第 49 章外代数与 Grassmannian¶

前置：向量空间 (Ch4) · 线性变换 (Ch5) · 多线性代数 (Ch21) · 行列式 (Ch3)

本章脉络：外积（楔积）→ 外幂空间 \(\Lambda^k(V)\) → 交替多线性映射 → 行列式作为顶外幂 → 复合矩阵 → Grassmannian → Plücker 坐标 → 外代数的万有性质

延伸：外代数是微分形式（现代微分几何和物理学的语言）的代数基础；Grassmannian 是代数几何和优化（子空间跟踪）中的核心对象；复合矩阵给出了特征值乘积的不等式

向量空间中的标量积 \(\langle u, v \rangle\) 衡量两个向量的"对齐程度"。但很多几何对象——面积、体积、通量——本质上需要一种反对称的乘法运算。两个向量 \(u, v\) 张成的平行四边形的（有向）面积，不能用点积或矩阵乘法自然表达，却恰好由楔积（wedge product）\(u \wedge v\) 完美捕捉。

外代数（exterior algebra）系统地构建了这种反对称乘法。它不仅为行列式提供了最自然的定义，还引出了 Grassmannian——参数化所有 \(k\) 维子空间的几何对象。从微分形式到代数几何中的 Schubert 演算，外代数的影响无处不在。

49.1 外积的定义¶

核心问题：如何定义一种反对称的向量乘法？它与行列式有什么关系？

定义 49.1 (外积 / 楔积)

设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间。两个向量 \(u, v \in V\) 的外积（或楔积，wedge product）\(u \wedge v\) 是一个满足以下性质的抽象对象：

双线性：\((au_1 + bu_2) \wedge v = a(u_1 \wedge v) + b(u_2 \wedge v)\)，\(u \wedge (av_1 + bv_2) = a(u \wedge v_1) + b(u \wedge v_2)\)；
反对称性：\(u \wedge u = 0\)，对所有 \(u \in V\)。

由反对称性立即推出交替性（当 \(\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2\) 时两者等价）：

\[u \wedge v = -(v \wedge u).\]

这是因为 \(0 = (u+v) \wedge (u+v) = u \wedge u + u \wedge v + v \wedge u + v \wedge v = u \wedge v + v \wedge u\)。

例 49.1 (平面中的楔积)

设 \(V = \mathbb{R}^2\)，\(e_1 = (1,0)\)，\(e_2 = (0,1)\)。对 \(u = a_1 e_1 + a_2 e_2\)，\(v = b_1 e_1 + b_2 e_2\)：

\[u \wedge v = (a_1 e_1 + a_2 e_2) \wedge (b_1 e_1 + b_2 e_2) = a_1 b_2 (e_1 \wedge e_2) + a_2 b_1 (e_2 \wedge e_1)\]

\[= (a_1 b_2 - a_2 b_1)(e_1 \wedge e_2).\]

系数 \(a_1 b_2 - a_2 b_1 = \det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\) 正好是 \(u, v\) 张成的平行四边形的有向面积。

例 49.2 (楔积的几何意义)

在 \(\mathbb{R}^3\) 中，设 \(u = (1, 0, 0)\)，\(v = (0, 1, 0)\)，\(w = (0, 0, 1)\)。

\[u \wedge v = e_1 \wedge e_2, \quad u \wedge w = e_1 \wedge e_3, \quad v \wedge w = e_2 \wedge e_3.\]

\[u \wedge v \wedge w = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3,\]

这个三重楔积代表 \(u, v, w\) 围成的平行六面体的有向体积。

对一般的 \(u = (u_1, u_2, u_3)\)，\(v = (v_1, v_2, v_3)\)：

\[u \wedge v = (u_1 v_2 - u_2 v_1)(e_1 \wedge e_2) + (u_1 v_3 - u_3 v_1)(e_1 \wedge e_3) + (u_2 v_3 - u_3 v_2)(e_2 \wedge e_3).\]

三个系数正好是叉积 \(u \times v\) 的分量（带适当符号）。事实上，在 \(\mathbb{R}^3\) 中，二重楔积与叉积通过 Hodge 对偶联系：\(\star(u \wedge v) = u \times v\)。

49.2 外幂空间¶

核心问题：\(k\) 个向量的楔积生成什么空间？这个空间的维数是多少？

定义 49.2 (\(k\) 次外幂空间)

设 \(V\) 是 \(n\) 维 \(\mathbb{F}\)-向量空间。\(k\) 次外幂空间 \(\Lambda^k(V)\) 是由所有 \(k\) 重楔积

\[v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_k, \quad v_1, \ldots, v_k \in V\]

