第 51 章四元数矩阵与除环上的线性代数¶

前置：矩阵运算 (Ch2) · 特征值 (Ch6) · SVD (Ch11)

本章脉络：四元数回顾 → 除环上的线性代数 → 四元数矩阵 → 左/右特征值 → 四元数行列式 → 四元数 SVD → 复表示 → 旋转表示

延伸：四元数在计算机图形学（避免万向节锁）、航天工程（姿态表示）、机器人学（旋转插值 SLERP）中是标准工具；Frobenius 定理指出 \(\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}\) 是仅有的有限维实结合除代数

线性代数的经典理论建立在域（field）上——乘法交换且每个非零元素可逆的代数结构。然而，某些重要的应用——特别是三维旋转的表示——自然地引出了一种乘法不交换的"域"，即四元数 \(\mathbb{H}\)。四元数是一个除环（division ring / skew field）：每个非零元素可逆，但乘法不满足交换律。

在除环上发展线性代数，与域上的情形既有深刻的相似性，也有令人惊讶的差异。例如，四元数矩阵的特征值理论比实矩阵或复矩阵复杂得多——甚至"特征值"这个概念本身就需要仔细定义（左特征值 vs. 右特征值）。而行列式的推广也面临根本困难（交换律的缺失使得 Leibniz 公式无意义）。

尽管如此，四元数矩阵理论不仅在纯数学中有其内在价值，还在航天工程、计算机图形学、机器人学等领域有着不可替代的应用。

51.1 四元数代数回顾¶

核心问题：四元数的基本代数性质是什么？它与实数和复数有什么异同？

定义 51.1 (四元数)

四元数体 \(\mathbb{H}\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 上的四维代数，由基 \(\{1, i, j, k\}\) 生成，满足

\[i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.\]

等价地，乘法规则为：

\[ij = k, \quad jk = i, \quad ki = j, \quad ji = -k, \quad kj = -i, \quad ik = -j.\]

一般四元数写成 \(q = a + bi + cj + dk\)，其中 \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\)。

实部：\(\operatorname{Re}(q) = a\)；
虚部（向量部分）：\(\operatorname{Im}(q) = bi + cj + dk\)；
共轭：\(\bar{q} = a - bi - cj - dk\)；
模：\(|q| = \sqrt{q\bar{q}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\)。

定理 51.1 (四元数的基本性质)

除环：\(\mathbb{H}\) 的每个非零元素可逆，\(q^{-1} = \frac{\bar{q}}{|q|^2}\)。
非交换：一般地 \(pq \neq qp\)。事实上 \(pq = qp\) 对所有 \(p\) 当且仅当 \(q \in \mathbb{R}\)（即 \(q\) 是实数）。
共轭的性质：\(\overline{pq} = \bar{q}\bar{p}\)（注意顺序反转），\(\overline{p+q} = \bar{p} + \bar{q}\)。
模的乘法性：\(|pq| = |p||q|\)。
\(\mathbb{H}\) 作为 \(\mathbb{R}\)-代数：\(\mathbb{H}\) 是 \(4\) 维实代数，中心为 \(\mathbb{R}\)。
\(\mathbb{H}\) 不能被排序：\(\mathbb{H}\) 上不存在与环运算相容的全序。

证明（部分）

(1) \(q\bar{q} = (a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk) = a^2+b^2+c^2+d^2 = |q|^2 > 0\)（当 \(q \neq 0\)）。故 \(q^{-1} = \bar{q}/|q|^2\)。

(3) 对基元素验证后利用线性性推广。\(\overline{ij} = \overline{k} = -k\)，\(\bar{j}\bar{i} = (-j)(-i) = ji = -k\)。

(4) \(|pq|^2 = (pq)\overline{(pq)} = pq\bar{q}\bar{p} = p|q|^2\bar{p} = |q|^2 p\bar{p} = |q|^2|p|^2\)。（利用 \(|q|^2 \in \mathbb{R}\) 可与 \(p\) 交换。）

定理 51.2 (Frobenius 定理)

\(\mathbb{R}\)，\(\mathbb{C}\)，\(\mathbb{H}\) 是仅有的（在同构意义下）有限维实结合除代数。

特别地，不存在"八元数域"——八元数 \(\mathbb{O}\) 是除代数但不满足结合律。

例 51.1 (四元数的极坐标形式)

