第 46 章 算子单调函数与矩阵均值¶
前置：正定矩阵(Ch16) · 矩阵函数(Ch13) · 矩阵不等式(Ch18)
本章脉络：Löwner 偏序回顾 → 算子单调函数 → Löwner 定理（积分表示）→ 算子凸/凹函数 → 矩阵均值公理化 → Kubo-Ando 理论 → 矩阵几何均值
延伸：矩阵几何均值在医学影像（扩散张量 MRI 的张量平均）、雷达信号处理（协方差矩阵的 Riemannian 均值）和量子信息（量子态的保真度）中有直接应用
当我们将标量函数推广到矩阵函数时，许多在标量世界中显而易见的性质可能不再成立。最典型的例子是：对正实数，\(a \geq b > 0\) 意味着 \(a^2 \geq b^2\)，但对正定矩阵，\(A \succeq B \succ 0\) 不意味着 \(A^2 \succeq B^2\)。这个看似简单的观察引出了一个深刻的问题：哪些函数保持矩阵偏序？
Löwner 在 1934 年的开创性工作中完全回答了这个问题：一个定义在正实数上的连续函数保持所有大小矩阵的偏序，当且仅当它具有特定的积分表示——即它是一个 Pick 函数（在上半平面取正虚部值的解析函数）。
本章从算子单调函数出发，到 Löwner 的积分表示定理，再到矩阵均值的公理化理论（Kubo-Ando 理论），最终深入讨论矩阵几何均值及其美丽的性质。
46.1 Löwner 偏序回顾¶
核心问题：正定矩阵上的偏序关系具有哪些基本性质？它与标量序有何本质区别？
定义 46.1 (Löwner 偏序)
设 \(A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 为 Hermite 矩阵。定义 Löwner 偏序：
严格版本：\(A \succ B \Leftrightarrow A - B\) 正定。
特别地，\(A \succeq 0\) 表示 \(A\) 半正定，\(A \succ 0\) 表示 \(A\) 正定。
定理 46.1 (Löwner 偏序的基本性质)
Löwner 偏序是 Hermite 矩阵集合上的偏序关系，但不是全序。具体性质：
- 自反性：\(A \succeq A\)。
- 反对称性：\(A \succeq B\) 且 \(B \succeq A\) \(\Rightarrow\) \(A = B\)。
- 传递性：\(A \succeq B\) 且 \(B \succeq C\) \(\Rightarrow\) \(A \succeq C\)。
- 不是全序：存在 \(A, B\) 使得 \(A \not\succeq B\) 且 \(B \not\succeq A\)。
- 合同不变：\(A \succeq B\) \(\Rightarrow\) \(C^*AC \succeq C^*BC\) 对任意 \(C\)。
- 加法保持：\(A \succeq B\) 且 \(C \succeq D\) \(\Rightarrow\) \(A + C \succeq B + D\)。
- 乘法不保持：\(A \succeq B \succeq 0\) 不意味着 \(A^2 \succeq B^2\)。
证明
(7) 反例：\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。
\(A - B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \succeq 0\)（特征值 \(0, 2\)），因此 \(A \succeq B \succeq 0\)。
\(A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\)，\(B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)。
\(A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\)，\(\det(A^2 - B^2) = 8 - 9 = -1 < 0\)。
因此 \(A^2 - B^2\) 不是半正定的，即 \(A^2 \not\succeq B^2\)。\(\blacksquare\)
例 46.1 (Löwner 偏序的反直觉)
以下标量性质在矩阵中失效：
| 标量性质 | 矩阵版本 |
|---|---|
| \(a \geq b > 0 \Rightarrow a^2 \geq b^2\) | \(A \succeq B \succ 0 \not\Rightarrow A^2 \succeq B^2\) |
| \(a \geq b > 0 \Rightarrow 1/b \geq 1/a\) | \(A \succeq B \succ 0 \Rightarrow B^{-1} \succeq A^{-1}\) (成立！) |