的 \(\mathbb{F}\)-线性组合构成的向量空间。\(\Lambda^k(V)\) 的元素称为 \(k\)-向量（\(k\)-vector）或 \(k\)-形式。

特别约定：\(\Lambda^0(V) = \mathbb{F}\)，\(\Lambda^1(V) = V\)。

定理 49.1 (外幂空间的基与维数)

设 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\) 是 \(V\) 的基。则 \(\Lambda^k(V)\) 有基

\[\{e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} : 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n\},\]

因此

\[\dim \Lambda^k(V) = \binom{n}{k}.\]

特别地，\(\dim \Lambda^n(V) = 1\)（顶外幂），\(\Lambda^k(V) = 0\)（\(k > n\) 时）。

证明

生成性： 任意 \(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k\) 中，将每个 \(v_j\) 展开为 \(e_i\) 的线性组合，利用多线性和反对称性，可将其表示为 \(e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k}\)（\(i_1 < \cdots < i_k\)）的线性组合。

具体地，若 \(v_j = \sum_i a_{ij} e_i\)，则

\[v_1 \wedge \cdots \wedge v_k = \sum_{i_1, \ldots, i_k} a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_k k} \, e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k}.\]

当某两个指标相同时，\(e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} = 0\)（反对称性）。对不同的指标，可通过交换排序为 \(i_1 < \cdots < i_k\)，每次交换引入一个负号。

线性无关性： 通过构造对偶基（交替多线性函数）来证明。对每个递增指标组 \(I = \{i_1, \ldots, i_k\}\)，定义 \(\varphi_I: V^k \to \mathbb{F}\) 为

\[\varphi_I(v_1, \ldots, v_k) = \det(v_j \text{ 的第 } i_l \text{ 分量})_{l,j}.\]

\(\varphi_I\) 是交替 \(k\)-线性函数。可以验证 \(\varphi_I(e_{j_1}, \ldots, e_{j_k}) = \delta_{I,J}\)（\(J = \{j_1, \ldots, j_k\}\)），这证明了线性无关性。

定义 49.3 (可分解与不可分解 \(k\)-向量)

\(\Lambda^k(V)\) 中的元素 \(\omega\) 称为可分解的（decomposable），若 \(\omega = v_1 \wedge \cdots \wedge v_k\) 对某些 \(v_i \in V\)。否则称为不可分解的。

当 \(k = 1\) 或 \(k = n-1\) 时，每个非零 \(k\)-向量都是可分解的。但对 \(2 \leq k \leq n-2\)，一般的 \(k\)-向量不可分解。

例 49.3 (不可分解的 2-向量)

在 \(\mathbb{R}^4\) 中取标准基 \(\{e_1, e_2, e_3, e_4\}\)。考虑

\[\omega = e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4 \in \Lambda^2(\mathbb{R}^4).\]

断言： \(\omega\) 不可分解。

证明： 若 \(\omega = u \wedge v\)，其中 \(u = \sum a_i e_i\)，\(v = \sum b_i e_i\)，则

\[\omega \wedge \omega = (u \wedge v) \wedge (u \wedge v) = 0\]

（因为 \(u \wedge v \wedge u \wedge v\) 中 \(u\) 出现两次）。但

\[\omega \wedge \omega = (e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4) \wedge (e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4) = 2 \, e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 \wedge e_4 \neq 0.\]

矛盾，故 \(\omega\) 不可分解。

这个判据可以推广：\(\omega \in \Lambda^2(V)\) 可分解当且仅当 \(\omega \wedge \omega = 0\)。

49.3 外代数¶

核心问题：如何将所有外幂空间组合成一个带有乘法结构的代数？

定义 49.4 (外代数)

\(V\) 的外代数（exterior algebra）定义为所有外幂空间的直和：

\[\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{n} \Lambda^k(V) = \Lambda^0(V) \oplus \Lambda^1(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V),\]

其维数为 \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n\)。

\(\Lambda(V)\) 配备楔积乘法 \(\wedge: \Lambda^p(V) \times \Lambda^q(V) \to \Lambda^{p+q}(V)\)，使之成为一个分次代数（graded algebra）。

定理 49.2 (外代数的乘法规则)

设 \(\alpha \in \Lambda^p(V)\)，\(\beta \in \Lambda^q(V)\)。则：

分次反交换性（graded commutativity）：\(\alpha \wedge \beta = (-1)^{pq} \beta \wedge \alpha\)；
结合律：\((\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma = \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma)\)；
单位元：\(1 \in \Lambda^0(V) = \mathbb{F}\) 满足 \(1 \wedge \alpha = \alpha \wedge 1 = \alpha\)。