任何单位四元数 \(q\)（\(|q| = 1\)）可以写成

\[q = \cos\theta + \hat{u}\sin\theta,\]

其中 \(\hat{u}\) 是纯虚单位四元数（\(\hat{u}^2 = -1\)，\(|\hat{u}| = 1\)），\(\theta \in [0, \pi]\)。

更一般地，任何非零四元数可以写成 \(q = |q|(\cos\theta + \hat{u}\sin\theta) = |q|e^{\hat{u}\theta}\)。

指数映射：\(e^{\hat{u}\theta} = \cos\theta + \hat{u}\sin\theta\)（类比 Euler 公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)）。

定义 51.2 (四元数的共轭类)

两个四元数 \(p, q\) 称为相似的（或共轭的），若存在非零 \(s \in \mathbb{H}\) 使得 \(q = sps^{-1}\)。

关键事实：\(p, q \in \mathbb{H}\) 相似当且仅当 \(\operatorname{Re}(p) = \operatorname{Re}(q)\) 且 \(|p| = |q|\)。

特别地，\(\mathbb{H}\) 的每个共轭类或者是一个实数 \(\{a\}\)，或者是以 \((a, 0, 0, 0)\) 为中心、半径 \(\sqrt{b^2+c^2+d^2}\) 的二维球面。

51.2 除环上的线性代数¶

核心问题：乘法不交换时，如何定义向量空间和矩阵理论？

定义 51.3 (除环上的模 / 向量空间)

设 \(D\) 是除环（如 \(\mathbb{H}\)）。右 \(D\)-模（或右 \(D\)-向量空间）\(V\) 是一个 Abel 群，配备右标量乘法 \(V \times D \to V\)，满足

\[(v_1 + v_2)d = v_1 d + v_2 d, \quad v(d_1 + d_2) = vd_1 + vd_2, \quad v(d_1 d_2) = (vd_1)d_2, \quad v \cdot 1 = v.\]

类似地定义左 \(D\)-模。注意：由于 \(D\) 不交换，左模和右模是不同的概念。

定理 51.3 (除环上向量空间的维数)

设 \(D\) 是除环。右 \(D\)-模 \(V\) 的任意两个基的基数相同。这个基数称为 \(V\) 在 \(D\) 上的维数，记为 \(\dim_D V\)。

证明思路

虽然 \(D\) 不交换，但基的唯一替换性质（Steinitz 交换定理）在除环上仍然成立。关键步骤：若 \(v = v_1 d_1 + \cdots + v_n d_n\)，\(d_1 \neq 0\)，则可以解出 \(v_1\)（利用 \(D\) 的可除性），从而进行基的替换。

定义 51.4 (四元数矩阵)

\(M_{m \times n}(\mathbb{H})\) 是所有 \(m \times n\) 四元数矩阵的集合。矩阵乘法以通常方式定义：

\[(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} A_{ik} B_{kj}.\]

注意：由于 \(\mathbb{H}\) 不交换，矩阵乘法的性质需要仔细处理。例如：

\((AB)^T \neq B^T A^T\) 一般成立；
但可以定义共轭转置 \(A^* = \bar{A}^T\)（\((A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}\)），则 \((AB)^* = B^* A^*\)。

定义 51.5 (四元数线性映射)

设 \(V, W\) 是右 \(\mathbb{H}\)-模。映射 \(T: V \to W\) 称为右 \(\mathbb{H}\)-线性，若

\[T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2), \quad T(vq) = T(v)q, \quad \forall v, v_1, v_2 \in V,\, q \in \mathbb{H}.\]

注意标量在右边。选取 \(V\) 和 \(W\) 的基后，\(T\) 对应于一个四元数矩阵 \(A\)，左乘 \(v\)：\(T(v) = Av\)（这里 \(v\) 是列向量，标量乘法在右，矩阵乘法在左）。

例 51.2 (左线性 vs. 右线性)

映射 \(T: \mathbb{H} \to \mathbb{H}\)，\(T(q) = iq\) 是左 \(\mathbb{H}\)-线性的：\(T(qr) = iqr = T(q)r\)。但 \(T\) 不是右 \(\mathbb{H}\)-线性的。

