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第 43 章 伪谱与非正规矩阵分析

前置：特征值(Ch6) · 矩阵范数(Ch15) · 矩阵分析(Ch14)

本章脉络：正规 vs 非正规 → ε-伪谱定义 → 预解式刻画 → Kreiss 矩阵定理 → 瞬态增长 → 伪谱腹地 → 计算方法 → 应用

延伸：伪谱理论揭示了流体力学中亚临界转捩（Orr-Sommerfeld 算子的非正规性）和数值 ODE 求解器稳定性分析中非正规性的关键作用

经典谱理论——特征值及其代数/几何重数——在正规矩阵（\(AA^* = A^*A\)）的情形下完美地刻画了矩阵的行为。然而，大量实际问题中出现的矩阵远非正规。对于非正规矩阵，特征值可能完全无法预测矩阵指数 \(e^{tA}\) 的瞬态行为、线性方程组迭代求解的收敛性、或微分方程解的短时间增长。

伪谱（pseudospectra）理论正是为了填补这一巨大鸿沟而发展起来的。它不再只关注"\(zI - A\) 何时奇异"（即特征值），而是关注"\(zI - A\) 何时接近奇异"——这才是实际计算和物理行为中真正重要的问题。

本章系统介绍 \(\varepsilon\)-伪谱的定义、性质、计算方法及其在流体稳定性和数值分析中的应用。

43.1 正规与非正规矩阵回顾

核心问题：为什么经典特征值理论对非正规矩阵失效？如何量化矩阵的"非正规程度"？

定义 43.1 (正规矩阵)

矩阵 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 称为正规矩阵（normal matrix），如果 \(AA^* = A^*A\)。

等价条件包括：

  1. \(A\) 可以酉对角化：存在酉矩阵 \(U\) 使得 \(A = U \Lambda U^*\)，其中 \(\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)。
  2. \(A\) 具有 \(n\) 个标准正交的特征向量。
  3. \(\sum_{i} \|Ae_i\|^2 = \sum_{i} |\lambda_i|^2\)（Schur 分解的上三角部分全为零）。

定义 43.2 (偏离正规度)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，其 Schur 分解为 \(A = UTU^*\)，其中 \(T\) 是上三角矩阵，\(U\) 是酉矩阵。定义 \(A\) 的偏离正规度（departure from normality）为：

\[\Delta(A) = \|A\|_F^2 - \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^2 = \|T - \operatorname{diag}(T)\|_F^2 \geq 0.\]

\(\Delta(A) = 0\) 当且仅当 \(A\) 是正规矩阵。

另一个常用度量是 \(\|AA^* - A^*A\|_F\)，即交换子范数。

定理 43.1 (正规矩阵的谱完备性)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 是正规矩阵，\(A = U\Lambda U^*\)。则：

  1. 预解式范数：\(\|(zI - A)^{-1}\| = \frac{1}{\operatorname{dist}(z, \sigma(A))} = \frac{1}{\min_i |z - \lambda_i|}\)。
  2. 矩阵指数：\(\|e^{tA}\| = e^{t \cdot \max_i \operatorname{Re} \lambda_i}\)。
  3. 矩阵多项式：\(\|p(A)\| = \max_i |p(\lambda_i)|\)。

这些优美的等式对非正规矩阵全部变为（有时很松的）不等式。

证明

由 \(A = U\Lambda U^*\)，对任意矩阵函数 \(f\)，\(f(A) = Uf(\Lambda)U^*\)。由于 \(U\) 是酉的， $\(\|f(A)\| = \|f(\Lambda)\| = \max_i |f(\lambda_i)|.\)$

特别地：

  • \(\|(zI - A)^{-1}\| = \|(zI - \Lambda)^{-1}\| = \max_i |z - \lambda_i|^{-1} = (\min_i |z - \lambda_i|)^{-1}\)。
  • \(\|e^{tA}\| = \|e^{t\Lambda}\| = \max_i |e^{t\lambda_i}| = \max_i e^{t \operatorname{Re} \lambda_i} = e^{t \max_i \operatorname{Re} \lambda_i}\)。\(\blacksquare\)