| \(a \geq b > 0 \Rightarrow \sqrt{a} \geq \sqrt{b}\) | \(A \succeq B \succ 0 \Rightarrow A^{1/2} \succeq B^{1/2}\) (成立！) |
| \(a \geq b > 0 \Rightarrow e^a \geq e^b\) | \(A \succeq B \not\Rightarrow e^A \succeq e^B\) |
保持偏序的函数（如 \(t^{1/2}\)、\(t^{-1}\)）和不保持的（如 \(t^2\)、\(e^t\)）之间的精确分界，正是算子单调性理论要回答的问题。
46.2 算子单调函数¶
核心问题：哪些函数将矩阵偏序保持为矩阵偏序？
定义 46.2 (算子单调函数)
设 \(I \subseteq \mathbb{R}\) 是区间。连续函数 \(f: I \to \mathbb{R}\) 称为算子单调函数（operator monotone function），如果对任意正整数 \(n\) 和谱在 \(I\) 中的 Hermite 矩阵 \(A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}\)：
若只对固定的 \(n\) 要求，则称 \(f\) 是\(n\)-单调的（\(n\)-monotone）。显然算子单调 \(\Rightarrow\) \(n\)-单调对每个 \(n\) \(\Rightarrow\) \(1\)-单调（即标量单调）。
定理 46.2 (算子单调函数的例子)
- \(f(t) = t^r\)（\(0 < r \leq 1\)）在 \([0, \infty)\) 上是算子单调的（Löwner-Heinz 不等式）。
- \(f(t) = \log t\) 在 \((0, \infty)\) 上是算子单调的。
- \(f(t) = \frac{t}{1 + t}\) 在 \([0, \infty)\) 上是算子单调的。
- \(f(t) = \frac{t - 1}{t + 1}\) 在 \((0, \infty)\) 上是算子单调的。
- \(f(t) = t^r\)（\(r > 1\)）在 \([0, \infty)\) 上不是算子单调的。
- \(f(t) = e^t\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不是算子单调的。
证明
(1) Löwner-Heinz 不等式的证明（\(f(t) = t^r\)，\(0 < r \leq 1\)）：
步骤 1：先证 \(r = 1/2\) 的情形：\(A \succeq B \succeq 0 \Rightarrow A^{1/2} \succeq B^{1/2}\)。
利用反证法和连续性论证。设 \(A \succeq B \succeq 0\)。对于 \(A \succ 0\) 的情形（一般情形由逼近得到），考虑函数 \(g(t) = A^{1/2} - (A - tC)^{1/2}\)（\(C = A - B \succeq 0\)），\(t \in [0, 1]\)。 需要证明 \(g(1) = A^{1/2} - B^{1/2} \succeq 0\)。
另一种证明方法使用积分表示： $\(A^{1/2} - B^{1/2} = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[(A + tI)^{-1} - (B + tI)^{-1}\right] \frac{dt}{\sqrt{t}},\)$
而由 \(A \succeq B \succeq 0\)，\((B + tI)^{-1} \succeq (A + tI)^{-1}\)（逆是算子反单调的），因此被积函数... 等一下，这个方向不对。
正确的积分表示是： $\(A^{1/2} = \frac{2}{\pi} \int_0^\infty A(A + t^2 I)^{-1} dt = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \frac{\sqrt{s}}{s} \left[I - s(A + sI)^{-1}\right] ds.\)$
更直接的方法：利用 \(t^{1/2} = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty \frac{t}{t + s} \cdot \frac{ds}{\sqrt{s}}\)（对 \(t > 0\)）。
因此 \(A^{1/2} = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty A(A + sI)^{-1} \frac{ds}{\sqrt{s}}\)。
由 \(A \succeq B\)，\(A(A + sI)^{-1} \succeq B(B + sI)^{-1}\) 可以由代数运算验证（利用 \(t/(t+s)\) 在 \(t > 0\) 上的单调性和矩阵版本），从而积分后得到 \(A^{1/2} \succeq B^{1/2}\)。
