第 55A 章 矩阵群与经典 Lie 群¶
前置：矩阵运算 (Ch02) · 正交性 (Ch07) · 群论基础
本章脉络：从集合到群结构 \(\to\) 一般线性群 \(GL(n, F)\) \(\to\) 特殊线性群 \(SL(n, F)\) \(\to\) 正交群 \(O(n)\) 与特殊正交群 \(SO(n)\) \(\to\) 酉群 \(U(n)\) 与特殊酉群 \(SU(n)\) \(\to\) 辛群 \(Sp(2n)\) \(\to\) 矩阵群作为 Lie 群的几何意义 \(\to\) 中心、连通性与紧致性 \(\to\) 应用：物理学中的对称性（旋转、规范场）、计算机视觉中的运动模型
延伸：矩阵群是研究“保持某种结构不变”的变换集合；它将代数运算与连续流形结合，证明了对称性可以被量化为特定的子群，是理论物理、微分几何以及现代图像处理的通用代数基础
在线性代数中，我们不仅关注单个矩阵，更关注具有某种共同属性的矩阵集合。如果这些集合在乘法下构成群，我们便得到了矩阵群。经典 Lie 群（Classical Lie Groups）是这些群中最重要的部分，它们描述了空间中的旋转、反射和缩放。本章将系统介绍这些群的定义、结构及其在描述自然界对称性中的核心地位。
55A.1 一般线性群与特殊线性群¶
定义 55A.1 (一般线性群 \(GL(n)\))
\(F\) 上所有 \(n\) 阶可逆矩阵构成的群： $\(GL(n, F) = \{ A \in M_n(F) : \det(A) \neq 0 \}\)$
定义 55A.2 (特殊线性群 \(SL(n)\))
行列式为 1 的子群： $\(SL(n, F) = \{ A \in M_n(F) : \det(A) = 1 \}\)$ 几何意义：\(SL(n)\) 包含所有保持体积和定向不变的线性变换。
55A.2 正交群与酉群¶
定义 55A.3 (正交群与特殊正交群)
- 正交群 \(O(n)\)：保持欧氏内积不变的矩阵，\(A^T A = I\)。
- 特殊正交群 \(SO(n)\)：满足 \(A \in O(n)\) 且 \(\det(A) = 1\)。 物理意义：\(SO(n)\) 描述了 \(n\) 维空间中的纯旋转。
定义 55A.4 (酉群 \(U(n)\))
复空间中保持内积不变的矩阵，\(A^* A = I\)。
55A.3 Lie 群的几何特性¶
Lie 群直观
矩阵群不仅是代数对象，也是复平面或实空间中的连续流形。 - 紧致性：\(O(n), SO(n), U(n), SU(n)\) 是紧致的（有界闭集），这保证了其表示论的优良性质。 - 连通性：\(SO(n)\) 是连通的，而 \(O(n)\) 分为两个不连通的分支（旋转与反射）。
练习题¶
1. [基础] 判定所有 \(n\) 阶奇异矩阵构成的集合是否构成群。
参考答案
判定： 1. 群要求包含单位阵 \(I\)。 2. 奇异矩阵的定义是 \(\det(A) = 0\)。 3. 由于 \(\det(I) = 1 \neq 0\)，单位阵不在集合中。 结论：不构成群。此外，奇异矩阵在乘法下不一定封闭（如 \(AB\) 可能非奇异）。
2. [性质] 证明：若 \(A, B \in SL(n)\)，则 \(AB \in SL(n)\)。
参考答案
证明： 1. 根据定义，\(\det(A) = 1\) 且 \(\det(B) = 1\)。 2. 利用行列式乘法公式：\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)。 3. \(\det(AB) = 1 \cdot 1 = 1\)。 结论：满足封闭性。由于单位阵行列式为 1 且逆矩阵行列式也为 1， \(SL(n)\) 确实是一个群。
3. [计算] \(O(2)\) 群中的矩阵 \(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\) 属于 \(SO(2)\) 吗？
参考答案