例 43.1 (非正规性的戏剧性后果)

考虑 \(n \times n\) 上三角 Jordan 块 $\(J_n(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}.\)$

特征值全为 \(\lambda\)，但：

  • 矩阵指数增长：\(\|e^{tJ_n(0)}\| = \left\|\sum_{k=0}^{n-1} \frac{t^k}{k!} N^k\right\|\)（\(N\) 是幂零部分），当 \(t\) 从 \(0\) 增加时先经历多项式增长再衰减。
  • 预解式爆炸：对 \(z\) 靠近但不等于 \(\lambda\)，\(\|(zI - J_n(\lambda))^{-1}\| \sim |z - \lambda|^{-n}\)（而非正规矩阵的 \(|z - \lambda|^{-1}\)）。

具体地，取 \(\lambda = -1\)，\(n = 20\)：所有特征值实部为 \(-1\)，但 \(\|e^{tJ_{20}(-1)}\|\) 可以在某个 \(t > 0\) 处达到约 \(10^5\) 的量级——远大于 \(e^{-t}\)。

43.2 ε-伪谱的定义

核心问题：如何定义"接近 \(A\) 的特征值"这一概念？

定义 43.3 (ε-伪谱)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，\(\varepsilon > 0\)。\(A\) 的 \(\varepsilon\)-伪谱（\(\varepsilon\)-pseudospectrum）定义为

\[\sigma_\varepsilon(A) = \left\{ z \in \mathbb{C} : \|(zI - A)^{-1}\| \geq \frac{1}{\varepsilon} \right\},\]

其中约定 \(\|(zI - A)^{-1}\| = +\infty\) 当 \(z \in \sigma(A)\) 时。

除非另行说明，范数取为谱范数 \(\|\cdot\|_2\)。

定理 43.2 (ε-伪谱的等价刻画)

以下三个集合相等：

\[\sigma_\varepsilon(A) = \left\{ z \in \mathbb{C} : \|(zI - A)^{-1}\| \geq \varepsilon^{-1} \right\}\]
\[= \left\{ z \in \mathbb{C} : z \in \sigma(A + E),\; \text{某个 } E \text{ 满足 } \|E\| < \varepsilon \right\}\]
\[= \left\{ z \in \mathbb{C} : \sigma_{\min}(zI - A) < \varepsilon \right\},\]

其中 \(\sigma_{\min}(B)\) 表示 \(B\) 的最小奇异值。

证明

设三个集合分别为 \(S_1\)、\(S_2\)、\(S_3\)。

\(S_1 = S_3\)：这是因为 \(\|(zI - A)^{-1}\| = \sigma_{\min}(zI - A)^{-1}\)（\(B^{-1}\) 的最大奇异值是 \(B\) 的最小奇异值的倒数）。因此 \(\|(zI - A)^{-1}\| \geq \varepsilon^{-1}\) 当且仅当 \(\sigma_{\min}(zI - A) \leq \varepsilon\)。取严格不等号的细节需要注意：由于我们使用 \(\geq\) 和 \(<\)，需要用连续性论证统一。实际上，标准定义中两种形式（\(\geq\) vs \(>\)）会导致 \(\sigma_\varepsilon\) 是闭集或开集的差别；这里我们统一采用使 \(\sigma_\varepsilon\) 为开集的定义：\(\|(zI-A)^{-1}\| > \varepsilon^{-1}\)，或等价地 \(\sigma_{\min}(zI-A) < \varepsilon\)，或 \(\|E\| < \varepsilon\)。

\(S_2 = S_3\)：这是利用最小奇异值的变分特征： $\(\sigma_{\min}(zI - A) = \min_{\|E\|=1} \sigma_{\min}(zI - A - E \cdot \varepsilon / 1)\)$ 更精确地说，\(z \in \sigma(A + E)\) 当且仅当 \(\det(zI - A - E) = 0\)，即 \(zI - A - E\) 奇异，即 \(\sigma_{\min}(zI - A - E) = 0\)。

\(\sigma_{\min}(zI - A) < \varepsilon\) 意味着存在 \(\|E\| = \sigma_{\min}(zI - A) < \varepsilon\) 使得 \(zI - A - E\) 奇异（取 \(E\) 为使最小奇异值变为 \(0\) 的秩一扰动）。