特别地，当 \(p\) 和 \(q\) 都是奇数时，\(\alpha \wedge \beta = -\beta \wedge \alpha\)。

证明

对可分解元素 \(\alpha = u_1 \wedge \cdots \wedge u_p\)，\(\beta = v_1 \wedge \cdots \wedge v_q\)，有

\[\beta \wedge \alpha = v_1 \wedge \cdots \wedge v_q \wedge u_1 \wedge \cdots \wedge u_p.\]

要将此排列回 \(\alpha \wedge \beta = u_1 \wedge \cdots \wedge u_p \wedge v_1 \wedge \cdots \wedge v_q\) 的顺序，需将 \(q\) 个 \(v_i\) 依次穿过 \(p\) 个 \(u_j\)，共需 \(pq\) 次相邻交换，每次交换引入因子 \((-1)\)，故 \(\beta \wedge \alpha = (-1)^{pq} \alpha \wedge \beta\)。

结合律和单位元的证明直接由定义给出。

定义 49.5 (外代数的张量构造)

更严格地，外代数可通过张量代数的商来定义。设 \(T(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} V^{\otimes k}\) 是 \(V\) 的张量代数，\(\mathcal{I}\) 是由所有 \(v \otimes v\)（\(v \in V\)）生成的双边理想。则

\[\Lambda(V) = T(V) / \mathcal{I}.\]

楔积 \(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k\) 就是 \(v_1 \otimes \cdots \otimes v_k\) 在商代数中的像。

例 49.4 (低维外代数)

(a) \(\dim V = 2\)： \(\Lambda(\mathbb{R}^2)\) 的维数为 \(2^2 = 4\)。基为

\[\{1, \, e_1, \, e_2, \, e_1 \wedge e_2\}.\]

\(\Lambda^0 = \mathbb{R}\)（标量），\(\Lambda^1 = \mathbb{R}^2\)（向量），\(\Lambda^2 = \mathbb{R}\)（面积元素）。

(b) \(\dim V = 3\)： \(\Lambda(\mathbb{R}^3)\) 的维数为 \(2^3 = 8\)。基为

\[\{1, \, e_1, e_2, e_3, \, e_1 \wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_2 \wedge e_3, \, e_1 \wedge e_2 \wedge e_3\}.\]

维数分布：\(1, 3, 3, 1\)（对称的！这是因为 \(\binom{3}{k} = \binom{3}{3-k}\)）。

(c) \(\dim V = 4\)： \(\Lambda(\mathbb{R}^4)\) 的维数为 \(2^4 = 16\)。维数分布：\(1, 4, 6, 4, 1\)（Pascal 三角第 4 行）。

49.4 行列式与顶外幂¶

核心问题：行列式如何自然地从外代数中产生？这给出了行列式性质的哪些优雅证明？

定理 49.3 (行列式的外代数定义)

设 \(V\) 是 \(n\) 维 \(\mathbb{F}\)-向量空间，\(T: V \to V\) 是线性变换。\(T\) 自然诱导映射 \(\Lambda^n(T): \Lambda^n(V) \to \Lambda^n(V)\)：

\[\Lambda^n(T)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_n) = T(v_1) \wedge T(v_2) \wedge \cdots \wedge T(v_n).\]

由于 \(\dim \Lambda^n(V) = 1\)，\(\Lambda^n(T)\) 是标量乘法。这个标量就是 \(\det(T)\)：

\[T(v_1) \wedge T(v_2) \wedge \cdots \wedge T(v_n) = \det(T) \cdot (v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n).\]

证明

选取 \(V\) 的基 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\)，\(\Lambda^n(V)\) 的基为 \(\{e_1 \wedge \cdots \wedge e_n\}\)。设 \(T(e_j) = \sum_i a_{ij} e_i\)。则

\[T(e_1) \wedge \cdots \wedge T(e_n) = \left(\sum_{i_1} a_{i_1 1} e_{i_1}\right) \wedge \cdots \wedge \left(\sum_{i_n} a_{i_n n} e_{i_n}\right)\]

\[= \sum_{i_1, \ldots, i_n} a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n} \, e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_n}.\]

只有当 \((i_1, \ldots, i_n)\) 是 \((1, \ldots, n)\) 的置换时非零：

\[= \sum_{\sigma \in S_n} a_{\sigma(1), 1} a_{\sigma(2), 2} \cdots a_{\sigma(n), n} \, e_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge e_{\sigma(n)}\]

\[= \left(\sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \, a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(n), n}\right) \, e_1 \wedge \cdots \wedge e_n\]

\[= \det(A) \cdot e_1 \wedge \cdots \wedge e_n.\]

定理 49.4 (行列式性质的外代数证明)