计算： \(\det = \cos^2\theta - (-\sin^2\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)。 结论：是的。这类矩阵代表了平面的旋转，属于 \(SO(2)\)。
4. [反例] 举出一个属于 \(O(2)\) 但不属于 \(SO(2)\) 的矩阵并描述其几何意义。
参考答案
例子： \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)。 1. 检查正交性：\(A^T A = I\)。属于 \(O(2)\)。 2. 检查行列式：\(\det = -1\)。不属于 \(SO(2)\)。 几何意义：这是一个关于 \(x\) 轴的反射。反射变换改变了空间的定向。
5. [维数] 计算 \(SO(3)\) 作为流形的维数。
参考答案
结论：3 维。 分析： 1. 一个 \(3 \times 3\) 矩阵有 9 个参数。 2. 正交约束 \(A^T A = I\) 提供了 6 个独立等式（对角线 3 个，非对角线对称 3 个）。 3. 自由度 \(= 9 - 6 = 3\)。 这 3 个维度对应于绕 \(x, y, z\) 轴旋转的三个欧拉角。
6. [酉群] 证明：\(U(n)\) 矩阵的特征值的模必为 1。
参考答案
证明： 1. 设 \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\)。 2. 考虑范数：\(\|A\mathbf{v}\|^2 = (A\mathbf{v})^*(A\mathbf{v}) = \mathbf{v}^* A^* A \mathbf{v}\)。 3. 由于 \(A \in U(n)\)， \(A^* A = I\)。故 \(\|A\mathbf{v}\|^2 = \mathbf{v}^* \mathbf{v} = \|\mathbf{v}\|^2\)。 4. 另一方面，\(\|A\mathbf{v}\|^2 = \|\lambda \mathbf{v}\|^2 = |\lambda|^2 \|\mathbf{v}\|^2\)。 5. 因此 \(|\lambda|^2 = 1 \implies |\lambda| = 1\)。
7. [中心] 求 \(SL(n, \mathbb{C})\) 的中心（与其所有元素都交换的矩阵）。
参考答案
结论： 由单位阵的根组成的标量阵集合：\(\{ \omega I : \omega^n = 1 \}\)。 这些矩阵必须是标量阵才能与所有矩阵交换，且必须满足行列式为 1。
8. [应用] 简述 \(SU(2)\) 与 \(SO(3)\) 的关系。
参考答案
双覆盖关系： 存在一个从 \(SU(2)\)（复 2 阶特殊酉群）到 \(SO(3)\)（实 3 阶旋转群）的 2:1 同态。 在物理学中，这解释了为什么电子（自旋 1/2）需要旋转 720 度才能回到初始态，是量子力学中转动理论的数学核心。
9. [计算] \(Sp(2, \mathbb{R})\) 对应于哪个熟悉的群？
参考答案
结论：\(SL(2, \mathbb{R})\)。 在 2 维情形下，保持面积不变的线性变换（行列式为 1）与保持辛形式不变的变换是等价的。
10. [物理应用] 为什么物理定律通常对 \(SO(3)\) 变换具有不变性？
参考答案
理由： 这代表了空间的各向同性（Isotropy）。如果一个系统的物理规律（如引力场）在坐标系旋转下形式不变，那么根据诺特定理（Noether's Theorem），该系统必然满足角动量守恒。矩阵群为描述这种宏观守恒律提供了精确的微观代数语言。
本章小结¶
矩阵群与 Lie 群是线性代数的高级组织形式：
- 对称性的量化：通过定义 \(SO(n), SU(n)\) 等群，我们将直观的物理对称性转化为严密的代数约束方程，确立了不变量研究的标准范式。
- 连续与离散的融合：矩阵群既具有群的代数属性，又具有流形的几何属性，是连接线性变换理论与拓扑、微分方程的枢纽。
- 宇宙的骨架：从原子能级到星系演化，经典 Lie 群提供了描述一切守恒律与变换规律的底色，是现代科学中最具普适性的数学结构之一。