第 26 章线性代数在微分方程中的应用¶

前置：特征值与对角化(Ch6) · Jordan 标准形(Ch12) · 矩阵函数(Ch13)

脉络：$\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$(齐次系统) → $e^{At}$(矩阵指数) → 特征值实部(稳定性) → 相平面(几何分类) → 友矩阵(高阶化为系统) → 变参法(非齐次) → Sturm-Liouville(PDE) → Floquet(周期系统)

线性微分方程是线性代数最经典也最重要的应用领域之一。线性常微分方程组的解可以用矩阵指数 $e^{At}$ 完整描述，而系统的长期行为（稳定性、振荡、衰减）完全由系数矩阵 $A$ 的特征值决定。本章从一阶常系数线性系统出发，依次展开矩阵指数、稳定性分析、相平面分类、高阶方程、非齐次方程、偏微分方程中的特征值问题，以及周期系数系统的 Floquet 理论。

26.1 线性常微分方程组¶

核心结构：$\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ 的解空间是 $n$ 维线性空间 → 基本解矩阵 $\Phi(t)$ 的每一列是一个解 → $\Phi(t) = e^{At}$ 当 $\Phi(0) = I$

链接：Ch4 线性空间的维数定理在此直接体现

线性常微分方程组是动力系统、控制理论、物理学的基本模型。

定义 26.1 (线性常系数 ODE 系统)

设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为常数矩阵，线性常系数常微分方程组（linear constant-coefficient ODE system）为

\[ \mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, \]

其中 $\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n$ 为状态向量，$t \ge 0$。

定义 26.2 (基本解矩阵)

$n \times n$ 矩阵值函数 $\Phi(t)$ 称为方程 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ 的基本解矩阵（fundamental matrix），若

\[ \Phi'(t) = A\Phi(t), \quad \det \Phi(t) \neq 0, \quad \forall\, t. \]

若进一步 $\Phi(0) = I$，则称 $\Phi(t)$ 为主基本解矩阵（principal fundamental matrix）或状态转移矩阵。

定理 26.1 (解空间结构)

齐次方程 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ 的解集构成 $\mathbb{R}^n$ 上的 $n$ 维线性空间。若 $\Phi(t)$ 为任一基本解矩阵，则一般解为

\[ \mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c}, \quad \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n. \]

满足初始条件 $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ 的唯一解为 $\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\Phi(0)^{-1}\mathbf{x}_0$。

证明

线性性：若 $\mathbf{x}_1(t)$ 和 $\mathbf{x}_2(t)$ 是解，则 $\alpha \mathbf{x}_1(t) + \beta \mathbf{x}_2(t)$ 也是解，因为

\[ (\alpha \mathbf{x}_1 + \beta \mathbf{x}_2)' = \alpha A\mathbf{x}_1 + \beta A\mathbf{x}_2 = A(\alpha \mathbf{x}_1 + \beta \mathbf{x}_2). \]

维数为 $n$：ODE 存在唯一性定理保证对每个初始值 $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$ 存在唯一解。初始值到解的映射 $\mathbf{x}_0 \mapsto \mathbf{x}(t)$ 是线性双射，因此解空间与 $\mathbb{R}^n$ 同构，维数为 $n$。

基本解矩阵 $\Phi(t)$ 的 $n$ 列线性无关（因 $\det \Phi(t) \neq 0$），构成解空间的一组基。$\blacksquare$

例 26.1

二维线性系统的解。 考虑

\[ \mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \mathbf{x}. \]

特征方程 $\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0$ 给出 $\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = -2$。对应特征向量为 $\mathbf{v}_1 = (1, -1)^T$，$\mathbf{v}_2 = (1, -2)^T$。一般解为

\[ \mathbf{x}(t) = c_1 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-2t} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

基本解矩阵为 $\Phi(t) = \begin{pmatrix} e^{-t} & e^{-2t} \\ -e^{-t} & -2e^{-2t} \end{pmatrix}$，满足 $\Phi'(t) = A\Phi(t)$。

定理 26.2 (Liouville 公式)

设 $\Phi(t)$ 为 $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$ 的基本解矩阵（$A(t)$ 可为时变），则

\[ \det \Phi(t) = \det \Phi(t_0) \cdot \exp\!\left(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\, ds\right). \]