映射 \(S: \mathbb{H} \to \mathbb{H}\)，\(S(q) = qi\) 是右 \(\mathbb{H}\)-线性的：\(S(q + p) = (q+p)i = qi + pi\)，但 \(S(qr) = qri \neq S(q)r = qir\)（一般）。

结论：对右 \(\mathbb{H}\)-模，线性映射矩阵从左边作用。

51.3 四元数矩阵的基本运算¶

核心问题：四元数矩阵的特征值如何定义？为什么需要区分左右特征值？

定义 51.6 (右特征值与左特征值)

设 \(A \in M_n(\mathbb{H})\)。

右特征值：\(\lambda \in \mathbb{H}\) 称为 \(A\) 的右特征值，若存在非零 \(v \in \mathbb{H}^n\) 使得 \(Av = v\lambda\)。
左特征值：\(\mu \in \mathbb{H}\) 称为 \(A\) 的左特征值，若存在非零 \(v \in \mathbb{H}^n\) 使得 \(Av = \mu v\)。

关键区别：在域上，\(Av = \lambda v\) 和 \(Av = v\lambda\) 是一回事（因为标量可交换）。但在 \(\mathbb{H}\) 上不然！

定理 51.4 (右特征值的基本性质)

设 \(A \in M_n(\mathbb{H})\)。

若 \(\lambda\) 是右特征值，\(Av = v\lambda\)，则对任何非零 \(s \in \mathbb{H}\)，\(s^{-1}\lambda s\) 也是右特征值（特征向量为 \(vs\)）。
因此右特征值以共轭类（相似类）出现。
每个共轭类恰好包含一个复数（实部非负，虚部在 \(\mathbb{R}i\) 中且非负）。这个复数称为标准右特征值。
\(A\) 恰有 \(n\) 个标准右特征值（含重数）。

证明

(1) \(Av = v\lambda\)。令 \(w = vs\)（\(s \neq 0\)），则 \(Aw = A(vs) = (Av)s = (v\lambda)s = v(s(s^{-1}\lambda s)) = w(s^{-1}\lambda s)\)。

(2) 由 (1) 直接得出。

(3) 设 \(\lambda = a + bi + cj + dk\)。取 \(\hat{u} = \frac{bi+cj+dk}{|bi+cj+dk|}\)（若虚部非零），则存在 \(s\) 使得 \(s^{-1}\hat{u}s = i\)（所有纯虚单位四元数共轭），故 \(s^{-1}\lambda s = a + |bi+cj+dk| \cdot i \in \mathbb{C}\)。

(4) 通过复表示（51.7节）证明。

定理 51.5 (左特征值的复杂性)

左特征值的行为远比右特征值复杂：

\(2 \times 2\) 四元数矩阵可以有无穷多个左特征值（甚至不可数个）。
左特征值不一定存在（某些矩阵没有左特征值）。
左特征值不具有共轭类封闭性。

例 51.3 (左特征值的反例)

考虑 \(A = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & j \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{H})\)。

右特征值：\(Av = v\lambda\) 要求 \(iv_1 = v_1\lambda\)，\(jv_2 = v_2\lambda\)。取 \(v_1 \neq 0, v_2 = 0\)：\(iv_1 = v_1\lambda\)，即 \(\lambda = v_1^{-1}iv_1\)，这是 \(i\) 的共轭类中的任意元素。标准右特征值为 \(i\)。类似地取 \(v_2 \neq 0, v_1 = 0\) 得标准右特征值也是 \(i\)（因为 \(j\) 与 \(i\) 共轭）。

左特征值：\(Av = \mu v\) 要求 \(iv_1 = \mu v_1\)，\(jv_2 = \mu v_2\)。若 \(v_1, v_2\) 都非零，则 \(\mu = iv_1 v_1^{-1} = jv_2 v_2^{-1}\)。第一个等式给出 \(\mu\) 是 \(i\) 的左共轭（不是通常的共轭！），这更加复杂。

定义 51.7 (四元数矩阵的相似)

\(A, B \in M_n(\mathbb{H})\) 称为相似的，若存在可逆 \(P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{H})\) 使得 \(B = P^{-1}AP\)。

相似矩阵有相同的标准右特征值（含重数）。

例 51.4 (四元数矩阵的特征值计算)