步骤 2：对一般 \(0 < r \leq 1\)，由 \(r = r/1\) 和插值不等式。具体地，\(A^r = (A^{2r})^{1/2}\)... 这不够直接。
更好的方法是使用积分表示 \(t^r = c_r \int_0^\infty \frac{t}{t + s} s^{r-1} ds\)（\(0 < r < 1\)），然后同步骤 1 类似的论证。\(\blacksquare\)
例 46.2 (Löwner-Heinz 不等式的应用)
设 \(A, B \succ 0\)，\(A \succeq B\)。则对 \(0 < r \leq 1\)：
但对 \(r > 1\)：\(A^r \succeq B^r\) 不一定成立。
数值例子：\(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
\(A - B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \succeq 0\)。
\(A^{1/2} \approx \begin{pmatrix} 1.640 & 0.354 \\ 0.354 & 1.287 \end{pmatrix}\)，\(B^{1/2} = \begin{pmatrix} 1.414 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
\(A^{1/2} - B^{1/2} \approx \begin{pmatrix} 0.226 & 0.354 \\ 0.354 & 0.287 \end{pmatrix}\)，特征值约 \(0.587, -0.074\)... 这说明需要重新计算。
实际上 Löwner-Heinz 不等式是成立的，让我选择更清晰的例子。取 \(A = 4I\)，\(B = I\)。则 \(A - B = 3I \succ 0\)，\(A^{1/2} - B^{1/2} = 2I - I = I \succ 0\)。\(A^2 - B^2 = 16I - I = 15I \succ 0\)（在这个交换的例子中乘幂也保持序）。
非交换例子更为微妙，是算子单调理论的核心。
46.3 Löwner 定理¶
核心问题：算子单调函数的完整刻画是什么？
定理 46.3 (Löwner 定理)
设 \(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}\) 是连续函数。则 \(f\) 是算子单调的当且仅当 \(f\) 具有以下积分表示：
其中 \(a \in \mathbb{R}\)，\(b \geq 0\)，\(\mu\) 是 \([0, \infty)\) 上的正 Borel 测度，满足 \(\int_0^\infty \frac{d\mu(s)}{1 + s} < \infty\)。
等价地，\(f\) 是算子单调的当且仅当 \(f\) 可以解析延拓到上半平面 \(\mathbb{C}^+ = \{z : \operatorname{Im} z > 0\}\)，并且映射 \(\mathbb{C}^+\) 到 \(\overline{\mathbb{C}^+}\)（上半平面的闭包），即 \(f\) 是一个 Pick 函数（Nevanlinna-Pick 函数）。
证明
证明梗概：
必要性（算子单调 \(\Rightarrow\) Pick 函数）：
\(f\) 是算子单调意味着 \(f\) 对每个 \(n\) 都是 \(n\)-单调的。\(n\)-单调性可以用 Löwner 矩阵 刻画：
定义 \(n\) 阶 Löwner 矩阵为 \(L_n(f; t_1, \ldots, t_n) = \left[\frac{f(t_i) - f(t_j)}{t_i - t_j}\right]_{i,j=1}^{n}\)（差商矩阵）。
Löwner 判据：\(f\) 是 \(n\)-单调的当且仅当对所有不同的 \(t_1, \ldots, t_n \in I\)，Löwner 矩阵 \(L_n \succeq 0\)（半正定）。
由 \(L_n \succeq 0\) 对所有 \(n\)，利用 Hamburger 矩量问题的理论，可以推导出 \(f\) 在实轴上的差商具有正定的核结构，从而（通过 Herglotz-Nevanlinna 表示定理）\(f\) 可以延拓为 Pick 函数。
充分性（Pick 函数 \(\Rightarrow\) 算子单调）：
若 \(f\) 有积分表示 \(f(t) = a + bt + \int \frac{t}{t+s} d\mu(s) + \text{常数调整}\)，只需验证每个"原子"\(g_s(t) = \frac{t}{t+s}\) 是算子单调的。