特别地，对常系数系统 $A(t) \equiv A$，有 $\det \Phi(t) = \det \Phi(0) \cdot e^{t\, \operatorname{tr}(A)}$。

证明

记 $W(t) = \det \Phi(t)$（Wronskian）。利用行列式对矩阵求导的公式，

\[ W'(t) = \sum_{i=1}^{n} \det \Phi_i(t), \]

其中 $\Phi_i(t)$ 是将 $\Phi(t)$ 的第 $i$ 行替换为其导数行。由 $\Phi' = A\Phi$，第 $i$ 行的导数等于 $A$ 的第 $i$ 行与 $\Phi$ 的乘积。展开后只有对角项 $a_{ii}$ 对行列式有贡献，因此 $W'(t) = \operatorname{tr}(A(t)) W(t)$。解此标量 ODE 即得结论。$\blacksquare$

26.2 矩阵指数与解的表示¶

核心公式：$e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!}$ → 可对角化时 $e^{At} = P\, \text{diag}(e^{\lambda_i t})\, P^{-1}$ → Jordan 块时含 $t^k e^{\lambda t}$ 项

链接：Ch13 矩阵函数理论的最重要特例

矩阵指数是线性 ODE 理论的核心工具，将矩阵代数与微分方程完美统一。

定义 26.3 (矩阵指数)

对 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，矩阵指数（matrix exponential）定义为

\[ e^{A} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots \]

此级数对所有 $A$ 绝对收敛。

定理 26.3 (矩阵指数与 ODE 的关系)

$\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$，$\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ 的唯一解为

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0. \]

$e^{At}$ 是主基本解矩阵：$\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}$，$e^{A \cdot 0} = I$。

证明

逐项求导：

\[ \frac{d}{dt}e^{At} = \frac{d}{dt}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A^k t^{k-1}}{(k-1)!} = A\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(At)^{k-1}}{(k-1)!} = Ae^{At}. \]

因此 $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0$ 满足 $\mathbf{x}' = Ae^{At}\mathbf{x}_0 = A\mathbf{x}(t)$ 以及 $\mathbf{x}(0) = I\mathbf{x}_0 = \mathbf{x}_0$。由唯一性定理，这是唯一解。$\blacksquare$

定理 26.4 (矩阵指数的计算)

设 $A = PJP^{-1}$ 为 Jordan 分解，$J = \operatorname{diag}(J_1, \ldots, J_s)$，其中 $J_i$ 为 Jordan 块。则

\[ e^{At} = P\, \operatorname{diag}(e^{J_1 t}, \ldots, e^{J_s t})\, P^{-1}. \]

对 $k \times k$ Jordan 块 $J_i = \lambda_i I + N$（$N$ 为幂零），有

\[ e^{J_i t} = e^{\lambda_i t} \begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} \\ 0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!} \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & t \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

证明

由 $A = PJP^{-1}$ 得 $A^k = PJ^k P^{-1}$，故

\[ e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(PJP^{-1})^k t^k}{k!} = P\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{J^k t^k}{k!}\right)P^{-1} = Pe^{Jt}P^{-1}. \]

由于 $J$ 为分块对角，$e^{Jt} = \operatorname{diag}(e^{J_1 t}, \ldots, e^{J_s t})$。对 Jordan 块 $J_i = \lambda_i I + N$，由于 $\lambda_i I$ 和 $N$ 可交换，$e^{J_i t} = e^{\lambda_i t} e^{Nt}$，其中 $N^k = 0$（$k \ge $ 块大小），故 $e^{Nt}$ 为有限和，给出上三角矩阵形式。$\blacksquare$

例 26.2

含重特征值系统的矩阵指数。 设

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

$A$ 有唯一特征值 $\lambda = 2$，Jordan 块为 $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$（$P = I$）。

\[ e^{At} = e^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

初值 $\mathbf{x}_0 = (1, 3)^T$ 的解为

\[ \mathbf{x}(t) = e^{2t}\begin{pmatrix} 1 + 3t \\ 3 \end{pmatrix}. \]

解中出现 $te^{2t}$ 项，这是 Jordan 块（非对角化）的标志性行为。

定义 26.4 (矩阵指数的基本性质)