反之，若存在 \(\|E\| < \varepsilon\) 使 \(z \in \sigma(A + E)\)，则 \(\sigma_{\min}(zI - A) \leq \sigma_{\min}(zI - A - E) + \|E\| = \|E\| < \varepsilon\)（注意 \(\sigma_{\min}(zI-A-E) = 0\)）。实际上更直接地，\(\sigma_{\min}(zI - A) \leq \|E\|\) 由 Weyl 不等式或直接由 \(\sigma_{\min}(B) \leq \sigma_{\min}(B - E) + \|E\|\) 得到。\(\blacksquare\)

例 43.2 (ε-伪谱的直观理解)

\(\varepsilon\)-伪谱的三种等价定义提供了三种互补的直观：

  1. 预解式观点：\(z\) 在伪谱中 \(\Leftrightarrow\) 预解式 \((zI - A)^{-1}\) 的范数很大 \(\Leftrightarrow\) \(zI - A\) 接近奇异。
  2. 扰动观点：\(z\) 在伪谱中 \(\Leftrightarrow\) \(z\) 是 \(A\) 某个小扰动的特征值 \(\Leftrightarrow\) \(z\) 是"几乎特征值"。
  3. 奇异值观点：\(z\) 在伪谱中 \(\Leftrightarrow\) \(zI - A\) 的最小奇异值很小。

43.3 伪谱的基本性质

核心问题：伪谱具有哪些几何和拓扑性质？正规与非正规矩阵的伪谱有何质的区别？

定理 43.3 (伪谱的基本性质)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，\(\varepsilon > 0\)。

  1. 嵌套性：\(0 < \varepsilon_1 < \varepsilon_2\) \(\Rightarrow\) \(\sigma(A) \subseteq \sigma_{\varepsilon_1}(A) \subseteq \sigma_{\varepsilon_2}(A)\)。
  2. 收敛到谱：\(\bigcap_{\varepsilon > 0} \sigma_\varepsilon(A) = \sigma(A)\)。
  3. 有界性：\(\sigma_\varepsilon(A) \subseteq \{z : |z| \leq \|A\| + \varepsilon\}\)。
  4. 连通性：\(\sigma_\varepsilon(A)\) 的每个连通分支至少包含一个特征值。
  5. 酉不变性：\(\sigma_\varepsilon(U^*AU) = \sigma_\varepsilon(A)\) 对任意酉矩阵 \(U\)。
  6. 平移性：\(\sigma_\varepsilon(A + \alpha I) = \sigma_\varepsilon(A) + \alpha\)。
证明

(1) 由定义直接得出：若 \(\|(zI - A)^{-1}\| \geq \varepsilon_1^{-1} > \varepsilon_2^{-1}\)，则自然有 \(\|(zI - A)^{-1}\| \geq \varepsilon_2^{-1}\)。

(2) \(z \in \bigcap_{\varepsilon > 0} \sigma_\varepsilon(A)\) 意味着对每个 \(\varepsilon > 0\)，\(\|(zI - A)^{-1}\| \geq \varepsilon^{-1}\)，即 \(\|(zI - A)^{-1}\| = \infty\)，即 \(z \in \sigma(A)\)。

(3) 若 \(|z| > \|A\| + \varepsilon\)，则 \(\|zI - A\| \geq |z| - \|A\| > \varepsilon\)，因此 \(\sigma_{\min}(zI - A) \geq |z| - \|A\| > \varepsilon\)，从而 \(z \notin \sigma_\varepsilon(A)\)。

(5) \(\|(zI - U^*AU)^{-1}\| = \|U^*(zI - A)^{-1}U\| = \|(zI - A)^{-1}\|\)。\(\blacksquare\)

定理 43.4 (正规矩阵的伪谱)

若 \(A\) 是正规矩阵，则

\[\sigma_\varepsilon(A) = \bigcup_{\lambda \in \sigma(A)} D(\lambda, \varepsilon) = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{dist}(z, \sigma(A)) < \varepsilon\},\]

