第 44 章 Weyr 标准形¶

前置：Jordan 标准形 (Ch12) · 幂零矩阵 · 不变子空间 (Ch42)

本章脉络：对角化与 Jordan 形的另一种选择 $\to$ Weyr 块 (Weyr Blocks) 的定义 $\to$ Weyr 标准形 (WCF) 的结构特点（大块对角阵） $\to$ 核心概念：Weyr 特征 (Weyr Characteristic) $\to$ 与 Jordan 特征的对偶关系（共轭分割） $\to$ WCF 的唯一性与存在性 $\to$ 在算子交换代数中的优势 $\to$ 应用：判定矩阵交换性、研究矩阵代数的维数、计算交换算子的共同标准形

延伸：Weyr 标准形是 Jordan 标准形的“对偶”；尽管 Jordan 形在微分方程中更直白，但 Weyr 形在处理矩阵交换性以及高级代数几何问题时具有更清晰的分层结构，是研究算子交换律的有力武器

在讨论方阵的相似标准形时，Jordan 形几乎占据了统治地位。然而，存在另一种同样重要且在某些代数性质上更具优势的结构——Weyr 标准形（Weyr Canonical Form, WCF）。与 Jordan 形将空间分解为互相独立的链不同，Weyr 形将同一特征值的各级广义特征空间进行了“横向”排列。这种结构使得矩阵与其交换算子之间的关系变得一目了然。

44.1 Weyr 块与 WCF 的定义¶

定义 44.1 (Weyr 块)

对应特征值 $\lambda$ 的 Weyr 块 是一个分块上三角阵： $$W = \begin{pmatrix} \lambda I_{n_1} & E_1 & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda I_{n_2} & E_2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda I_{n_k} \end{pmatrix}$$ 其中 $E_i = \begin{pmatrix} I_{n_{i+1}} \\ 0 \end{pmatrix}$。序列 $(n_1, n_2, \ldots, n_k)$ 称为 Weyr 特征。

44.2 Weyr 特征与 Jordan 特征¶

定理 44.1 (对偶性)

Jordan 特征：Jordan 块的阶数构成的分割。
Weyr 特征：Jordan 特征的共轭分割。例如：若 Jordan 块阶数为 $(2, 1)$，其 Weyr 特征为 $(2, 1)$。若 Jordan 块为 $(3)$，则 Weyr 特征为 $(1, 1, 1)$。

44.3 交换性应用¶

交换算子判据

一个矩阵 $X$ 与处于 Weyr 标准形的矩阵 $A$ 交换，当且仅当 $X$ 也是一个分块上三角阵且满足特定的块间兼容性。意义：Weyr 形让寻找共同不变子空间和计算交换代数维数变得非常简单。

练习题¶

1. [基础] 写出 $J_3(0)$ 的 Weyr 标准形。

参考答案

步骤： 1. $J_3(0)$ 只有一个阶数为 3 的块。其分割为 $(3)$。 2. 求共轭分割：将一行 3 个方格旋转为一列 3 个方格。 3. 结果为 $(1, 1, 1)$。 构造 Weyr 块： $W = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。结论：对于单个 Jordan 块，Weyr 形与 Jordan 形恰好相同。

2. [计算] 若 $A$ 有两个 1 阶 Jordan 块 $\operatorname{diag}(0, 0)$，写出其 Weyr 特征。

参考答案

分析： 1. Jordan 特征为 $(1, 1)$。 2. 共轭分割：两个高度为 1 的列合并为一列高度为 2。 3. 结果为 $(2)$。结论：Weyr 特征为 $(2)$。这意味着 Weyr 形将特征空间合并到了一个对角块中。

3. [结构] 描述 Weyr 块对角线上各恒等阵 $I_{n_i}$ 的维数关系。

参考答案

性质： 根据 Weyr 特征的递减性，$n_1 \ge n_2 \ge \cdots \ge n_k$。这反映了广义特征空间的核序列 $\ker(A-\lambda I)^i$ 的增量是单调不增的。

4. [对偶性] 已知 Jordan 块阶数为 $(2, 2, 1)$，计算其 Weyr 特征。

参考答案

计算步骤： 1. 画出杨表：第一行 2 格第二行 2 格第三行 1 格 2. 数每一列的格数：第一列：3 格第二列：2 格结论：Weyr 特征为 $(3, 2)$。

5. [唯一性] 为什么 WCF 也是唯一的？

参考答案

理由： 1. 矩阵的 Weyr 特征完全由秩序列 $\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k$ 唯一决定。 2. 由于秩是相似变换下的不变量，Weyr 特征也是不变量。 3. 只要规定了块的排列顺序（如按特征值大小），WCF 具有完美的唯一性。

6. [交换性] 若 $A$ 是 Weyr 形，且特征值互异，其交换阵 $X$ 有什么结构？

参考答案

结论： $X$ 必须是对角矩阵。因为当特征值互异时，每个 Weyr 块都是 $1 \times 1$ 的，整个矩阵退化为对角阵。与对角阵交换的阵必为对角阵（若对角元互异）。

7. [比较] Jordan 形与 Weyr 形的主要形态差异是什么？

参考答案

核心差异： - Jordan 形：强调“垂直”深度（Jordan 链的长度）。 - Weyr 形：强调“水平”宽度（每一级广义特征空间的维数）。 Weyr 形将相同阶数的广义特征向量归类在一起，使得算子的分层投影结构更清晰。

8. [幂零] 证明：若 $A$ 是幂零的，其 WCF 的对角元全为 0。

参考答案

证明： 1. 幂零矩阵的所有特征值均为 0。 2. WCF 的对角块由 $\lambda I_{n_i}$ 构成。 3. 代入 $\lambda = 0$，对角块全为零矩阵。

9. [维数] 若 $A$ 的 Weyr 特征为 $(n_1, \ldots, n_k)$，与其交换的矩阵构成的代数的维数是多少？

参考答案

公式： $\dim \mathcal{C}(A) = \sum_{i=1}^k (2i-1) n_i$。这展示了 Weyr 特征在精确计算算子中心化子维数方面的便捷性。

10. [应用] 在矩阵代数中，为什么 Weyr 形优于 Jordan 形？

参考答案

理由： Weyr 标准形是分块上三角的且其对角块是标量阵。这使得处理矩阵多项式和矩阵方程时，各块之间的相互作用遵循非常简单的代数法则，尤其在研究几个算子生成的代数结构时，Weyr 形能提供更清晰的基。

本章小结¶

Weyr 标准形是算子层级结构的完美呈现：

特征的共轭：通过与 Jordan 特征的共轭映射，Weyr 形证明了矩阵相似类具有两种互补的几何描述方式，拓宽了我们对算子退化性的理解。
交换性的地图：WCF 的分块三角结构为判定矩阵交换性提供了直观的几何判据，是处理交换算子族问题的首选工具。
代数的清晰性：通过将同一级的广义特征向量汇聚，Weyr 形简化了矩阵中心化子和子代数维数的计算，在高级表示论与矩阵分析中占据着不可替代的地位。