设 \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{H})\)。

求右特征值：\(Av = v\lambda\)，即

\[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \lambda.\]

得 \(-v_2 = v_1\lambda\)，\(v_1 = v_2\lambda\)。代入：\(-v_2 = v_2\lambda^2\)，即 \(\lambda^2 = -1\)。

在 \(\mathbb{H}\) 中，\(\lambda^2 = -1\) 的解是所有纯虚单位四元数 \(\lambda = ai + bj + ck\)（\(a^2+b^2+c^2=1\)）。这是一个二维球面 \(S^2\)。

标准右特征值为 \(i\)（重数 \(2\)）。

51.4 四元数行列式¶

核心问题：如何为四元数矩阵定义有意义的行列式？

四元数的非交换性使得 Leibniz 行列式公式（\(\det A = \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod a_{i\sigma(i)}\)）失去意义——积的顺序不同得到不同的值。历史上出现了几种不同的四元数行列式定义。

定义 51.8 (Study 行列式)

设 \(A \in M_n(\mathbb{H})\)。将 \(A\) 视为 \(2n \times 2n\) 复矩阵（通过 51.7 节的复表示 \(\chi_A\)）。Study 行列式定义为

\[\operatorname{det}_S(A) = \sqrt{\det_{\mathbb{C}}(\chi_A)},\]

其中 \(\det_{\mathbb{C}}\) 是通常的复数行列式。\(\det_{\mathbb{C}}(\chi_A)\) 总是非负实数，故 \(\operatorname{det}_S(A) \in \mathbb{R}_{\geq 0}\)。

定义 51.9 (Moore 行列式)

对四元数自伴矩阵（\(A = A^*\)，即 \(A_{ij} = \overline{A_{ji}}\)），Moore 定义了一种递归行列式。但此定义仅适用于自伴矩阵。

定义 51.10 (Dieudonné 行列式)

Dieudonné 行列式是群同态

\[\operatorname{det}_D: \operatorname{GL}_n(\mathbb{H}) \to \mathbb{R}_{>0},\]

由 \(\operatorname{det}_D(A) = |Nrd(A)|\) 定义，其中 \(Nrd\) 是约化范数。等价地，\(\operatorname{det}_D(A) = \operatorname{det}_S(A)^{2/n}\)（归一化使得 \(\operatorname{det}_D(qI) = |q|^{2n}\)）。

Dieudonné 行列式满足：

\(\operatorname{det}_D(AB) = \operatorname{det}_D(A) \operatorname{det}_D(B)\)；
\(\operatorname{det}_D(A) > 0\) 当且仅当 \(A\) 可逆；
\(\operatorname{det}_D(I) = 1\)。

定理 51.6 (四元数行列式的困难)

不存在满足以下全部条件的映射 \(\det: M_n(\mathbb{H}) \to \mathbb{H}\)：

\(\det(AB) = \det(A) \det(B)\)；
\(\det\) 是行（或列）的多线性函数；
交换两行改变 \(\det\) 的符号；
\(\det(I) = 1\)。

原因：条件 2 和 3 要求 \(\det\) 对行的置换是交替的，但在非交换环中乘积的顺序不确定，使得条件不相容。

证明

考虑 \(n = 1\)。条件 2 要求 \(\det(qa) = q\det(a)\)（或 \(= \det(a)q\)）。条件 1 要求 \(\det(ab) = \det(a)\det(b)\)。但 \(\det(ab) = qab\)（若 \(\det(a) = qa\)），而 \(\det(a)\det(b) = qa \cdot qb\)，两者一般不等。

更精确地，对 \(2 \times 2\) 矩阵，无论乘积顺序如何选取，都无法同时满足多线性和乘法性。

例 51.5 (Study 行列式的计算)

设 \(A = \begin{pmatrix} 1+i & j \\ -j & 1-i \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{H})\)。

复表示（每个四元数 \(a+bi+cj+dk \mapsto \begin{pmatrix} a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}\)）：

\[\chi_A = \begin{pmatrix} 1+i & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1-i & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1-i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1+i \end{pmatrix}.\]

\(\det_{\mathbb{C}}(\chi_A) = \ldots = 4\)（经计算）。故 \(\operatorname{det}_S(A) = \sqrt{4} = 2\)。

