第 20 章 矩阵方程¶
前置：Kronecker 积与 Vec 算子 (Ch19) · 矩阵分析 (Ch14) · 特征值 (Ch06)
本章脉络：从标量方程到矩阵变量方程 \(\to\) 基础线性方程 \(AX=B\) 与 \(AXB=C\) \(\to\) Sylvester 方程 (\(AX+XB=C\)) 的解的存在唯一性（谱分离条件） \(\to\) Lyapunov 方程 (\(AX+XA^T=Q\)) 与稳定性判定 \(\to\) 离散与连续情形的对比 \(\to\) 非线性矩阵方程：代数 Riccati 方程 (ARE) \(\to\) 计算技术：Bartels-Stewart 算法 \(\to\) 应用：最优控制 (LQR)、卡尔曼滤波、结构动力学模型简化
延伸：矩阵方程是现代控制理论与数值线性代数的纽带；它不仅解决了算子间的线性干涉问题，还通过 Riccati 方程确立了最优反馈增益的代数解析路径
当未知数本身是一个矩阵时，我们称其为矩阵方程。这类方程不仅是线性算子理论的自然延伸，更是动力系统平衡点分析、控制增益计算以及复杂数值模拟的直接产物。本章将从最简单的线性耦合方程出发，利用 Ch19 的向量化工具，逐步深入到控制理论中最核心的非线性 Riccati 方程。
20.1 线性矩阵方程及其向量化¶
定义 20.1 (基础线性矩阵方程)
- 左乘方程 \(AX = B\)：有解当且仅当 \(B\) 的每一列都属于 \(A\) 的列空间。
- 双边方程 \(AXB = C\)：可化为 \((B^T \otimes A) \operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(C)\)。其唯一可解性取决于 \(B^T \otimes A\) 是否非奇异。
20.2 Sylvester 与 Lyapunov 方程¶
定义 20.2 (Sylvester 方程)
形式为：\(AX + XB = C\)。 其中 \(A \in M_n, B \in M_m, C \in M_{n \times m}\)。
定理 20.1 (唯一可解性准则)
Sylvester 方程 \(AX + XB = C\) 对任何 \(C\) 都有唯一解，当且仅当 \(A\) 与 \(-B\) 无公共特征值： $\(\sigma(A) \cap \sigma(-B) = \emptyset\)$ 意义：这一谱分离条件保证了算子和 \(A \oplus B^T\) 是可逆的。
20.3 代数 Riccati 方程 (ARE)¶
定义 20.3 (连续时间 ARE)
$\(A^T X + XA - X B R^{-1} B^T X + Q = 0\)$ 这是一个二次非线性矩阵方程。 应用：求解线性二次调节器 (LQR) 问题的最优状态反馈增益。
练习题¶
1. [Sylvester] 判定 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} X + X \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = C\) 是否有唯一解。
参考答案
判定步骤： 1. 提取矩阵：\(A = I, B = I\)。 2. 计算谱：\(\sigma(A) = \{1\}, \sigma(-B) = \{-1\}\)。 3. 检查交集：\(\{1\} \cap \{-1\} = \emptyset\)。 结论：光谱分离条件满足，故方程对任何 \(C\) 都有唯一解。
2. [唯一性] 若 \(A\) 与 \(B\) 均是对角阵且具有公共特征值，Sylvester 方程一定无解吗？
参考答案
解析： 1. 不一定。 2. 若谱有重合，对应的向量化矩阵 \(M = I \otimes A + B^T \otimes I\) 是奇异的（有 0 特征值）。 3. 这意味着方程要么有无穷多解（若 \(\operatorname{vec}(C)\) 在 \(M\) 的列空间内），要么无解。 结论：仅能判定解不唯一，不能直接判定无解。
3. [Lyapunov] 为什么 Lyapunov 方程 \(AX + XA^T = Q\) 常用于稳定性分析？
参考答案