外代数定义使行列式的基本性质变得显然：

\(\det(ST) = \det(S)\det(T)\)： \(\Lambda^n(ST) = \Lambda^n(S) \circ \Lambda^n(T)\)，故 \(\det(ST) \cdot \omega = \det(S) \cdot \det(T) \cdot \omega\)。
\(\det(I) = 1\)： \(\Lambda^n(I) = \operatorname{id}_{\Lambda^n(V)}\)。
\(T\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(\det(T) \neq 0\)： \(T\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(T\) 将基映为基 \(\Leftrightarrow\) \(T(e_1) \wedge \cdots \wedge T(e_n) \neq 0\)。
行/列相同则行列式为零： 若 \(T\) 的两列相同，则 \(T(e_i) = T(e_j)\)（\(i \neq j\)），楔积中出现相同的向量，故为 \(0\)。

例 49.5 (用外积计算行列式)

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)。列向量 \(v_1 = e_1 + 3e_2\)，\(v_2 = 2e_1 + 4e_2\)。

\[v_1 \wedge v_2 = (e_1 + 3e_2) \wedge (2e_1 + 4e_2) = 4(e_1 \wedge e_2) + 6(e_2 \wedge e_1)\]

\[= 4(e_1 \wedge e_2) - 6(e_1 \wedge e_2) = -2(e_1 \wedge e_2).\]

故 \(\det(A) = -2\)。

定义 49.6 (定向与体积形式)

\(\Lambda^n(V)\) 的一个非零元素 \(\omega\) 确定了 \(V\) 的一个定向（orientation）。两个非零元素 \(\omega, \omega'\) 确定相同的定向当且仅当 \(\omega' = c\omega\)（\(c > 0\)，当 \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) 时）。

配备了内积的 \(n\) 维实向量空间 \(V\) 有一个自然的体积形式：选取正交归一基 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\)，则 \(\omega = e_1 \wedge \cdots \wedge e_n\) 是标准体积形式。对任意 \(v_1, \ldots, v_n \in V\)，

\[v_1 \wedge \cdots \wedge v_n = \det([v_1 \cdots v_n]) \cdot \omega,\]

其中 \([v_1 \cdots v_n]\) 是以 \(v_i\) 为列的矩阵在正交归一基下的坐标。

49.5 复合矩阵¶

核心问题：线性变换 \(T\) 对 \(k\)-向量的诱导作用是什么？如何用矩阵表示？

定义 49.7 (诱导映射与复合矩阵)

设 \(T: V \to V\) 是线性变换。\(T\) 自然诱导\(k\) 次外幂映射 \(\Lambda^k(T): \Lambda^k(V) \to \Lambda^k(V)\)：

\[\Lambda^k(T)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) = T(v_1) \wedge \cdots \wedge T(v_k).\]

选取 \(V\) 的基 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\)，\(\Lambda^k(V)\) 的基 \(\{e_I : I \in \binom{[n]}{k}\}\)（\(I = \{i_1, \ldots, i_k\}\)，\(e_I = e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k}\)）。\(\Lambda^k(T)\) 在此基下的矩阵称为 \(T\)（或其矩阵 \(A\)）的 \(k\) 次复合矩阵（\(k\)-th compound matrix），记为 \(C_k(A)\)。

\(C_k(A)\) 是 \(\binom{n}{k} \times \binom{n}{k}\) 矩阵，其 \((I, J)\) 元素为 \(A\) 的由行 \(I\)、列 \(J\) 确定的 \(k \times k\) 子式 \(\det(A[I|J])\)。

定理 49.5 (复合矩阵的性质)

设 \(A, B\) 是 \(n \times n\) 矩阵。则：

乘法性：\(C_k(AB) = C_k(A) C_k(B)\)（因为 \(\Lambda^k(ST) = \Lambda^k(S) \circ \Lambda^k(T)\)）；
\(C_1(A) = A\)，\(C_n(A) = \det(A)\)；
\(C_k(I) = I_{\binom{n}{k}}\)；
若 \(A\) 可逆，则 \(C_k(A)\) 可逆，\(C_k(A^{-1}) = C_k(A)^{-1}\)。

证明

性质 1 是函子性的直接推论。\(\Lambda^k\) 是一个从向量空间范畴到自身的函子，保持复合。

Cauchy-Binet 公式：\(C_k(AB)\) 的 \((I,J)\) 元素为

\[\det((AB)[I|J]) = \sum_{K \in \binom{[n]}{k}} \det(A[I|K]) \det(B[K|J]),\]

这正是 \(C_k(A) C_k(B)\) 的 \((I,J)\) 元素。因此 Cauchy-Binet 公式不过是 \(\Lambda^k(AB) = \Lambda^k(A) \circ \Lambda^k(B)\) 的坐标表达。

定理 49.6 (复合矩阵的特征值)