矩阵指数满足以下性质：

$e^{O} = I$（$O$ 为零矩阵）。
$(e^{A})^{-1} = e^{-A}$。
$e^{(s+t)A} = e^{sA}e^{tA}$（半群性质）。
若 $AB = BA$，则 $e^{A+B} = e^{A}e^{B}$。
$\det(e^{A}) = e^{\operatorname{tr}(A)}$。
一般地，$e^{A+B} \neq e^{A}e^{B}$。

例 26.3

矩阵指数的非交换性。 令 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。

$e^A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$e^B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$e^A e^B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。

而 $A + B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 的特征值为 $\pm 1$，

\[ e^{A+B} = \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1 \\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{pmatrix} \neq e^A e^B. \]

$AB \neq BA$，故 Baker-Campbell-Hausdorff 公式给出非平凡修正项。

26.3 稳定性分析¶

判据链：所有 $\operatorname{Re}(\lambda_i) < 0$ ⇔ 渐近稳定 → Lyapunov 方程 $A^T P + PA = -Q$ 有正定解 ⇔ Hurwitz 矩阵

应用：控制理论中系统是否收敛、信号处理中滤波器是否稳定

线性系统的稳定性完全由系数矩阵的特征值决定，这是线性代数在动力系统中最深刻的应用之一。

定义 26.5 (稳定性分类)

对系统 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$，平衡点 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 称为：

渐近稳定（asymptotically stable）：若对所有初值 $\mathbf{x}_0$，$\lim_{t \to \infty} \mathbf{x}(t) = \mathbf{0}$；
稳定（stable / Lyapunov stable）：若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得 $\|\mathbf{x}_0\| < \delta$ 蕴含 $\|\mathbf{x}(t)\| < \varepsilon$，$\forall\, t \ge 0$；
不稳定（unstable）：若不稳定。

定理 26.5 (特征值稳定性准则)

对常系数系统 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$：

渐近稳定 $\iff$ $A$ 的所有特征值满足 $\operatorname{Re}(\lambda_i) < 0$（$A$ 为 Hurwitz 矩阵）。
稳定 $\iff$ 所有特征值满足 $\operatorname{Re}(\lambda_i) \le 0$，且 $\operatorname{Re}(\lambda_i) = 0$ 的特征值的 Jordan 块大小为 $1$。
不稳定 $\iff$ 存在 $\operatorname{Re}(\lambda_i) > 0$，或存在 $\operatorname{Re}(\lambda_i) = 0$ 且 Jordan 块大小 $> 1$。

证明

由 $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0$ 和 Jordan 分解 $e^{At} = Pe^{Jt}P^{-1}$，每个 Jordan 块的贡献为 $t^j e^{\lambda_i t}$（$0 \le j < $ 块大小）。

若 $\operatorname{Re}(\lambda_i) < 0$，则 $|t^j e^{\lambda_i t}| = t^j e^{\operatorname{Re}(\lambda_i) t} \to 0$（$t \to \infty$），无论 $j$ 多大。
若 $\operatorname{Re}(\lambda_i) = 0$ 且 $j = 0$，则 $|e^{\lambda_i t}| = 1$，有界但不趋零。
若 $\operatorname{Re}(\lambda_i) = 0$ 且 $j \ge 1$，则 $|t^j e^{\lambda_i t}| = t^j \to \infty$。
若 $\operatorname{Re}(\lambda_i) > 0$，则 $|e^{\lambda_i t}| \to \infty$。$\blacksquare$

定理 26.6 (Lyapunov 稳定性定理)

$A$ 为 Hurwitz 矩阵当且仅当对任意正定矩阵 $Q \succ 0$，Lyapunov 方程

\[ A^T P + PA = -Q \]

有唯一正定解 $P \succ 0$。此时 $V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}$ 是系统的 Lyapunov 函数。

证明

充分性：若 $P \succ 0$ 满足 $A^T P + PA = -Q \prec 0$，定义 $V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x} > 0$。沿轨迹求导：

\[ \dot{V} = \mathbf{x}'^T P \mathbf{x} + \mathbf{x}^T P \mathbf{x}' = \mathbf{x}^T(A^T P + PA)\mathbf{x} = -\mathbf{x}^T Q \mathbf{x} < 0. \]