即正规矩阵的 \(\varepsilon\)-伪谱恰好是谱的 \(\varepsilon\)-邻域。

证明

由定理 43.1，正规矩阵满足 \(\|(zI - A)^{-1}\| = 1/\operatorname{dist}(z, \sigma(A))\)。因此

\[z \in \sigma_\varepsilon(A) \Leftrightarrow \|(zI - A)^{-1}\| > \varepsilon^{-1} \Leftrightarrow \operatorname{dist}(z, \sigma(A)) < \varepsilon.\]

\(\blacksquare\)

例 43.3 (非正规矩阵的伪谱膨胀)

考虑 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。特征值为 \(\sigma(A) = \{0\}\)（重数 2）。

对于正规矩阵 \(B = 0_{2 \times 2}\)（也有 \(\sigma(B) = \{0\}\)），\(\sigma_\varepsilon(B) = D(0, \varepsilon)\)（半径 \(\varepsilon\) 的圆盘）。

但对于 \(A\)，\((zI - A)^{-1} = \begin{pmatrix} z^{-1} & -z^{-2} \\ 0 & z^{-1} \end{pmatrix}\)，

\[\|(zI - A)^{-1}\|_2 \geq \frac{1}{|z|^2}\]

（由 \((2,1)\) 元素的贡献）。因此当 \(|z|^2 < \varepsilon^{-1}\)，即 \(|z| < \varepsilon^{-1/2}\) 时可能有 \(z \in \sigma_\varepsilon(A)\)。

更精确地计算：\(\sigma_{\min}(zI - A) = \sigma_{\min}\begin{pmatrix} z & -1 \\ 0 & z \end{pmatrix}\)。奇异值的平方是 \(\frac{|z|^2 + 1/2 \pm \sqrt{(|z|^2 + 1/2)^2 - |z|^4}}{?}\)...

实际数值计算显示，\(\sigma_\varepsilon(A)\) 是大约半径为 \(\sqrt{\varepsilon}\) 的区域——远大于正规情形的 \(\varepsilon\)。这就是非正规性导致伪谱膨胀的典型现象。

例 43.4 (Grcar 矩阵的伪谱)

\(n \times n\) Grcar 矩阵 $\(G = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & & \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ & -1 & 1 & 1 & 1 & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & -1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & & -1 & 1 & 1 \\ & & & & & -1 & 1 \end{pmatrix}\)$ 是高度非正规的。其特征值（\(n = 32\)）大致分布在单位圆附近的某条曲线上，但 \(\varepsilon = 10^{-1}\) 的伪谱已经远远偏离了特征值的分布区域，呈现出显著的"腹地"（bulge）现象。

这说明 Grcar 矩阵的动力学行为（如 \(\|G^k\|\) 的增长）不能仅由特征值预测。

43.4 Kreiss 矩阵定理

核心问题：如何通过伪谱来判断矩阵幂 \(\|A^k\|\) 或矩阵指数 \(\|e^{tA}\|\) 的增长行为？

定义 43.4 (Kreiss 常数)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，谱半径 \(\rho(A) \leq 1\)。Kreiss 常数定义为

\[\mathcal{K}(A) = \sup_{|z| > 1} (|z| - 1) \|(zI - A)^{-1}\|.\]

等价地，\(\mathcal{K}(A)\) 衡量了伪谱向单位圆外膨胀的速度：\(\mathcal{K}(A) = \inf\{C : \sigma_\varepsilon(A) \subseteq D(0, 1 + C\varepsilon),\; \forall \varepsilon > 0\}\)。

定理 43.5 (Kreiss 矩阵定理)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)，\(\rho(A) \leq 1\)。则

\[\mathcal{K}(A) \leq \sup_{k \geq 0} \|A^k\| \leq en \cdot \mathcal{K}(A).\]

即 \(\|A^k\|\) 一致有界当且仅当 \(\mathcal{K}(A) < \infty\)，且有界的程度由 Kreiss 常数控制（虽然右侧有 \(n\) 的因子，这在某些情况下是不可去除的）。