对 Hermite 矩阵 \(A \succeq B \succeq 0\)，\(g_s(A) = A(A + sI)^{-1}\)，\(g_s(B) = B(B + sI)^{-1}\)。
需要证明 \(A(A + sI)^{-1} \succeq B(B + sI)^{-1}\)。
这等价于 \(I - s(A + sI)^{-1} \succeq I - s(B + sI)^{-1}\)，即 \(s(B + sI)^{-1} \succeq s(A + sI)^{-1}\)，即 \((B + sI)^{-1} \succeq (A + sI)^{-1}\)。
而由 \(A \succeq B\)，\(A + sI \succeq B + sI \succ 0\)，因此（逆的反单调性）\((B + sI)^{-1} \succeq (A + sI)^{-1}\)。
逐积分后得到 \(f(A) \succeq f(B)\)。\(\blacksquare\)
定义 46.3 (Pick 函数)
函数 \(f\) 称为 Pick 函数（也叫 Nevanlinna 函数、Herglotz 函数），如果：
- \(f\) 在上半平面 \(\mathbb{C}^+\) 上解析。
- \(\operatorname{Im} f(z) \geq 0\) 当 \(\operatorname{Im} z > 0\)。
Pick 函数与算子单调函数一一对应（通过到实轴的限制/从实轴的延拓）。
例 46.3 (验证 Pick 函数)
-
\(f(t) = t^r\)（\(0 < r < 1\)）：\(f(z) = z^r = e^{r \log z}\)（取上半平面中的主值分支）。\(\operatorname{Im}(z^r) = |z|^r \sin(r \arg z)\)。由于 \(0 < \arg z < \pi\) 且 \(0 < r < 1\)，有 \(0 < r \arg z < \pi\)，因此 \(\sin(r \arg z) > 0\)，即 \(\operatorname{Im}(z^r) > 0\)。\(f\) 是 Pick 函数。
-
\(f(t) = \log t\)：\(f(z) = \log z = \log|z| + i \arg z\)。\(\operatorname{Im}(\log z) = \arg z \in (0, \pi)\) 当 \(\operatorname{Im} z > 0\)。\(f\) 是 Pick 函数。
-
\(f(t) = t^2\)：\(f(z) = z^2\)。取 \(z = 1 + i\)，\(z^2 = 2i\)，\(\operatorname{Im}(z^2) = 2 > 0\)。但取 \(z = 1 + 2i\)，\(z^2 = 1 - 4 + 4i = -3 + 4i\)，\(\operatorname{Im}(z^2) = 4 > 0\)。然而取 \(z = i + \varepsilon\)（\(\varepsilon\) 小正数），\(z^2 = -1 + 2\varepsilon i + \varepsilon^2 \approx -1 + 2\varepsilon i\)，\(\operatorname{Im}(z^2) = 2\varepsilon > 0\)...
实际上 \(f(t) = t^2\) 的延拓 \(z^2\) 确实将上半平面映入上半平面（\(\operatorname{Im}(z^2) = 2xy > 0\) 当 \(x > 0, y > 0\) 或 \(x < 0, y > 0\)... 不对，\(z = -1 + i\) 时 \(z^2 = 1 - 1 - 2i = -2i\)，\(\operatorname{Im} = -2 < 0\)）。
因此 \(t^2\) 不是 Pick 函数，与其不是算子单调的一致。
46.4 算子凸与算子凹函数¶
核心问题：除了保持偏序，哪些函数保持矩阵的"凸性结构"？
定义 46.4 (算子凸与算子凹函数)
连续函数 \(f: I \to \mathbb{R}\) 称为算子凸（operator convex），如果对谱在 \(I\) 中的 Hermite 矩阵 \(A, B\) 和 \(\lambda \in [0, 1]\)：
\(f\) 称为算子凹（operator concave），如果 \(-f\) 算子凸。
定理 46.4 (算子凸/凹函数的例子)
- \(f(t) = t^r\)（\(1 \leq r \leq 2\)）在 \([0, \infty)\) 上是算子凸的。
- \(f(t) = t^r\)（\(0 \leq r \leq 1\)）在 \([0, \infty)\) 上是算子凹的。
- \(f(t) = \log t\) 在 \((0, \infty)\) 上是算子凹的。
- \(f(t) = t^{-1}\) 在 \((0, \infty)\) 上是算子凸的。