必要性：若 $A$ 为 Hurwitz 矩阵，定义 $P = \int_0^{\infty} e^{A^T t} Q e^{At}\, dt$（收敛因 $\operatorname{Re}(\lambda_i) < 0$）。直接验证 $A^T P + PA = -Q$ 且 $P \succ 0$。唯一性由 Lyapunov 方程的线性性和 Hurwitz 条件保证。$\blacksquare$

例 26.4

电路系统的稳定性分析。 一个 RLC 电路的状态方程为

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{LC} & -\frac{R}{L} \end{pmatrix}. \]

特征方程为 $\lambda^2 + \frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{LC} = 0$，特征值为

\[ \lambda_{1,2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\frac{R^2}{4L^2} - \frac{1}{LC}}. \]

由于 $R, L, C > 0$，有 $\operatorname{Re}(\lambda_{1,2}) < 0$，系统渐近稳定。物理意义：电阻耗散能量，电流和电压最终衰减至零。当 $R^2 > 4L/C$ 时为过阻尼（两个实负特征值），$R^2 < 4L/C$ 时为欠阻尼（共轭复特征值，衰减振荡），$R^2 = 4L/C$ 时为临界阻尼。

26.4 相平面分析¶

分类：$2 \times 2$ 系统的完整分类依赖于 $\operatorname{tr}(A)$ 和 $\det(A)$ → 特征值符号和虚实性决定结点/鞍点/焦点/中心

几何：轨迹的定性形状完全由特征值和特征向量决定

二维线性系统 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ 的相平面（phase plane）分析是理解高维系统的起点。

定义 26.6 (临界点分类)

对二维系统 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$（$A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$，$\det A \neq 0$），设特征值为 $\lambda_1, \lambda_2$，原点的临界点类型为：

特征值条件	类型
$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$，同号	结点（node）
$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$，异号	鞍点（saddle）
$\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i$，$\alpha \neq 0$	焦点/螺旋点（spiral/focus）
$\lambda_{1,2} = \pm \beta i$，$\alpha = 0$	中心（center）
$\lambda_1 = \lambda_2 \in \mathbb{R}$，非对角化	退化结点/星形结点

定理 26.7 (迹-行列式分类)

设 $\tau = \operatorname{tr}(A)$，$\delta = \det(A)$，$\Delta = \tau^2 - 4\delta$。则：

$\delta < 0$：鞍点（不稳定）。
$\delta > 0$，$\Delta > 0$，$\tau < 0$：稳定结点。
$\delta > 0$，$\Delta > 0$，$\tau > 0$：不稳定结点。
$\delta > 0$，$\Delta < 0$，$\tau < 0$：稳定焦点。
$\delta > 0$，$\Delta < 0$，$\tau > 0$：不稳定焦点。
$\delta > 0$，$\tau = 0$：中心。

证明

特征值为 $\lambda_{1,2} = \frac{\tau \pm \sqrt{\Delta}}{2}$，其中 $\lambda_1 \lambda_2 = \delta$，$\lambda_1 + \lambda_2 = \tau$。

$\delta < 0$ 意味着 $\lambda_1, \lambda_2$ 异号。
$\delta > 0$，$\Delta > 0$ 时为两个同号实根，$\tau$ 的正负决定稳定性。
$\delta > 0$，$\Delta < 0$ 时为共轭复根 $\alpha \pm \beta i$（$\alpha = \tau/2$），$\alpha$ 的正负决定稳定性。
$\tau = 0$ 时 $\alpha = 0$，为纯虚特征值。$\blacksquare$

例 26.5

弹簧-阻尼系统的相平面。 弹簧质量系统 $mx'' + cx' + kx = 0$ 化为

\[ \begin{pmatrix} x' \\ v' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -k/m & -c/m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix}. \]

此处 $\tau = -c/m < 0$，$\delta = k/m > 0$，$\Delta = c^2/m^2 - 4k/m$。

欠阻尼（$c^2 < 4mk$）：$\Delta < 0$，稳定焦点。轨迹以螺旋线趋向原点。
过阻尼（$c^2 > 4mk$）：$\Delta > 0$，稳定结点。轨迹沿特征方向单调趋向原点。
无阻尼（$c = 0$）：$\tau = 0$，中心。轨迹为以原点为中心的椭圆，对应能量守恒。