物理逻辑： 1. 解 \(X\) 构成了系统的广义能量函数 \(V(x) = x^T X x\)。 2. 对该函数求导得到 \(\dot{V} = x^T(AX + XA^T)x = x^T Q x\)。 3. 若能找到 \(X \succ 0\) 使得 \(\dot{V} < 0\)（即 \(Q \prec 0\)），则系统稳定。 代数映射：Lyapunov 方程将“微分方程的稳定性”转化为了“线性矩阵方程的正定性问题”。
4. [向量化] 将 \(AXB + CXD = F\) 转化为向量形式。
参考答案
步骤： 1. 对每一项应用向量化公式 \(\operatorname{vec}(MXN) = (N^T \otimes M) \operatorname{vec}(X)\)。 2. 第一项：\((B^T \otimes A) \operatorname{vec}(X)\)。 3. 第二项：\((D^T \otimes C) \operatorname{vec}(X)\)。 结论：\((B^T \otimes A + D^T \otimes C) \operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(F)\)。
5. [Riccati] 证明：若 \(X\) 是 Riccati 方程的解，则其转置 \(X^T\) 也是解（假设 \(Q, R\) 对称）。
参考答案
证明： 1. 对方程 \(A^T X + XA - XBR^{-1}B^T X + Q = 0\) 两边同时取转置。 2. \((A^T X)^T + (XA)^T - (XBR^{-1}B^T X)^T + Q^T = 0\)。 3. \(X^T A + A^T X^T - X^T B R^{-1} B^T X^T + Q = 0\)。 4. 观察发现，所得方程关于 \(X^T\) 的形式与原方程关于 \(X\) 的形式完全一致。 结论：\(X^T\) 满足相同的方程。
6. [计算] 求解 \((1)X + X(2) = (6)\)（标量情形）。
参考答案
计算： \(1 \cdot X + X \cdot 2 = 6 \implies 3X = 6 \implies X = 2\)。 这展示了矩阵方程在退化到 1 维时与普通线性方程的一致性。
7. [性质] 证明：若 \(A, B\) 是上三角阵，Sylvester 方程的解 \(X\) 也是上三角阵吗？
参考答案
结论：一般不成立。 理由：解 \(X\) 的结构不仅取决于 \(A, B\) 的结构，还极大地取决于常数项 \(C\) 的结构。如果 \(C\) 是全矩阵，即使 \(A, B\) 是对角阵，解 \(X\) 也通常是全矩阵。
8. [离散情形] 写出离散 Lyapunov 方程的形式。
参考答案
公式： $\(A X A^T - X = Q\)$ 或写为 \(A X A^T - X + Q = 0\)。它描述了差分方程 \(x_{k+1} = Ax_k\) 的稳定性。
9. [数值算法] 简述 Bartels-Stewart 算法求解 \(AX+XB=C\) 的核心思想。
参考答案
思想： 1. 利用 Schur 分解将 \(A\) 和 \(B\) 分别化为上三角阵和下三角阵。 2. 此时，方程在变换后的基下变成了“逐分量耦合”的形式。 3. 我们可以通过类似于回代的方法，从矩阵的一个角开始，逐个求出 \(X\) 的元素。 优点：复杂度为 \(O(n^3)\)，远低于直接向量化求解的 \(O(n^6)\)。
10. [应用] 在卡尔曼滤波中，预测步的协方差更新方程是一个矩阵方程吗？
参考答案
是的。 协方差更新方程 \(P_{k|k-1} = A P_{k-1|k-1} A^T + Q\) 本质上是一个矩阵线性映射。而求解稳态卡尔曼增益则需要解一个代数 Riccati 方程。
本章小结¶
矩阵方程是高级线性系统的代数语言：
- 解的耦合性：Sylvester 方程刻画了两个不同算子间的线性干涉，其谱分离条件揭示了系统共振与否的本质。
- 能量与稳定：Lyapunov 方程通过二次型矩阵建立了代数与解析稳定性的桥梁，是控制工程中反馈设计的基础。
- 最优性寻找：Riccati 方程展示了非线性结构如何自然地出现在变分和最优控制问题中，其求解标志着从线性系统分析到线性系统综合的跨越。