- \(f(t) = e^t\) 在 \(\mathbb{R}\) 上既不是算子凸也不是算子凹的（虽然标量上它是凸的）。
定理 46.5 (Jensen 算子不等式)
设 \(f\) 是算子凸函数，\(C_1, \ldots, C_k\) 是满足 \(\sum_{i=1}^{k} C_i^*C_i = I\) 的算子（量子信道或算子凸组合权重）。则
特别地，取 \(k = 1\)，\(C_1 = V\)（等距算子，\(V^*V = I\)）： $\(f(V^*AV) \preceq V^*f(A)V.\)$
证明
对 \(k = 2\)，\(C_1 = \sqrt{\lambda} I\)，\(C_2 = \sqrt{1-\lambda} I\)，\(A_1 = A\)，\(A_2 = B\)，回到算子凸的定义。
一般情形可以通过归纳法和算子凸性的等价刻画来证明。一个关键工具是Choi 矩阵和完全正映射的表示定理。\(\blacksquare\)
定理 46.6 (算子凸与算子单调的关系)
- 若 \(f\) 在 \((0, \infty)\) 上算子凸，则 \(f'\) 存在且是算子单调的。
- 若 \(f\) 在 \([0, \infty)\) 上算子单调且 \(f(0) \leq 0\)，则 \(f\) 是算子凹的。
46.5 矩阵均值的公理化¶
核心问题：如何公理化地定义两个正定矩阵的"均值"？
定义 46.5 (Kubo-Ando 矩阵均值)
矩阵均值（matrix mean）是正定矩阵对 \((A, B)\) 上的二元运算 \(\sigma\)，\(A \sigma B\) 仍是正定矩阵，满足以下公理：
(M1) 单调性：\(A \preceq A'\)，\(B \preceq B'\) \(\Rightarrow\) \(A \sigma B \preceq A' \sigma B'\)。
(M2) 变换不等式：\(C^*(A \sigma B)C \preceq (C^*AC) \sigma (C^*BC)\)，对任意 \(C\)。
(M3) 从上连续：\(A_n \downarrow A\)，\(B_n \downarrow B\) \(\Rightarrow\) \(A_n \sigma B_n \downarrow A \sigma B\)。
(M4) 归一化：\(I \sigma I = I\)。
定理 46.7 (Kubo-Ando 定理)
矩阵均值 \(\sigma\) 与 \([0, \infty)\) 上的算子单调函数 \(f\)（\(f(1) = 1\)）之间存在一一对应：
反过来，\(f(t) = I \sigma (tI)\)。
因此矩阵均值的分类等价于归一化的算子单调函数的分类。
证明
从均值到函数：定义 \(f(t) = 1 \sigma t\)（标量情形）。由公理 (M2) 取 \(C = A^{-1/2}\)： $\(A^{-1/2}(A \sigma B) A^{-1/2} \preceq (A^{-1/2}AA^{-1/2}) \sigma (A^{-1/2}BA^{-1/2}) = I \sigma (A^{-1/2}BA^{-1/2}).\)$
结合 (M1) 的上下界和 (M3) 的连续性，可以证明等号成立（在适当条件下），从而 $\(A \sigma B = A^{1/2} f(A^{-1/2}BA^{-1/2}) A^{1/2}.\)$
从函数到均值：给定算子单调函数 \(f\)（\(f(1) = 1\)），定义 \(A \sigma B = A^{1/2} f(A^{-1/2}BA^{-1/2}) A^{1/2}\)。验证四个公理：
- (M1)：利用 \(f\) 的算子单调性。
- (M2)：利用 \(f\) 的算子凹性（算子单调函数在 \([0,\infty)\) 上且 \(f(0) \geq 0\) 时是算子凹的）。
- (M3)：由 \(f\) 的连续性。
- (M4)：\(I \sigma I = f(I) = f(1) \cdot I = I\)。\(\blacksquare\)
例 46.4 (经典矩阵均值与对应函数)
| 均值名称 | 运算 \(A \sigma B\) | 对应函数 \(f(t)\) |
|---|---|---|
| 算术均值 \(\nabla\) | \(\frac{A + B}{2}\) | \(\frac{1 + t}{2}\) |
| 调和均值 \(!\) | \(2(A^{-1} + B^{-1})^{-1}\) | \(\frac{2t}{1 + t}\) |
| 几何均值 \(\#\) | \(A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}\) | \(t^{1/2}\) |
| 对数均值 | \(A^{1/2}\frac{A^{-1/2}BA^{-1/2} - I}{\log(A^{-1/2}BA^{-1/2})}A^{1/2}\) | \(\frac{t - 1}{\log t}\) |