设 \(A\) 是 \(n \times n\) 矩阵，特征值为 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\)（含重数，在代数闭包中）。则 \(C_k(A)\) 的特征值恰好是

\[\{\lambda_{i_1} \lambda_{i_2} \cdots \lambda_{i_k} : 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n\},\]

共 \(\binom{n}{k}\) 个。

证明

不妨设 \(A\) 可上三角化（在代数闭域上总是可以的）：\(A = PTP^{-1}\)，\(T\) 上三角，对角元素为 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\)。

\(C_k(A) = C_k(PTP^{-1}) = C_k(P) C_k(T) C_k(P)^{-1}\)，故 \(C_k(A)\) 与 \(C_k(T)\) 相似。

\(C_k(T)\) 也是上三角矩阵（这需要适当排列基序），其对角元素为 \(\det(T[\{i_1,\ldots,i_k\}|\{i_1,\ldots,i_k\}]) = \lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_k}\)（\(T\) 上三角故子式也上三角）。

例 49.6 (复合矩阵计算)

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)，特征值 \(\lambda_1=1, \lambda_2=3, \lambda_3=2\)。

\(C_2(A)\) 是 \(3 \times 3\) 矩阵，基为 \(e_1 \wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_2 \wedge e_3\)。

\(C_2(A)\) 的特征值为 \(\lambda_1\lambda_2 = 3\)，\(\lambda_1\lambda_3 = 2\)，\(\lambda_2\lambda_3 = 6\)。

验证：\(\operatorname{tr}(C_2(A)) = 3 + 2 + 6 = 11\)，\(\det(C_2(A)) = 3 \cdot 2 \cdot 6 = 36 = (\det A)^2 = 6^2\)。

（一般地，\(\det(C_k(A)) = (\det A)^{\binom{n-1}{k-1}}\)。）

49.6 Grassmannian¶

核心问题：如何参数化向量空间中所有 \(k\) 维子空间的集合？它有什么几何结构？

定义 49.8 (Grassmannian)

设 \(V\) 是 \(n\) 维向量空间。Grassmannian \(\operatorname{Gr}(k, V)\)（或 \(\operatorname{Gr}(k, n)\)）是 \(V\) 中所有 \(k\) 维子空间的集合：

\[\operatorname{Gr}(k, V) = \{W \subseteq V : W \text{ 是 } k \text{ 维子空间}\}.\]

特别地，\(\operatorname{Gr}(1, V) = \mathbb{P}(V)\) 是射影空间。

定理 49.7 (Grassmannian 的维数)

\(\operatorname{Gr}(k, n)\) 是一个光滑（实或复）流形，维数为

\[\dim \operatorname{Gr}(k, n) = k(n - k).\]

证明

每个 \(k\) 维子空间 \(W\) 可以用一个 \(n \times k\) 矩阵 \(X\)（列构成 \(W\) 的基）来表示。两个矩阵 \(X, X'\) 表示同一子空间当且仅当 \(X' = XG\)，\(G \in \operatorname{GL}_k(\mathbb{F})\)。

因此 \(\operatorname{Gr}(k,n)\) 可以看作 Stiefel 流形（所有 \(n \times k\) 列满秩矩阵的集合，维数 \(nk - k^2/2 \ldots\) ）的商：

\[\operatorname{Gr}(k,n) = V_{k,n} / \operatorname{GL}_k(\mathbb{F}),\]

其中 \(V_{k,n}\) 是秩为 \(k\) 的 \(n \times k\) 矩阵的集合。\(V_{k,n}\) 的维数为 \(nk\)（作为 \(\mathbb{F}^{n \times k}\) 的开子集），\(\operatorname{GL}_k\) 的维数为 \(k^2\)，故

\[\dim \operatorname{Gr}(k,n) = nk - k^2 = k(n-k).\]

局部坐标（仿射坐标卡）： 对 \(k\) 元子集 \(I \subseteq \{1, \ldots, n\}\)，定义开集 \(U_I = \{W \in \operatorname{Gr}(k,n) : \pi_I|_W \text{ 是同构}\}\)，其中 \(\pi_I\) 是投射到第 \(I\) 坐标的映射。在 \(U_I\) 中，\(W\) 可以唯一地用 \(k \times (n-k)\) 矩阵参数化（选取 \(I\) 坐标为单位矩阵部分，非 \(I\) 坐标自由）。\(U_I\) 同胚于 \(\mathbb{F}^{k(n-k)}\)。

例 49.7 (低维 Grassmannian)

(a) \(\operatorname{Gr}(1, n) = \mathbb{P}^{n-1}\)（射影空间），维数 \(1 \cdot (n-1) = n-1\)。

(b) \(\operatorname{Gr}(2, 4)\)：\(\mathbb{R}^4\) 中所有 \(2\) 维子空间（即平面）的集合，维数 \(2 \cdot 2 = 4\)。