26.5 高阶线性 ODE 与友矩阵¶

化归：$n$ 阶线性 ODE → 一阶 $n \times n$ 系统 → 友矩阵 $C$ 的特征多项式 = 原方程的特征多项式

链接：Ch6 特征多项式理论在此直接应用

高阶线性 ODE 可以通过引入状态变量转化为一阶系统，对应的系数矩阵具有特殊的友矩阵结构。

定义 26.7 (高阶线性 ODE)

$n$ 阶线性常系数 ODE 为

\[ y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0. \]

定义 26.8 (友矩阵)

上述方程对应的友矩阵（companion matrix）为

\[ C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}. \]

$C$ 的特征多项式恰为 $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$。

定理 26.8 (高阶 ODE 与一阶系统的等价性)

令 $x_1 = y$，$x_2 = y'$，$\ldots$，$x_n = y^{(n-1)}$，则高阶 ODE 等价于一阶系统

\[ \mathbf{x}' = C\mathbf{x}, \]

其中 $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)^T$，$C$ 为友矩阵。$C$ 的特征值即为原方程的特征根，$C$ 的 Jordan 结构决定解的形式。

证明

由定义，$x_i' = x_{i+1}$（$1 \le i \le n-1$），且

\[ x_n' = y^{(n)} = -a_{n-1}y^{(n-1)} - \cdots - a_0 y = -a_{n-1}x_n - \cdots - a_0 x_1. \]

这恰好是 $\mathbf{x}' = C\mathbf{x}$ 的形式。$C$ 的特征多项式：沿最后一行展开行列式 $\det(\lambda I - C)$，利用上方的 $1$ 结构逐步化简，得 $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_0$。$\blacksquare$

例 26.6

四阶方程化为系统。 方程 $y^{(4)} + 2y''' + 3y'' + 2y' + y = 0$ 对应友矩阵

\[ C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & -3 & -2 \end{pmatrix}. \]

特征多项式 $\lambda^4 + 2\lambda^3 + 3\lambda^2 + 2\lambda + 1 = (\lambda^2 + \lambda + 1)^2$。特征值为 $\lambda = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$（二重）。解包含 $e^{-t/2}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)$，$e^{-t/2}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)$ 及其乘以 $t$ 的项。

26.6 非齐次方程与变参法¶

非齐次通解 = 齐次通解 + 特解 → 特解由 $e^{At}$ 的卷积积分给出（变参法）→ 实质是 Green 函数/脉冲响应

链接：Ch4 商空间和仿射子空间的直接体现

非齐次线性系统 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$ 的求解依赖矩阵指数和变参法。

定义 26.9 (非齐次线性 ODE 系统)

非齐次线性 ODE 系统为

\[ \mathbf{x}'(t) = A\mathbf{x}(t) + \mathbf{f}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, \]

其中 $\mathbf{f}(t) \in \mathbb{R}^n$ 为给定的连续驱动项（forcing term）。

定理 26.9 (变参法/常数变易公式)

非齐次系统 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$，$\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ 的解为

\[ \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{f}(s)\, ds. \]

第一项为齐次解（自由响应），第二项为特解（受迫响应），即矩阵指数与驱动项的卷积。

证明

设 $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{c}(t)$（变参法的核心 Ansatz）。代入方程：

\[ Ae^{At}\mathbf{c}(t) + e^{At}\mathbf{c}'(t) = Ae^{At}\mathbf{c}(t) + \mathbf{f}(t). \]

消去 $Ae^{At}\mathbf{c}(t)$ 得 $e^{At}\mathbf{c}'(t) = \mathbf{f}(t)$，即 $\mathbf{c}'(t) = e^{-At}\mathbf{f}(t)$。积分：

\[ \mathbf{c}(t) = \mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{-As}\mathbf{f}(s)\, ds. \]

因此 $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{f}(s)\, ds$。$\blacksquare$

例 26.7

受迫振动系统。 考虑系统

\[ \mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ \cos t \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{0}. \]

齐次部分有特征值 $\pm i$（中心），$e^{At} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$。

受迫响应为

\[ \int_0^t \begin{pmatrix} \cos(t-s) & \sin(t-s) \\ -\sin(t-s) & \cos(t-s) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \cos s \end{pmatrix} ds. \]

计算第一分量：$\int_0^t \sin(t-s)\cos s\, ds = \frac{t}{2}\sin t$（共振）。由于驱动频率与固有频率相同，振幅线性增长——这是共振现象的线性代数解释。