证明

左侧不等式（\(\mathcal{K}(A) \leq \sup_k \|A^k\|\)）：

设 \(M = \sup_k \|A^k\|\)。对 \(|z| > 1\)， $\((zI - A)^{-1} = z^{-1}(I - z^{-1}A)^{-1} = z^{-1} \sum_{k=0}^{\infty} z^{-k} A^k.\)$ 因此 $\(\|(zI - A)^{-1}\| \leq |z|^{-1} \sum_{k=0}^{\infty} |z|^{-k} M = \frac{M}{|z| - 1}.\)$ 从而 \((|z| - 1)\|(zI - A)^{-1}\| \leq M\)，取上确界得 \(\mathcal{K}(A) \leq M\)。

右侧不等式（\(\sup_k \|A^k\| \leq en \cdot \mathcal{K}(A)\)）：

这个方向的证明更困难。思路是利用 Cauchy 积分公式 $\(A^k = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z| = r} z^k (zI - A)^{-1} dz\)$ （\(r > 1\)），然后优化 \(r\) 的选取。利用 \(\|(zI - A)^{-1}\| \leq \mathcal{K}(A)/(r - 1)\)，

\[\|A^k\| \leq \frac{r^{k+1} \mathcal{K}(A)}{r - 1}.\]

取 \(r = 1 + 1/k\) 最优化，得到 \(\|A^k\| \leq e(k+1)\mathcal{K}(A)\)。

更精细的分析（利用 \(A\) 是 \(n \times n\) 矩阵的事实和预解式的有理函数结构）可以将 \(k+1\) 替换为 \(n\)，得到最终结果。\(\blacksquare\)

例 43.5

对于 \(n \times n\) 上移位矩阵 $\(S = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix},\)$

\(\rho(S) = 0\)，\(S^n = 0\)，因此 \(\sup_k \|S^k\| = 1\)（因为 \(\|S^k\| = 1\) 对 \(k < n\) 和 \(\|S^k\| = 0\) 对 \(k \geq n\)）。

\(\mathcal{K}(S) = \sup_{|z|>1} (|z|-1) \|z^{-1}(I + z^{-1}S + \cdots + z^{-(n-1)}S^{n-1})\| \leq 1\)。

因此 Kreiss 定理给出 \(1 \leq \sup_k \|S^k\| \leq en\)，这里下界紧而上界松。

43.5 瞬态增长

核心问题：为什么特征值全在左半平面的矩阵仍然可能导致解的剧烈增长？

定义 43.5 (数值横截面)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)。\(A\) 的数值横截面（numerical abscissa）定义为

\[\alpha(A) = \max \operatorname{Re}\, \sigma\!\left(\frac{A + A^*}{2}\right) = \max_{\|x\|=1} \operatorname{Re}(x^* A x).\]

它等于数值域 \(W(A)\) 最右端的实部。

定理 43.6 (瞬态增长与数值横截面)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)。

  1. \(\frac{d}{dt} \|e^{tA}\| \Big|_{t=0^+} = \alpha(A)\)。
  2. 因此，\(\|e^{tA}\|\) 在 \(t = 0\) 附近增长当且仅当 \(\alpha(A) > 0\)。
  3. 这可以与谱横截面 \(\eta(A) = \max_i \operatorname{Re} \lambda_i\) 同时存在 \(\eta(A) < 0 < \alpha(A)\)——即长期衰减但短期增长。
证明

由 \(\|e^{tA}\|^2 = \|e^{tA} e^{tA^*}\| = \rho(e^{tA} e^{tA^*})\)（谱范数的平方等于 \(e^{tA} e^{tA^*}\) 的最大特征值），以及

\[e^{tA} e^{tA^*} = I + t(A + A^*) + O(t^2),\]

因此 \(\|e^{tA}\|^2 = 1 + 2t \cdot \alpha(A) + O(t^2)\)，从而

\[\|e^{tA}\| = 1 + t \cdot \alpha(A) + O(t^2),\]

即 \(\frac{d}{dt}\|e^{tA}\|\big|_{t=0^+} = \alpha(A)\)。\(\blacksquare\)

定理 43.7 (伪谱与瞬态增长的关系)