51.5 四元数矩阵的谱定理¶

核心问题：四元数自伴矩阵是否可以对角化？特征值是什么？

定义 51.11 (四元数 Hermite 矩阵)

\(A \in M_n(\mathbb{H})\) 称为四元数 Hermite 矩阵（或自伴矩阵），若 \(A = A^*\)，即 \(A_{ij} = \overline{A_{ji}}\)。

四元数 Hermite 矩阵的对角元素必为实数（因为 \(A_{ii} = \overline{A_{ii}}\) 意味着 \(A_{ii} \in \mathbb{R}\)）。

定理 51.7 (四元数谱定理)

设 \(A \in M_n(\mathbb{H})\) 是四元数 Hermite 矩阵。则：

\(A\) 的所有右特征值都是实数。
存在酉矩阵 \(U \in M_n(\mathbb{H})\)（\(U^* U = I\)）使得 \(U^* A U = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)，\(\lambda_i \in \mathbb{R}\)。
不同特征值对应的特征向量正交（关于四元数内积 \(\langle u, v \rangle = u^* v = \sum_i \bar{u}_i v_i\)）。

证明

(1) 设 \(Av = v\lambda\)，\(v \neq 0\)。计算

\[v^* A v = v^* (v\lambda) = (v^* v)\lambda = \|v\|^2 \lambda.\]

另一方面，\((v^* A v)^* = v^* A^* v = v^* A v\)（因为 \(A = A^*\)，且 \(v^* Av\) 是 \(1 \times 1\) 矩阵）。因此 \(v^* Av \in \mathbb{R}\)，故 \(\lambda = \frac{v^* Av}{\|v\|^2} \in \mathbb{R}\)。

(2) 存在性的证明与实/复情形类似，通过归纳法。设 \(\lambda_1\) 是 \(A\) 的一个特征值（实数），\(v_1\) 是对应的单位特征向量。将 \(v_1\) 扩展为 \(\mathbb{H}^n\) 的正交归一基，得到酉矩阵 \(U_1 = [v_1, v_2, \ldots, v_n]\)。

\[U_1^* A U_1 = \begin{pmatrix} \lambda_1 & w^* \\ w & A' \end{pmatrix}.\]

由 Hermite 性，\(w = 0\)（与复情形的论证相同）。对 \(A'\)（\((n-1) \times (n-1)\) 四元数 Hermite 矩阵）递归。

(3) 设 \(Av = v\lambda\)，\(Aw = w\mu\)，\(\lambda \neq \mu\)。

\[\lambda \langle v, w \rangle = \lambda v^* w = (\bar{\lambda}v)^* w = (Av)^* w = v^* A^* w = v^* Aw = v^* (w\mu) = (v^*w)\mu = \langle v, w \rangle \mu.\]

由于 \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\)，\(\lambda \langle v, w \rangle = \langle v, w \rangle \mu\)，即 \((\lambda - \mu)\langle v, w \rangle = 0\)。\(\lambda \neq \mu\) 故 \(\langle v, w \rangle = 0\)。

例 51.6 (四元数 Hermite 矩阵的对角化)

\[A = \begin{pmatrix} 2 & j \\ -j & 3 \end{pmatrix}.\]

验证 \(A = A^*\)：\(A_{12} = j\)，\(\overline{A_{21}} = \overline{-j} = j\)。

特征方程（由复表示或直接计算）：\((2-\lambda)(3-\lambda) - j(-j) = (2-\lambda)(3-\lambda) - 1 = 0\)，即 \(\lambda^2 - 5\lambda + 5 = 0\)。解为 \(\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}\)（实数）。

51.6 四元数 SVD¶

核心问题：四元数矩阵是否有奇异值分解？奇异值仍然是实数吗？

定理 51.8 (四元数 SVD)

设 \(A \in M_{m \times n}(\mathbb{H})\)。则存在四元数酉矩阵 \(U \in M_m(\mathbb{H})\)（\(U^*U = I_m\)）和 \(V \in M_n(\mathbb{H})\)（\(V^*V = I_n\)），以及非负实对角矩阵 \(\Sigma\) 使得

\[A = U \Sigma V^*.\]

对角元素 \(\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_{\min(m,n)} \geq 0\) 是实的非负奇异值。