26.7 线性 PDE 中的特征值问题¶

分离变量 → 空间部分为特征值问题 $\mathcal{L}u = \lambda u$ → Sturm-Liouville 理论保证实特征值、正交特征函数 → 无穷维内积空间上的谱定理

链接：Ch8 内积空间谱定理的无穷维推广

偏微分方程中的分离变量法将 PDE 化为 ODE 特征值问题，Sturm-Liouville 理论是有限维谱定理的无穷维推广。

定义 26.10 (Sturm-Liouville 问题)

Sturm-Liouville 问题为求 $\lambda$ 和非零函数 $y(x)$（$x \in [a, b]$）使得

\[ -(p(x)y')' + q(x)y = \lambda w(x) y, \]

加上边界条件（如 $y(a) = y(b) = 0$），其中 $p(x) > 0$，$w(x) > 0$ 为权函数。

定理 26.10 (Sturm-Liouville 谱定理)

在适当正则性条件下，Sturm-Liouville 问题具有如下性质：

存在可数无穷个实特征值 $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots$，$\lambda_n \to \infty$。
对应的特征函数 $\{y_n(x)\}$ 关于权函数 $w(x)$ 正交：

\[ \int_a^b y_m(x) y_n(x) w(x)\, dx = 0, \quad m \neq n. \]
$\{y_n\}$ 构成 $L^2_w([a, b])$ 的完备正交基（类比有限维对称矩阵的正交特征基）。

证明

自伴性：定义算子 $\mathcal{L}y = \frac{1}{w}[-(py')' + qy]$。通过分部积分和边界条件，可以验证 $\langle \mathcal{L}y, z \rangle_w = \langle y, \mathcal{L}z \rangle_w$，即 $\mathcal{L}$ 是 $L^2_w$ 内积下的自伴算子。

正交性：若 $\mathcal{L}y_m = \lambda_m y_m$ 和 $\mathcal{L}y_n = \lambda_n y_n$（$\lambda_m \neq \lambda_n$），则

\[ \lambda_m \langle y_m, y_n \rangle_w = \langle \mathcal{L}y_m, y_n \rangle_w = \langle y_m, \mathcal{L}y_n \rangle_w = \lambda_n \langle y_m, y_n \rangle_w. \]

因此 $(\lambda_m - \lambda_n)\langle y_m, y_n \rangle_w = 0$，即 $\langle y_m, y_n \rangle_w = 0$。这与有限维对称矩阵不同特征值对应特征向量正交的证明完全平行。$\blacksquare$

例 26.8

热传导方程的分离变量。 考虑一维热方程

\[ u_t = u_{xx}, \quad u(0, t) = u(\pi, t) = 0, \quad u(x, 0) = f(x). \]

令 $u(x, t) = X(x)T(t)$，分离变量得 $T'/T = X''/X = -\lambda$。

空间问题：$X'' = -\lambda X$，$X(0) = X(\pi) = 0$。这是 $p = w = 1$，$q = 0$ 的 Sturm-Liouville 问题。特征值 $\lambda_n = n^2$，特征函数 $X_n = \sin(nx)$（$n = 1, 2, 3, \ldots$）。

时间问题：$T_n' = -n^2 T_n$，解为 $T_n = e^{-n^2 t}$。

完整解：

\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-n^2 t} \sin(nx), \quad b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)\, dx. \]

每个模态 $n$ 以速率 $n^2$ 衰减——高频分量衰减更快，这解释了热传导的平滑效应。特征值 $n^2$ 完全决定了扩散的时间尺度。

26.8 Floquet 理论¶

问题：$\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$，$A(t+T) = A(t)$ → 解不再是 $e^{At}$ → Floquet 定理：$\Phi(t) = P(t)e^{Bt}$（周期部分 $\times$ 指数部分）→ 稳定性由 $B$ 的特征值决定

应用：参数共振（Mathieu 方程）、晶格中的 Bloch 定理

当系数矩阵具有周期性 $A(t+T) = A(t)$ 时，Floquet 理论将周期系统化为常系数问题。

定义 26.11 (单值矩阵)

对周期系统 $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$（$A(t+T) = A(t)$），设 $\Phi(t)$ 为满足 $\Phi(0) = I$ 的基本解矩阵。单值矩阵（monodromy matrix）定义为

\[ M = \Phi(T). \]