设 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)。

  1. 下界：\(\sup_{t \geq 0} \|e^{tA}\| \geq \frac{\eta_\varepsilon(A)}{\varepsilon}\)，其中 \(\eta_\varepsilon(A) = \sup\{\operatorname{Re} z : z \in \sigma_\varepsilon(A)\}\) 是 \(\varepsilon\)-伪谱横截面。
  2. Kreiss 型定理： $\(\sup_{\operatorname{Re} z > 0} \operatorname{Re}(z) \cdot \|(zI - A)^{-1}\| \leq \sup_{t \geq 0} \|e^{tA}\| \leq en \cdot \sup_{\operatorname{Re} z > 0} \operatorname{Re}(z) \cdot \|(zI - A)^{-1}\|.\)$
证明

(1) 若 \(z \in \sigma_\varepsilon(A)\) 且 \(\operatorname{Re} z > 0\)，则存在 \(\|E\| < \varepsilon\) 使得 \(z \in \sigma(A + E)\)，因此

\[\sup_{t \geq 0} \|e^{t(A+E)}\| \geq \lim_{t \to \infty} \frac{\|e^{t(A+E)}\|}{1} \geq \text{（包含 }e^{t \operatorname{Re} z}\text{ 的分量）}.\]

更直接地：\(\|e^{tA}\| \geq \|e^{t(A+E)}\| \cdot e^{-t\|E\|} \cdot e^{-t\varepsilon}\)...

精确的论证使用以下不等式：对 \(z \in \sigma_\varepsilon(A)\) 且 \(\operatorname{Re} z = \eta_\varepsilon(A) > 0\)， $\(\sup_{t \geq 0} \|e^{tA}\| \geq \frac{\eta_\varepsilon(A)}{\varepsilon}.\)$

这可以由 Laplace 变换的关系 \((zI - A)^{-1} = \int_0^\infty e^{-zt} e^{tA} dt\)（\(\operatorname{Re} z > \eta(A)\)）和范数估计得到。\(\blacksquare\)

例 43.6 (经典瞬态增长例子)

设 $\(A = \begin{pmatrix} -1 & 100 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.\)$

特征值：\(\lambda_1 = -1\)，\(\lambda_2 = -2\)。所有特征值实部为负，因此 \(e^{tA} \to 0\) 当 \(t \to \infty\)。

数值横截面：\(\alpha(A) = \max \operatorname{Re}\, \sigma\!\left(\frac{A + A^T}{2}\right) = \max \operatorname{Re}\, \sigma\begin{pmatrix} -1 & 50 \\ 50 & -2 \end{pmatrix}\)。

\(\frac{A + A^T}{2}\) 的特征值为 \(\frac{-3 \pm \sqrt{1 + 10000}}{2} \approx \frac{-3 \pm 100.005}{2}\)，即约 \(48.5\) 和 \(-51.5\)。

因此 \(\alpha(A) \approx 48.5 \gg 0\)：尽管所有特征值实部为负，\(\|e^{tA}\|\) 在 \(t = 0\) 附近以大约 \(48.5\) 的速率增长！

实际计算：\(e^{tA} = \begin{pmatrix} e^{-t} & 100(e^{-t} - e^{-2t}) \\ 0 & e^{-2t} \end{pmatrix}\)。

\(\|e^{tA}\|\) 的最大值发生在 \(t \approx \ln 2 \approx 0.693\) 时，\(\|e^{tA}\| \approx 25\)。

伪谱解释：\(\sigma_\varepsilon(A)\) 在 \(\varepsilon\) 很小时已经大幅延伸到右半平面。例如 \(\varepsilon = 0.5\) 时，伪谱横截面 \(\eta_{0.5}(A) \approx 12.5\)，因此 \(\sup_{t \geq 0} \|e^{tA}\| \geq 12.5/0.5 = 25\)。

43.6 伪谱的计算

核心问题：如何高效计算和可视化矩阵的伪谱？

定义 43.6 (伪谱等高线图)

\(A\) 的伪谱通常通过绘制函数 $\(z \mapsto \log_{10} \sigma_{\min}(zI - A)\)$ 的等高线图来可视化。等高线 \(\log_{10} \sigma_{\min}(zI - A) = \log_{10} \varepsilon\) 就是 \(\sigma_\varepsilon(A)\) 的边界。