46.6 经典矩阵均值¶
核心问题：算术、调和、几何均值在矩阵情形如何定义？它们保持哪些性质？
定义 46.6 (矩阵算术均值)
更一般地，带权重 \(t \in [0, 1]\) 的算术均值： $\(A \nabla_t B = (1 - t)A + tB.\)$
定义 46.7 (矩阵调和均值)
等价形式：\(A \,!\, B = \left(\frac{A^{-1} + B^{-1}}{2}\right)^{-1}\)。
带权重版本：\(A \,!_t\, B = \left[(1-t)A^{-1} + tB^{-1}\right]^{-1}\)。
定义 46.8 (矩阵几何均值)
对正定矩阵 \(A, B \succ 0\)，定义矩阵几何均值为
带权重版本（\(t \in [0, 1]\)）： $\(A \#_t B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^t A^{1/2}.\)$
注意 \(A \#_0 B = A\)，\(A \#_1 B = B\)，\(A \#_{1/2} B = A \# B\)。
定理 46.8 (几何均值的等价定义)
\(A \# B\) 是以下 Riccati 方程的唯一正定解 \(X\)：
等价地，\(A \# B\) 是满足 \(X \succ 0\) 且 \(A^{-1}X^2 = B\)（即 \(X = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}\)）的唯一解。
证明
设 \(X = A \# B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}\)。则
唯一性：设 \(X\) 和 \(Y\) 都是正定解。则 \(XA^{-1}X = YA^{-1}Y = B\)，因此 \(XA^{-1}X = YA^{-1}Y\)。由正定矩阵的唯一正平方根性质，可以推出 \(X = Y\)。\(\blacksquare\)
46.7 矩阵几何均值的性质¶
核心问题：矩阵几何均值满足哪些代数和序性质？如何推广到多个矩阵？
定理 46.9 (矩阵几何均值的性质)
设 \(A, B \succ 0\)。矩阵几何均值 \(A \# B\) 满足：
- 对称性：\(A \# B = B \# A\)。
- 自反性：\(A \# A = A\)。
- 逆的兼容：\((A \# B)^{-1} = A^{-1} \# B^{-1}\)。
- 合同不变：\(C^*(A \# B)C = (C^*AC) \# (C^*BC)\)，对可逆 \(C\)。
- 行列式：\(\det(A \# B) = \sqrt{\det(A) \cdot \det(B)}\)（即行列式的几何均值）。
- 单调性：\(A \preceq A'\)，\(B \preceq B'\) \(\Rightarrow\) \(A \# B \preceq A' \# B'\)。
- 凹性：\(\lambda(A \# B) + (1-\lambda)(A' \# B') \preceq (\lambda A + (1-\lambda)A') \# (\lambda B + (1-\lambda)B')\)。
证明
(1) 对称性：需要证明 \(A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2} = B^{1/2}(B^{-1/2}AB^{-1/2})^{1/2}B^{1/2}\)。
设 \(X = A \# B\)。由 Riccati 方程，\(XA^{-1}X = B\)，因此 \(XB^{-1}X = X(XA^{-1}X)^{-1}X = X \cdot X^{-1}AX^{-1} \cdot X = A\)。这说明 \(X\) 也是 \(YB^{-1}Y = A\) 的正定解，即 \(X = B \# A\)。
(3) \((A \# B)^{-1} = A^{-1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{-1/2}A^{-1/2} = A^{-1/2}(A^{1/2}B^{-1}A^{1/2})^{1/2}A^{-1/2} = A^{-1} \# B^{-1}\)。
最后一步由于 \((A^{-1/2}BA^{-1/2})^{-1/2} = (A^{1/2}B^{-1}A^{1/2})^{1/2}\)。
(4) \(C^*(A \# B)C = C^* A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2} C\)。设 \(D = A^{1/2}C\)，则 \(C^*AC = D^*D\)... 这需要更仔细的代数。
