g \circ T\)$ 即对于 \(v \in V\)，有 \((T^*g)(v) = g(T(v))\)。 意义：这展示了对偶算子是如何将输出空间的观测“拉回”到输入空间的。
6. [维数] 证明 \(\dim(V/W) = \dim W^0\)。
参考答案
证明： 1. 已知 \(\dim(V/W) = \dim V - \dim W\)。 2. 已知 \(\dim W^0\) 是 \(V^*\) 中零化 \(W\) 的子空间维数。 3. 我们可以建立一个从 \(V^*\) 到 \(W^*\) 的限制映射，其核恰好是 \(W^0\)。 4. 根据秩-零化度定理，\(\dim V^* = \dim \operatorname{im} + \dim W^0\)。由于限制映射是满的，其像维数为 \(\dim W\)。 5. 故 \(\dim W^0 = \dim V - \dim W\)。 结论：两者相等。
7. [自然性] 为什么 \(V \cong V^*\) 不是自然的，而 \(V \cong V^{**}\) 是自然的？
参考答案
辨析： 1. \(V \to V^*\)：需要显式选择一组基来定义对应关系 \(e_i \to e^i\)。换一组基，映射就会改变。 2. \(V \to V^{**}\)：存在一个评估映射 \(\phi(v)(f) = f(v)\)。 3. 这个映射的定义中没有使用基。无论你如何变换坐标系，这个“向量作用于泛函”的关系保持不变。 结论：只有不依赖基选择的同构才被称为“自然同构”。
8. [泛函] 在 \(P_n\) 空间中，映射 \(f(p) = \int_0^1 p(x) dx\) 是否为线性泛函？
参考答案
判定： 1. 映射的结果是一个实数（标量）。 2. 积分满足线性：\(\int (ap+bq) = a\int p + b\int q\)。 结论：是的，它是多项式空间上的一个经典线性泛函。
9. [商映射] 定义自然投影 \(\pi: V \to V/W\)。其核是什么？
参考答案
定义： \(\pi(v) = v + W\)。 求核： \(\ker(\pi) = \{ v \in V : \pi(v) = 0_{V/W} \}\)。 商空间的零元素是 \(0 + W = W\)。 根据陪集相等条件，\(v + W = W \iff v \in W\)。 结论：自然投影的核恰好是被商掉的子空间 \(W\)。
10. [应用] 在物理中，协变向量（Covariant）通常对应哪个空间？
参考答案
结论： 协变向量对应于对偶空间 \(V^*\)（也称余向量）。 理由：协变分量在坐标变换下的改变方式与基向量相同（伴随基的改变），这正是线性泛函在基变换下的代数表现。而普通位置向量（逆变向量）则属于原空间 \(V\)。