定理 43.8 (网格方法的复杂度)

网格方法（grid method）：在复平面的 \(m \times m\) 网格上，对每个网格点 \(z_{ij}\) 计算 \(\sigma_{\min}(z_{ij}I - A)\)。

  1. 计算一个点的 \(\sigma_{\min}\) 需要 \(O(n^3)\) 操作（SVD）。
  2. 总复杂度为 \(O(m^2 n^3)\)。
  3. 利用 Schur 分解预处理可降至 \(O(n^3 + m^2 n^2)\)：先计算 \(A = QTQ^*\)，然后 \(\sigma_{\min}(zI - A) = \sigma_{\min}(zI - T)\)，上三角矩阵的最小奇异值可以用 \(O(n^2)\) 操作求解（求解三角方程组的逆迭代）。

例 43.7 (网格方法伪代码)

输入：矩阵 A ∈ ℂⁿˣⁿ，网格范围 [x_min, x_max] × [y_min, y_max]，网格密度 m
输出：σ_min 值的 m × m 矩阵

1. 计算 Schur 分解 A = QTQ*
2. 生成 m × m 网格点 z_{ij} = x_i + iy_j
3. 对每个 (i,j)：
   a. 形成 B = z_{ij}I - T（上三角）
   b. 计算 σ_min(B)（使用逆迭代或 SVD）
   c. 存储结果
4. 绘制 log₁₀(σ_min) 的等高线图

定理 43.9 (基于延拓的方法)

边界追踪法（continuation/path-following method）：给定特定的 \(\varepsilon\)，伪谱的边界 \(\partial \sigma_\varepsilon(A)\) 是一条（或多条）光滑曲线，可以用数值延拓方法追踪。

设 \(z(s)\) 是边界的弧长参数化，满足约束 \(\sigma_{\min}(z(s)I - A) = \varepsilon\)。初始点可以由特征值附近的局部分析给出。

该方法的优势是：

  • 只计算边界上的点，远少于全网格。
  • 适合绘制单一 \(\varepsilon\) 值的伪谱边界。

定理 43.10 (Lanczos 方法)

对于大规模稀疏矩阵，直接 SVD 不可行。可以使用：

  1. Lanczos 逼近：对每个网格点 \(z\)，用 Lanczos 方法估计 \(\sigma_{\min}(zI - A)\)。
  2. 投影方法：将问题投影到 Krylov 子空间上，在小维度空间中求解。
  3. 随机化方法：使用随机向量 \(v\)，估计 \(\|(zI - A)^{-1}v\| / \|v\|\) 作为 \(\|(zI - A)^{-1}\|\) 的下界。

EigTool（Trefethen 等人开发）是计算伪谱的标准软件工具，实现了上述多种算法。

43.7 应用

核心问题：伪谱理论如何帮助理解流体稳定性、迭代法收敛和数值 ODE 稳定性？

例 43.8 (流体动力学稳定性)

Orr-Sommerfeld 方程描述了平行流的线性稳定性。在 Couette 流和 Poiseuille 流中，相应的 Orr-Sommerfeld 算子 \(L\) 是高度非正规的。

对于平面 Couette 流（Reynolds 数 \(Re\)）：

  • 谱分析：对所有 \(Re\)，所有特征值都在左半平面。经典线性稳定性理论预测该流总是稳定的。
  • 实验：当 \(Re \gtrsim 350\) 时，流动变得不稳定。
  • 伪谱分析：\(\sigma_\varepsilon(L)\) 深入右半平面。伪谱横截面 \(\eta_\varepsilon(L) \sim Re\)，瞬态增长 \(\|e^{tL}\| \sim Re^2\)。

这解释了亚临界转捩（subcritical transition）现象：微小扰动可以在短时间内被放大 \(O(Re^2)\) 倍，足以触发非线性效应导致湍流。

例 43.9 (迭代法的收敛性)

