第 26 章 线性代数在微分方程中的应用¶
前置：特征值 (Ch06) · 矩阵指数 (Ch13) · 线性方程组 (Ch01)
本章脉络：从单一方程到方程组 \(\to\) 线性常微分方程组 (ODEs) 的矩阵表示 \(\to\) 齐次方程组的解与基础解系 \(\to\) 矩阵指数 \(e^{At}\) 的核心地位 \(\to\) 非齐次方程组的常数变易法 \(\to\) 相图 (Phase Portraits) 与稳定性分析 \(\to\) 节点、鞍点、螺旋点的几何判别 \(\to\) 高阶方程向一阶方程组的转化 \(\to\) 应用：耦合振子系统、回路电路分析、动力系统建模
延伸：线性代数是赋予微分方程“几何生命”的工具；它将随时间演化的连续过程分解为特征方向上的缩放与旋转，证明了复杂动态的本质是由算子的谱结构预先决定的，是连接代数与分析的宏伟桥梁
在微积分中，我们学会了求解单一的 \(\dot{x} = ax\)。但在现实中，变量往往是相互耦合的（如两个相互接触的物体）。线性微分方程组（Systems of ODEs）通过矩阵形式将这些耦合关系解构。利用特征值分解和矩阵指数，我们可以将复杂的动态演化转化为简单的几何投影。本章将展示线性代数如何成为预测系统长期行为的终极水晶球。
26.1 线性微分方程组的矩阵化¶
定义 26.1 (线性 ODE 组)
一阶线性常微分方程组可以写为： $\(\dot{\mathbf{x}}(t) = A\mathbf{x}(t)\)$ 其中 \(\mathbf{x}(t)\) 是状态向量，\(A\) 是系数矩阵。
定理 26.1 (解析解)
若给定初始条件 \(\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0\)，则系统的唯一解为： $\(\mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{x}_0\)$ 若 \(A\) 可对角化为 \(PDP^{-1}\)，则解简化为 \(\mathbf{x}(t) = P e^{Dt} P^{-1} \mathbf{x}_0\)。
26.2 稳定性与相图¶
几何：平衡点分类
通过特征值 \(\lambda_i\) 的符号判定原点（平衡点）的性质： 1. 汇点 (Sink)：实部全负。所有轨迹趋向原点。 2. 源点 (Source)：实部全正。轨迹远离原点。 3. 鞍点 (Saddle)：特征值有正有负。 4. 中心点 (Center)：纯虚数特征值。轨迹构成闭合圆。
26.3 非齐次方程组¶
算法 26.1 (常数变易法)
对于 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)\)，其通解公式为： $\(\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)} \mathbf{f}(s) ds\)$ 这反映了系统对外力冲量的卷积响应过程。
练习题¶
1. [基础] 将二阶方程 \(\ddot{y} + 3\dot{y} + 2y = 0\) 转化为一阶矩阵方程。
参考答案
转换步骤： 1. 定义状态变量：\(x_1 = y, x_2 = \dot{y}\)。 2. 得到导数关系： - \(\dot{x}_1 = x_2\) - \(\dot{x}_2 = \ddot{y} = -2y - 3\dot{y} = -2x_1 - 3x_2\)。 结论：矩阵形式为 \(\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\)。
2. [计算] 求上述系统 \(\dot{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \mathbf{x}\) 的特征值并判定其稳定性。
参考答案
计算步骤： 1. 特征方程：\(\det(A - \lambda I) = \lambda(\lambda+3) + 2 = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0\)。 2. 因式分解：\((\lambda+1)(\lambda+2) = 0\)。 3. 特征值：\(\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2\)。 结论：特征值均为负实数。系统是渐近稳定的（原点是一个汇点）。
3. [解析解] 若 \(A = \operatorname{diag}(1, -1)\)，求 \(\mathbf{x}(t)\)。
参考答案
计算： 1. 矩阵指数 \(e^{At} = \operatorname{diag}(e^t, e^{-t})\)。 2. 乘上初值：\(\mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \end{pmatrix}\)。 结论：分量解为 \(x_1(t) = x_1(0)e^t, x_2(t) = x_2(0)e^{-t}\)。
4. [相图] 判定：若矩阵特征值为 \(\pm i\omega\)，相图中的轨迹形状是什么？
参考答案
结论：椭圆或圆。 理由：纯虚数特征值意味着解具有形式 \(\sin(\omega t)\) 和 \(\cos(\omega t)\)。系统能量守恒，不会耗散也不会发散，轨迹在平衡点周围往复运动。
5. [Jordan项] 若 \(A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}\)，其解中是否会出现 \(t e^{\lambda t}\) 项？
参考答案
是的。 理由：矩阵指数 \(e^{At} = e^{\lambda t} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)（见 Ch13 矩阵函数）。 右上角的 \(t\) 导致了线性时间项的出现。这在物理上对应于“临界阻尼”或“共振”现象。
6. [非齐次] 什么是线性系统的“冲量响应”？
参考答案
结论：即 \(e^{At}\) 矩阵。 在卷积公式中， \(e^{A(t-s)}\) 描述了在 \(s\) 时刻输入的单位脉冲对 \(t\) 时刻状态的影响。它是连接外力输入与系统内部动力学的核心传递函数。
7. [稳定性判定] 证明：若 \(A\) 的迹 \(\operatorname{tr}(A) > 0\)，则系统一定不稳定。
参考答案
证明： 1. 迹等于特征值之和：\(\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i\)。 2. 若 \(\operatorname{tr}(A) > 0\)，则至少存在一个特征值其实部为正。 3. 该方向上的分量将随 \(e^{\lambda t}\) 指数级增长。 结论：系统在原点处是发散的。
8. [计算] 求解 \(\dot{x} = y, \dot{y} = x\) 的通解。
参考答案
计算步骤： 1. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)。 2. 特征值 \(\pm 1\)，对应特征向量 \((1, 1)^T\) 和 \((1, -1)^T\)。 3. 通解为：\(\mathbf{x}(t) = c_1 e^t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)。 这是一个典型的鞍点。
9. [解耦] 简述“模态坐标变换”的意义。
参考答案
通过 \(\mathbf{x} = P\mathbf{z}\) 将耦合系统 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}\) 变换为对角化系统 \(\dot{\mathbf{z}} = D\mathbf{z}\)。 这允许我们独立地求解每一个模态（特征分量），将复杂的系统演化拆解为相互独立的单变量指数增长或衰减。
10. [应用] 线性代数在流行病模型（如 SIR 模型）的线性化分析中有何作用？
参考答案
解释： 非线性方程在平衡点（如无病平衡点）附近可以进行一阶泰勒展开。 得到的雅可比矩阵决定了疫情的初期走势。若该矩阵的最大特征值实部大于 0（对应基本再生数 \(R_0 > 1\)），则疫情会爆发；否则会自然消失。
本章小结¶
线性代数是微分方程动力学的“内部解码器”：
- 动态的代数化：矩阵指数 \(e^{At}\) 将时间的连续演化压缩为一个静态算子的作用，统一了离散映射与连续流动的逻辑。
- 形态的决定论：特征值的代数性质（实部、虚部）直接翻译为系统的几何命运（稳定、发散、震荡），确立了动力系统定性分析的标准框架。
- 结构的透视：通过特征向量分解，复杂的耦合交互被还原为独立模态的叠加，揭示了看似混乱的动态系统背后整齐划一的代数层级。