(c) \(\operatorname{Gr}(k, n) \cong \operatorname{Gr}(n-k, n)\)（通过取正交补，或对偶地通过 \(\Lambda^k(V) \cong \Lambda^{n-k}(V^*)\)）。

定义 49.9 (Schubert 胞腔)

固定 \(V = \mathbb{F}^n\) 的标准完全旗 \(\{0\} = F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_n = V\)（\(F_i = \langle e_1, \ldots, e_i \rangle\)）。对递增序列 \(1 \leq a_1 < a_2 < \cdots < a_k \leq n\)，Schubert 胞腔 \(\Omega^\circ_{a_1, \ldots, a_k}\) 定义为

\[\Omega^\circ_{a_1, \ldots, a_k} = \{W \in \operatorname{Gr}(k,n) : \dim(W \cap F_{a_i}) = i, \, \dim(W \cap F_{a_i - 1}) = i - 1\}.\]

Schubert 胞腔给出 \(\operatorname{Gr}(k,n)\) 的一个 CW-分解，这是研究 Grassmannian 拓扑和上同调的基本工具。

49.7 Plücker 坐标与嵌入¶

核心问题：如何将 Grassmannian 嵌入射影空间？嵌入的像由什么方程描述？

定义 49.10 (Plücker 嵌入)

Plücker 嵌入是映射

\[\iota: \operatorname{Gr}(k, V) \to \mathbb{P}(\Lambda^k(V)),\]

将 \(k\) 维子空间 \(W = \langle v_1, \ldots, v_k \rangle\) 映到

\[\iota(W) = [v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_k] \in \mathbb{P}(\Lambda^k(V)).\]

定理 49.8 (Plücker 嵌入的良定义性和单射性)

\(\iota\) 良定义：\(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k\) 在基的选取下至多差一个非零标量因子。
\(\iota\) 是单射。
\(\iota\) 的像恰好是 \(\mathbb{P}(\Lambda^k(V))\) 中的可分解 \(k\)-向量（构成的射影子簇）。

证明

(1) 良定义性： 若 \(\{v_1', \ldots, v_k'\}\) 是 \(W\) 的另一组基，则 \(v_j' = \sum_i g_{ij} v_i\)，\(G = (g_{ij}) \in \operatorname{GL}_k(\mathbb{F})\)。

\[v_1' \wedge \cdots \wedge v_k' = \det(G) \cdot v_1 \wedge \cdots \wedge v_k.\]

由于 \(\det(G) \neq 0\)，两者在射影空间中定义同一个点。

(2) 单射： 若 \([v_1 \wedge \cdots \wedge v_k] = [w_1 \wedge \cdots \wedge w_k]\)，则 \(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k = c \cdot w_1 \wedge \cdots \wedge w_k\)（\(c \neq 0\)）。可证对任意 \(v \in V\)：

\[v \wedge v_1 \wedge \cdots \wedge v_k = 0 \quad \Leftrightarrow \quad v \in \langle v_1, \ldots, v_k \rangle.\]

因此 \(\langle v_1, \ldots, v_k \rangle = \langle w_1, \ldots, w_k \rangle\)。

定义 49.11 (Plücker 坐标)

选取 \(V\) 的基 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\)。\(W = \langle v_1, \ldots, v_k \rangle\) 的 Plücker 坐标是

\[p_I = \det(X_I), \quad I \in \binom{[n]}{k},\]

其中 \(X\) 是以 \(v_j\) 为列的 \(n \times k\) 矩阵，\(X_I\) 是 \(X\) 的第 \(I\) 行构成的 \(k \times k\) 子矩阵。

Plücker 坐标 \((p_I)\) 是齐次坐标，确定 \(\mathbb{P}(\Lambda^k(V))\) 中的一个点。

定理 49.9 (Plücker 关系)

Plücker 坐标 \((p_I)_{I \in \binom{[n]}{k}}\) 对应 \(\operatorname{Gr}(k,n)\) 中的点当且仅当它满足以下二次 Plücker 关系：对任意 \(I \in \binom{[n]}{k-1}\)，\(J \in \binom{[n]}{k+1}\)，

\[\sum_{l=1}^{k+1} (-1)^l \, p_{I \cup \{j_l\}} \, p_{J \setminus \{j_l\}} = 0,\]

其中 \(J = \{j_1, \ldots, j_{k+1}\}\)（\(j_1 < \cdots < j_{k+1}\)）。

例 49.8 (\(\operatorname{Gr}(2, 4)\) 的 Plücker 嵌入)