考虑线性方程组 \(Ax = b\) 的 GMRES 迭代。经典收敛分析基于特征值分布：若特征值聚集在远离原点的小区域中，GMRES 应该快速收敛。

但是：对非正规矩阵，特征值分布可能完全误导。

定理（伪谱收敛界）：GMRES 第 \(k\) 步的残差满足

\[\frac{\|r_k\|}{\|r_0\|} \leq \inf_{p \in \mathcal{P}_k, p(0)=1} \sup_{z \in \sigma_\varepsilon(A)} |p(z)| + O(\varepsilon),\]

其中 \(\mathcal{P}_k\) 是次数不超过 \(k\) 的多项式集合。

因此，GMRES 的收敛速度由伪谱（而非谱）上的多项式逼近问题决定。

例 43.10 (数值 ODE 稳定性)

考虑 ODE \(y' = Ay\)（\(A\) 半离散化后的矩阵）用数值方法（如 Euler 法、Runge-Kutta 法）求解。

设数值方法的稳定域为 \(\mathcal{S}\)（复平面中使方法稳定的区域）。步长 \(h\) 下的稳定性条件是：

  • 经典分析：\(h \cdot \sigma(A) \subseteq \mathcal{S}\)。
  • 伪谱分析：应要求 \(h \cdot \sigma_\varepsilon(A) \subseteq \mathcal{S}\)（对适当的 \(\varepsilon\)）。

对非正规矩阵，伪谱可能远大于谱，因此实际需要的步长可能远小于经典分析的预测。

定理 43.11 (伪谱与矩阵指数的精确关系)

对任意 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)：

\[\sup_{t \geq 0} \|e^{tA}\| = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\alpha_\varepsilon(A)}{\varepsilon},\]

其中 \(\alpha_\varepsilon(A) = \max\{\operatorname{Re} z : z \in \sigma_\varepsilon(A)\}\) 是 \(\varepsilon\)-伪谱横截面。

等价地（对连续时间系统）：\(e^{tA}\) 一致有界当且仅当 \(\alpha_\varepsilon(A) \leq C\varepsilon\) 对所有 \(\varepsilon > 0\) 成立。

证明

利用 Laplace 变换和 Hille-Yosida 定理的有限维版本。

上界：由 \((zI - A)^{-1} = \int_0^\infty e^{-zt} e^{tA} dt\)（\(\operatorname{Re} z > \eta(A)\)），若 \(\operatorname{Re} z = \alpha > \eta(A)\)： $\(\|(zI - A)^{-1}\| \leq \int_0^\infty e^{-\alpha t} \|e^{tA}\| dt \leq \frac{M}{\alpha - \eta(A)},\)$ 其中 \(M = \sup_{t \geq 0} \|e^{tA}\| e^{-\eta(A) t}\)...

下界：若 \(z_0 \in \sigma_\varepsilon(A)\) 且 \(\operatorname{Re} z_0 = \alpha_\varepsilon(A) > 0\)，则存在 \(\|E\| < \varepsilon\) 使 \(z_0 \in \sigma(A + E)\)。因此 $\(\sup_{t \geq 0} \|e^{t(A+E)}\| \geq \sup_{t \geq 0} e^{t \operatorname{Re} z_0} = +\infty\)$ （若 \(\operatorname{Re} z_0 > 0\)）。但 \(\|e^{tA}\| \geq \|e^{t(A+E)}\| e^{-t\varepsilon}\)...

严格的证明需要更精细的 Kreiss 型估计。\(\blacksquare\)

例 43.11 (总结对比)

矩阵性质 正规矩阵 非正规矩阵
\(\sigma_\varepsilon(A)\) 谱的 \(\varepsilon\)-邻域 可能远大于 \(\varepsilon\)-邻域
\(\|(zI-A)^{-1}\|\) \(1/\operatorname{dist}(z, \sigma)\) 可能远大于 \(1/\operatorname{dist}(z, \sigma)\)
\(\|e^{tA}\|\) \(e^{t\eta(A)}\) 可能有巨大瞬态增长
\(\|p(A)\|\) $\max_\sigma p
迭代法收敛 由特征值决定 由伪谱决定

伪谱理论的核心启示是：对非正规矩阵，特征值不能独立预测矩阵的动力学行为；必须考虑预解式在整个复平面上的行为，即伪谱。