$M$ 的特征值称为 Floquet 乘子（Floquet multipliers）。

定义 26.12 (Floquet 指数)

若 $\rho$ 为 Floquet 乘子，则 $\mu = \frac{1}{T}\ln \rho$（取适当分支）称为 Floquet 指数（Floquet exponent）。它们是等价常系数系统的"有效特征值"。

定理 26.11 (Floquet 定理)

设 $A(t)$ 为连续的 $T$-周期矩阵。则基本解矩阵 $\Phi(t)$（$\Phi(0) = I$）可以写为

\[ \Phi(t) = P(t) e^{Bt}, \]

其中 $P(t+T) = P(t)$ 为 $T$-周期非奇异矩阵，$B$ 为常数矩阵，满足 $e^{BT} = M = \Phi(T)$。

证明

关键观察：$\Psi(t) = \Phi(t+T)$ 也是基本解矩阵，因为

\[ \Psi'(t) = \Phi'(t+T) = A(t+T)\Phi(t+T) = A(t)\Psi(t). \]

由基本解矩阵的唯一性（到右乘常数矩阵），$\Phi(t+T) = \Phi(t)M$。

选取 $B$ 使得 $e^{BT} = M$（总存在，取矩阵对数）。定义 $P(t) = \Phi(t)e^{-Bt}$。则

\[ P(t+T) = \Phi(t+T)e^{-B(t+T)} = \Phi(t)Me^{-BT}e^{-Bt} = \Phi(t)e^{-Bt} = P(t). \]

因此 $P(t)$ 是 $T$-周期的。$\blacksquare$

定理 26.12 (Floquet 稳定性准则)

周期系统 $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$ 的平衡点渐近稳定当且仅当所有 Floquet 乘子满足 $|\rho_i| < 1$（等价地，所有 Floquet 指数满足 $\operatorname{Re}(\mu_i) < 0$）。

证明

由 $\Phi(nT) = M^n$ 和 $\Phi(t) = P(t)e^{Bt}$，$\|\Phi(nT)\| = \|M^n\|$。$M^n \to 0$ 当且仅当 $M$ 的所有特征值（即 Floquet 乘子）的模小于 $1$。在周期之间，$P(t)$ 有界，因此 $\|\Phi(t)\| \to 0$ 当且仅当 $|\rho_i| < 1$。$\blacksquare$

例 26.9

Mathieu 方程与参数共振。 Mathieu 方程

\[ y'' + (\delta + \varepsilon \cos 2t) y = 0 \]

化为系统 $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$，$A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\delta - \varepsilon\cos 2t & 0 \end{pmatrix}$，周期 $T = \pi$。

参数平面 $(\delta, \varepsilon)$ 中存在稳定区（$|\rho_i| \le 1$）和不稳定区/共振舌（$|\rho_i| > 1$）。当 $\varepsilon = 0$ 时，不稳定区退化为点 $\delta = n^2$（$n = 1, 2, \ldots$）。当 $\varepsilon > 0$ 时，不稳定区扩展为"舌"形区域。

物理应用：倒置摆在适当频率和振幅的垂直振动下可以稳定（Kapitza 摆）——Floquet 分析给出精确的稳定条件。

例 26.10

Floquet 理论与 Bloch 定理。 在固体物理中，晶格中电子的 Schrodinger 方程

\[ -\psi''(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x), \quad V(x+a) = V(x) \]

是周期系数 ODE。Floquet 定理保证存在 Bloch 波形式的解

\[ \psi(x) = e^{ikx} u(x), \quad u(x+a) = u(x), \]

其中 $k$ 为波数（Floquet 指数的虚部）。不同 $k$ 值对应的能量 $E(k)$ 构成能带结构，能带间隙对应 Floquet 乘子模为 $1$ 的边界。

特征值条件	类型
\(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\)，同号	结点（node）
\(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\)，异号	鞍点（saddle）
\(\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i\)，\(\alpha \neq 0\)	焦点/螺旋点（spiral/focus）
\(\lambda_{1,2} = \pm \beta i\)，\(\alpha = 0\)	中心（center）
\(\lambda_1 = \lambda_2 \in \mathbb{R}\)，非对角化	退化结点/星形结点

第 26 章 线性代数在微分方程中的应用¶