证明

考虑四元数 Hermite 矩阵 \(A^* A \in M_n(\mathbb{H})\)。由谱定理（定理 51.7），存在酉 \(V\) 使得 \(V^*(A^*A)V = \operatorname{diag}(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2)\)，\(\sigma_i \geq 0\)。

对非零 \(\sigma_i\)，定义 \(u_i = Av_i / \sigma_i\)，则 \(\{u_i\}\) 是正交归一的（\(u_i^* u_j = v_i^* A^* A v_j / (\sigma_i \sigma_j) = \sigma_i^2 \delta_{ij} / (\sigma_i \sigma_j) = \delta_{ij}\)）。将 \(\{u_i\}\) 扩展为 \(\mathbb{H}^m\) 的正交归一基得 \(U\)。

则 \(A = U\Sigma V^*\)。

例 51.7 (四元数 SVD 的计算)

设 \(A = \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \in M_{2 \times 1}(\mathbb{H})\)。

\(A^* A = \begin{pmatrix} -i & -j \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = (-i)(i) + (-j)(j) = 1 + 1 = 2\)。

故奇异值 \(\sigma_1 = \sqrt{2}\)，\(V = (1)\)（\(1 \times 1\) 酉矩阵）。

\(u_1 = A / \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}\)。扩展为正交归一基：\(u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} j \\ -i \end{pmatrix}\)（验证 \(u_1^* u_2 = \frac{1}{2}((-i)(j) + (-j)(-i)) = \frac{1}{2}(-k + k) = 0\)）。

\[A = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & j \\ j & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix} (1).\]

51.7 复表示¶

核心问题：如何将四元数矩阵"翻译"为复矩阵？这保持了哪些信息？

定义 51.12 (四元数到复矩阵的嵌入)

每个四元数 \(q = a + bi + cj + dk\) 可以表示为 \(q = z_1 + z_2 j\)，其中 \(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di \in \mathbb{C}\)（注意 \(j z = \bar{z} j\) 对 \(z \in \mathbb{C}\)）。

定义复表示映射 \(\chi: \mathbb{H} \to M_2(\mathbb{C})\)：

\[\chi(z_1 + z_2 j) = \begin{pmatrix} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{pmatrix}.\]

推广到矩阵：\(\chi: M_n(\mathbb{H}) \to M_{2n}(\mathbb{C})\)，将 \(n \times n\) 四元数矩阵 \(A = (a_{ij})\) 映为 \(2n \times 2n\) 复矩阵，通过对每个元素 \(a_{ij}\) 替换为其 \(2 \times 2\) 复表示。

定理 51.9 (复表示的性质)

\(\chi: M_n(\mathbb{H}) \to M_{2n}(\mathbb{C})\) 满足：

加法性：\(\chi(A + B) = \chi(A) + \chi(B)\)；
乘法性：\(\chi(AB) = \chi(A)\chi(B)\)；
共轭：\(\chi(\bar{A}^T) = \chi(A)^*\)（Hermite 共轭）；
保秩：\(\operatorname{rank}_{\mathbb{H}}(A) = \frac{1}{2}\operatorname{rank}_{\mathbb{C}}(\chi(A))\)；
特征值：\(A\) 的标准右特征值 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{C}\) 恰好是 \(\chi(A)\) 的特征值（每个出现两次，与 \(\bar{\lambda}_i\) 配对）；
\(\chi\) 的像的刻画：\(C \in M_{2n}(\mathbb{C})\) 在 \(\chi\) 的像中当且仅当 \(J_n \bar{C} J_n^{-1} = C\)，其中 \(J_n = \operatorname{diag}(J, \ldots, J)\)，\(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)。

证明（部分）

(2) 乘法性： 验证 \(\chi(q_1 q_2) = \chi(q_1)\chi(q_2)\) 对 \(1 \times 1\) 情形成立后，矩阵情形自动成立。

设 \(q_1 = z_1 + z_2 j\)，\(q_2 = w_1 + w_2 j\)。则

\[q_1 q_2 = (z_1 w_1 - z_2 \bar{w}_2) + (z_1 w_2 + z_2 \bar{w}_1) j\]