\(\operatorname{Gr}(2, 4)\) 嵌入到 \(\mathbb{P}(\Lambda^2(\mathbb{F}^4)) = \mathbb{P}^5\)。Plücker 坐标有 \(\binom{4}{2} = 6\) 个：\(p_{12}, p_{13}, p_{14}, p_{23}, p_{24}, p_{34}\)。

唯一的 Plücker 关系（取 \(I = \{i\}\)，\(J = \{j_1, j_2, j_3\}\)，或等价地）为：

\[p_{12} p_{34} - p_{13} p_{24} + p_{14} p_{23} = 0.\]

这是 \(\mathbb{P}^5\) 中的一个二次超曲面方程。\(\operatorname{Gr}(2,4)\) 同构于这个二次超曲面（称为 Klein 二次曲面）。

验证维数： \(\operatorname{Gr}(2,4)\) 的维数为 \(2 \cdot 2 = 4\)，而 \(\mathbb{P}^5\) 中二次超曲面的维数为 \(5 - 1 = 4\)，一致。

具体例子： 子空间 \(W = \langle (1,0,1,0), (0,1,0,1) \rangle\) 的 Plücker 坐标：

\[X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad p_{12} = 1, \, p_{13} = 0, \, p_{14} = 1, \, p_{23} = -1, \, p_{24} = 0, \, p_{34} = 1.\]

验证 Plücker 关系：\(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 0\)。

49.8 万有性质¶

核心问题：外代数在什么意义上是"最好的"反对称代数？如何用范畴论语言刻画？

定理 49.10 (外代数的万有性质)

设 \(V\) 是 \(\mathbb{F}\)-向量空间。外代数 \((\Lambda(V), \iota)\)（其中 \(\iota: V \to \Lambda(V)\) 是自然嵌入 \(V = \Lambda^1(V) \hookrightarrow \Lambda(V)\)）满足以下万有性质：

对任意结合 \(\mathbb{F}\)-代数 \(A\) 和线性映射 \(f: V \to A\) 满足 \(f(v)^2 = 0\)（\(\forall v \in V\)），存在唯一的代数同态 \(\tilde{f}: \Lambda(V) \to A\) 使得 \(\tilde{f} \circ \iota = f\)：

\[\begin{CD} V @>{\iota}>> \Lambda(V) \\ @V{f}VV @VV{\exists!\, \tilde{f}}V \\ & A \end{CD}\]

证明

由 \(\Lambda(V) = T(V)/\mathcal{I}\)（\(\mathcal{I}\) 由 \(v \otimes v\) 生成），\(f: V \to A\) 自然延拓为代数同态 \(\hat{f}: T(V) \to A\)（\(\hat{f}(v_1 \otimes \cdots \otimes v_k) = f(v_1) \cdots f(v_k)\)）。

条件 \(f(v)^2 = 0\) 保证 \(\hat{f}(v \otimes v) = f(v)^2 = 0\)，故 \(\mathcal{I} \subseteq \ker \hat{f}\)，\(\hat{f}\) 过渡为 \(\tilde{f}: \Lambda(V) = T(V)/\mathcal{I} \to A\)。唯一性由 \(\Lambda(V)\) 由 \(\iota(V)\) 生成保证。

定理 49.11 (外代数的函子性)

设 \(f: V \to W\) 是线性映射。则存在唯一的分次代数同态

\[\Lambda(f): \Lambda(V) \to \Lambda(W),\]

使得 \(\Lambda(f)|_V = f\)，且对每个 \(k\)：

\[\Lambda^k(f)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) = f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_k).\]

进一步：

\(\Lambda(\operatorname{id}_V) = \operatorname{id}_{\Lambda(V)}\)；
\(\Lambda(g \circ f) = \Lambda(g) \circ \Lambda(f)\)。

即 \(\Lambda\) 是从 \(\mathbb{F}\)-向量空间范畴到分次 \(\mathbb{F}\)-代数范畴的函子（functor）。

定义 49.12 (对偶外幂与交替多线性映射)

\(\Lambda^k(V)\) 的对偶空间 \(\Lambda^k(V)^* \cong \Lambda^k(V^*)\) 与 \(V\) 上的交替 \(k\)-线性函数空间同构：

\[\operatorname{Alt}^k(V) = \{f: V^k \to \mathbb{F} : f \text{ 多线性且交替}\} \cong \Lambda^k(V^*).\]

同构由 \(\varphi_1 \wedge \cdots \wedge \varphi_k \mapsto ((v_1, \ldots, v_k) \mapsto \det(\varphi_i(v_j)))\) 给出。

这正是微分形式的代数基础：\(k\)-形式是余切空间 \(T^*_p M\) 上的 \(k\) 次交替多线性函数，即 \(\Lambda^k(T^*_p M)\) 的元素。

例 49.9 (外积与行列式的联系)