直接验证 Riccati 方程：设 \(Y = C^*(A \# B)C\)，则 $\(Y(C^*AC)^{-1}Y = C^*(A\#B)C \cdot C^{-1}A^{-1}(C^*)^{-1} \cdot C^*(A\#B)C = C^*(A\#B)A^{-1}(A\#B)C = C^*BC,\)$ 即 \(Y\) 满足 \(Y(C^*AC)^{-1}Y = C^*BC\)，因此 \(Y = (C^*AC) \# (C^*BC)\)。
(5) 由 \(\det(A\#B) = \det(A^{1/2}) \cdot \det((A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}) \cdot \det(A^{1/2})\) \(= \det(A) \cdot \det(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2} = \det(A) \cdot (\det(A)^{-1}\det(B))^{1/2} = \det(A)^{1/2}\det(B)^{1/2}\)。\(\blacksquare\)
定理 46.10 (算术-几何-调和均值不等式)
对正定矩阵 \(A, B \succ 0\)：
即
这是标量不等式 \(\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\) 的矩阵推广。
证明
右侧（\(A \# B \preceq A \nabla B\)）：利用算子凹性。\(f(t) = t^{1/2}\) 是算子凹的，因此
取 \(T = A^{-1/2}BA^{-1/2}\)，两侧乘以 \(A^{1/2}\)：
但这不是我们要的形式。更直接的方法：
由 \(t^{1/2}\) 算子凹：\((A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2} \preceq \frac{I + A^{-1/2}BA^{-1/2}}{2}\)... 不对，这不是算子凹的含义。
正确的证明：需要证明 \(A \# B \preceq A \nabla B\)，即
设 \(T = A^{-1/2}BA^{-1/2} \succ 0\)。需要证明 \(T^{1/2} \preceq \frac{I + T}{2}\)，即 \(I + T - 2T^{1/2} \succeq 0\)，即 \((I - T^{1/2})^2 \succeq 0\)。这显然成立！
左侧（\(A \,!\, B \preceq A \# B\)）：由逆的兼容性和右侧不等式，\((A \# B)^{-1} = A^{-1} \# B^{-1} \preceq \frac{A^{-1} + B^{-1}}{2} = (A \,!\, B)^{-1}\)。
取逆（逆的反单调性），\((A \,!\, B) \preceq (A \# B)\)。\(\blacksquare\)
定理 46.11 (Ando-Li-Mathias 多变量几何均值)
对 \(k\) 个正定矩阵 \(A_1, \ldots, A_k \succ 0\)，多变量矩阵几何均值 \(G(A_1, \ldots, A_k)\) 可以通过以下迭代定义（Ando-Li-Mathias 方法）：
设 \(A_i^{(0)} = A_i\)。递归定义 $\(A_i^{(r+1)} = G_2(A_1^{(r)}, \ldots, A_{i-1}^{(r)}, A_{i+1}^{(r)}, \ldots, A_k^{(r)}),\)$ 其中 \(G_2\) 是某种 \((k-1)\) 变量的中间均值运算。更简单的版本是：
然后 \(A_i^{(r)} \to G\) 对所有 \(i\)（收敛到同一极限）。
更实用的定义是 Karcher 均值（Riemannian 重心）： $\(G = \arg\min_{X \succ 0} \sum_{i=1}^{k} d^2(X, A_i),\)$ 其中 \(d(X, Y) = \|\log(X^{-1/2}YX^{-1/2})\|_F\) 是正定矩阵流形上的 Riemannian 距离。
例 46.5 (矩阵均值在扩散张量成像中的应用)
在扩散张量磁共振成像（DTI）中，每个体素的扩散张量是一个 \(3 \times 3\) 正定矩阵 \(D\)。对张量进行平均（如图像平滑、区域统计）时：
- 算术均值 \(\bar{D} = \frac{1}{k}\sum D_i\)：计算简单，但可能导致"膨胀效应"（\(\det(\bar{D}) > \overline{\det(D_i)}\)）。
- 几何均值（Karcher 均值）：保持行列式的几何均值，没有膨胀效应，但计算更复杂（需要迭代算法）。
- 调和均值：有"收缩效应"。
算术-几何-调和不等式 \(A \,!\, B \preceq A \# B \preceq A \nabla B\) 在此有直接的物理意义：几何均值是算术均值和调和均值之间的最佳折中。