（利用 \(jw = \bar{w}j\) 对 \(w \in \mathbb{C}\)）。另一方面，

\[\chi(q_1)\chi(q_2) = \begin{pmatrix} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 & w_2 \\ -\bar{w}_2 & \bar{w}_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_1 w_1 - z_2\bar{w}_2 & z_1 w_2 + z_2\bar{w}_1 \\ -\bar{z}_2 w_1 - \bar{z}_1\bar{w}_2 & -\bar{z}_2 w_2 + \bar{z}_1\bar{w}_1 \end{pmatrix}.\]

与 \(\chi(q_1 q_2)\) 比较一致。

(5) \(Av = v\lambda\) 在复表示下变为 \(\chi(A)\chi(v) = \chi(v)\chi(\lambda)\)。\(\chi(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \bar{\lambda} \end{pmatrix}\)（当 \(\lambda \in \mathbb{C}\)）。因此 \(\chi(A)\) 的特征值包含 \(\lambda\) 和 \(\bar{\lambda}\)。

例 51.8 (复表示的计算)

\(A = \begin{pmatrix} i & j \\ k & 1 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{H})\)。

\(i = i + 0 \cdot j \mapsto \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}\)，\(j = 0 + 1 \cdot j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)，

\(k = 0 + i \cdot j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}\)，\(1 \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)。

\[\chi(A) = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -i & -1 & 0 \\ 0 & i & 1 & 0 \\ i & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

51.8 旋转表示¶

核心问题：四元数如何表示三维旋转？与其他表示方法相比有何优势？

定理 51.10 (单位四元数与三维旋转)

设 \(q \in \mathbb{H}\)，\(|q| = 1\)。映射

\[R_q: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad R_q(v) = qv\bar{q}\]

（将纯虚四元数 \(v = xi + yj + zk\) 视为 \(\mathbb{R}^3\) 的向量）是一个三维旋转。

映射 \(\Phi: S^3 \to SO(3)\)，\(\Phi(q) = R_q\)，是满的群同态，其核为 \(\{1, -1\}\)。因此

\[SO(3) \cong S^3 / \{\pm 1\} \cong SU(2) / \{\pm I\}.\]

证明

\(R_q\) 保持纯虚性： 若 \(v\) 是纯虚的（\(\bar{v} = -v\)），则 \(\overline{qv\bar{q}} = q\bar{v}\bar{q} = -qv\bar{q}\)，故 \(R_q(v)\) 也是纯虚的。

\(R_q\) 是正交变换： \(|R_q(v)| = |qv\bar{q}| = |q||v||\bar{q}| = |v|\)。

\(R_q\) 是旋转（\(\det R_q = +1\)）： \(\Phi\) 连续，\(\Phi(1) = I\)（\(\det = 1\)），\(S^3\) 连通，故 \(\det R_q = +1\) 恒成立。

满射性： 设 \(q = \cos\frac{\theta}{2} + \hat{u}\sin\frac{\theta}{2}\)（\(\hat{u}\) 为纯虚单位四元数）。可以验证 \(R_q\) 是绕 \(\hat{u}\) 轴旋转角度 \(\theta\)。由于任意旋转都可以这样表示（轴角表示），\(\Phi\) 满射。

核： \(R_q = I \Leftrightarrow qv = vq\) 对所有纯虚 \(v \Leftrightarrow q \in \mathbb{R} \Leftrightarrow q = \pm 1\)（因为 \(|q| = 1\)）。

定义 51.13 (SLERP 插值)

球面线性插值（SLERP, Spherical Linear intERPolation）：给定两个单位四元数 \(q_0, q_1\)（代表两个旋转），参数 \(t \in [0, 1]\)，SLERP 定义为

\[\operatorname{SLERP}(q_0, q_1, t) = q_0 (q_0^{-1} q_1)^t = q_0 \frac{\sin((1-t)\Omega)}{\sin\Omega} + q_1 \frac{\sin(t\Omega)}{\sin\Omega},\]

其中 \(\Omega = \arccos(\operatorname{Re}(q_0^{-1} q_1))\) 是 \(q_0, q_1\) 之间的角度。

SLERP 在单位四元数球面 \(S^3\) 上给出大圆弧插值，对应于恒定角速度的旋转插值。这是计算机图形学和动画中的标准旋转插值方法。

定理 51.11 (四元数旋转 vs. 旋转矩阵 vs. 欧拉角)