设 \(\varphi_1, \ldots, \varphi_k \in V^*\)。对应的交替 \(k\)-线性函数为

\[(\varphi_1 \wedge \cdots \wedge \varphi_k)(v_1, \ldots, v_k) = \det \begin{pmatrix} \varphi_1(v_1) & \cdots & \varphi_1(v_k) \\ \vdots & & \vdots \\ \varphi_k(v_1) & \cdots & \varphi_k(v_k) \end{pmatrix}.\]

特别地，取 \(V = \mathbb{F}^n\)，\(\varphi_i = e_i^*\)（坐标函数），则 \(e_1^* \wedge \cdots \wedge e_n^*\) 对应的就是行列式函数。

定理 49.12 (Hodge 对偶)

设 \(V\) 是 \(n\) 维实内积空间，带正交归一基和定向。Hodge 星算子 \(\star: \Lambda^k(V) \to \Lambda^{n-k}(V)\) 定义为：

\[\alpha \wedge \star\beta = \langle \alpha, \beta \rangle \, \omega, \quad \forall \alpha, \beta \in \Lambda^k(V),\]

其中 \(\omega = e_1 \wedge \cdots \wedge e_n\) 是体积形式，\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 是 \(\Lambda^k(V)\) 上由 \(V\) 的内积诱导的内积。

基本性质：\(\star \star = (-1)^{k(n-k)} \operatorname{id}\)（在实情形）。

例 49.10 (\(\mathbb{R}^3\) 中的 Hodge 对偶)

在 \(\mathbb{R}^3\) 中：

\(\alpha\)	\(\star\alpha\)
\(1\)	\(e_1 \wedge e_2 \wedge e_3\)
\(e_1\)	\(e_2 \wedge e_3\)
\(e_2\)	\(-e_1 \wedge e_3 = e_3 \wedge e_1\)
\(e_3\)	\(e_1 \wedge e_2\)
\(e_1 \wedge e_2\)	\(e_3\)
\(e_1 \wedge e_3\)	\(-e_2\)
\(e_2 \wedge e_3\)	\(e_1\)
\(e_1 \wedge e_2 \wedge e_3\)	\(1\)

叉积可以表示为 \(u \times v = \star(u \wedge v)\)。这解释了为什么叉积只在 \(\mathbb{R}^3\) 中自然定义：它依赖于 Hodge 对偶将 2-向量映射为 1-向量，而这只在 \(n = 3\) 时两者维数相同（\(\binom{3}{2} = 3 = \binom{3}{1}\)）。

本章总结¶

外代数 \(\Lambda(V)\) 是向量空间 \(V\) 上的基本代数结构，它：

通过楔积 \(\wedge\) 提供了反对称乘法，自然编码面积、体积等几何量；
通过顶外幂 \(\Lambda^n(V)\) 给出行列式的最内在定义，使行列式的性质成为外代数函子性的直接推论；
通过复合矩阵 \(C_k(A)\) 将线性变换的特征值乘积信息编码在外幂映射中；
通过 Plücker 嵌入将 Grassmannian 实现为射影空间中的代数簇；
通过 Hodge 对偶连接不同次的外幂空间，统一了梯度、旋度、散度等微分算子。

习题¶

习题 49.1

在 \(\mathbb{R}^4\) 中，判断以下 2-向量是否可分解：(a) \(e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3\)；(b) \(e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4\)。

习题 49.2

计算 \(3 \times 3\) 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) 的 \(2\) 次复合矩阵 \(C_2(A)\)，并验证其特征值为 \(4, 4, 4\)。

习题 49.3

设 \(V\) 是 \(n\) 维向量空间，\(W \subseteq V\) 是 \(k\) 维子空间。证明 \(v \in W\) 当且仅当 \(v \wedge w_1 \wedge \cdots \wedge w_k = 0\)（其中 \(\{w_1, \ldots, w_k\}\) 是 \(W\) 的基）。

习题 49.4

验证 \(\operatorname{Gr}(2, 4)\) 的 Plücker 关系对子空间 \(W = \langle (1,1,0,0), (0,0,1,1) \rangle\) 成立。

习题 49.5

证明：\(\det(C_k(A)) = (\det A)^{\binom{n-1}{k-1}}\)。（提示：用特征值。）

习题 49.6

设 \(\omega = \sum_{i<j} a_{ij} \, e_i \wedge e_j \in \Lambda^2(\mathbb{F}^n)\)。定义反对称矩阵 \(A = (a_{ij})\)（\(a_{ji} = -a_{ij}\)，\(a_{ii} = 0\)）。证明 \(\omega\) 可分解当且仅当 \(\operatorname{rank}(A) \leq 2\)。

第 49 章 外代数与 Grassmannian¶