表示方法	参数数	万向节锁	插值	复合	归一化
旋转矩阵 \(R \in SO(3)\)	9（6 约束）	否	困难	矩阵乘法	需 Gram-Schmidt
欧拉角 \((\alpha, \beta, \gamma)\)	3	有	线性（非均匀）	困难	自动
轴角 \((\hat{n}, \theta)\)	4（1 约束）	否	困难	困难	归一化轴
单位四元数 \(q\)	4（1 约束）	否	SLERP（最优）	四元数乘法	归一化

四元数表示的优势在于：

无万向节锁：不存在欧拉角在 \(\beta = \pm 90°\) 时丧失一个自由度的问题；
高效插值：SLERP 提供恒角速度插值；
紧凑表示：仅 4 个参数（vs. 矩阵的 9 个）；
数值稳定：归一化只需除以模长（vs. 矩阵的 Gram-Schmidt）。

例 51.9 (四元数到旋转矩阵的转换)

设 \(q = a + bi + cj + dk\)（\(|q| = 1\)）。对应的旋转矩阵为

\[R_q = \begin{pmatrix} 1-2(c^2+d^2) & 2(bc-ad) & 2(bd+ac) \\ 2(bc+ad) & 1-2(b^2+d^2) & 2(cd-ab) \\ 2(bd-ac) & 2(cd+ab) & 1-2(b^2+c^2) \end{pmatrix}.\]

例：\(q = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + k) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}k\)（绕 \(z\) 轴旋转 \(90°\)）。\(a = d = 1/\sqrt{2}\)，\(b = c = 0\)。

\[R_q = \begin{pmatrix} 1-2 \cdot 1/2 & 0-2 \cdot 1/2 & 0 \\ 0+2 \cdot 1/2 & 1-2 \cdot 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

这确实是绕 \(z\) 轴逆时针旋转 \(90°\) 的矩阵。

例 51.10 (SLERP 的应用)

设初始姿态 \(q_0 = 1\)（无旋转），目标姿态 \(q_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)（绕 \(x\) 轴旋转 \(90°\)）。

\(q_0^{-1} q_1 = q_1\)，\(\Omega = \arccos(\operatorname{Re}(q_1)) = \arccos(1/\sqrt{2}) = \pi/4\)。

在 \(t = 0.5\) 处：

\[\operatorname{SLERP}(q_0, q_1, 0.5) = q_0 \frac{\sin(\pi/8)}{\sin(\pi/4)} + q_1 \frac{\sin(\pi/8)}{\sin(\pi/4)} = \frac{\sin(\pi/8)}{\sin(\pi/4)}(1 + q_1).\]

这对应绕 \(x\) 轴旋转 \(45°\)，正好是 \(0°\) 和 \(90°\) 的中间旋转。

本章总结¶

四元数矩阵理论展示了当标量环从域变为除环时，线性代数的哪些定理需要修改：

概念	域上	四元数上
特征值	唯一定义	左/右之分；右特征值以共轭类出现
行列式	Leibniz 公式	无自然定义；Study/Dieudonné 行列式
谱定理	Hermite \(\Rightarrow\) 实特征值	四元数 Hermite \(\Rightarrow\) 实特征值（类似）
SVD	存在	存在，奇异值为实数
维数	良定义	良定义（Steinitz 定理推广）

习题¶

习题 51.1

验证 \(q = \frac{1}{2}(1+i+j+k)\) 是单位四元数，计算 \(q^{-1}\)，并求 \(R_q\) 对应的旋转轴和角度。

习题 51.2

求 \(A = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}\) 的所有标准右特征值。

习题 51.3

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 2 \end{pmatrix}\)。验证 \(A = A^*\)，求其特征值并将其对角化。

习题 51.4

计算 \(A = \begin{pmatrix} j \end{pmatrix}\)（\(1 \times 1\) 矩阵）的复表示 \(\chi(A)\)，并验证 \(\det_{\mathbb{C}}(\chi(A)) = |j|^2 = 1\)。

习题 51.5

证明 SLERP 满足 \(\operatorname{SLERP}(q_0, q_1, 0) = q_0\)，\(\operatorname{SLERP}(q_0, q_1, 1) = q_1\)。

习题 51.6

给出一个 \(2 \times 2\) 四元数矩阵的例子，使其具有无穷多个左特征值。

第 51 章 四元数矩阵与除环上的线性代数¶