第 60 章 线性保持问题¶
前置：线性变换(Ch5) · 行列式(Ch3) · 特征值(Ch6) · 矩阵运算(Ch2)
本章脉络：线性保持问题的一般框架 → 行列式保持（Frobenius 定理） → 秩保持 → 谱保持 → 正定保持 → 可逆性保持 → 交换性保持 → 现代方向
延伸：线性保持问题从 1897 年 Frobenius 开创至今仍是活跃的研究方向；量子信息中量子信道的完全正性保持、算子代数中的自同构刻画都是线性保持问题的推广
线性保持问题（Linear Preserver Problem, LPP）是矩阵理论中最古老且最持久的研究方向之一。其核心问题极为自然：给定矩阵空间上的某个性质 \(\mathcal{P}\)（如行列式的值、秩、谱、正定性等），刻画所有保持该性质的线性映射 \(\phi: M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})\)。
这一方向的起源可以追溯到 1897 年，当时 Frobenius 证明了保持行列式的线性映射必然具有非常特殊的形式。此后一个多世纪中，线性保持问题发展为矩阵理论的一个主要分支，与算子代数、量子信息、多线性代数等领域产生了深刻的联系。
线性保持问题的哲学意义在于：它揭示了矩阵的各种性质之间的内在刚性——看似不同的性质往往由相同的保持映射所保持，这些映射的形式高度受限。
60.1 线性保持问题的一般框架¶
核心问题：什么是线性保持问题？如何系统地分类和研究各种保持问题？
定义 60.1 (线性保持映射)
设 \(\mathbb{F}\) 为域（通常为 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)），\(M_n(\mathbb{F})\) 为 \(n \times n\) 矩阵空间。设 \(\mathcal{P}\) 是 \(M_n(\mathbb{F})\) 上的某个性质或函数。线性 \(\mathcal{P}\)-保持映射是线性映射 \(\phi: M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})\)，使得
或者更一般地，\(A\) 满足 \(\mathcal{P}\) 当且仅当 \(\phi(A)\) 满足 \(\mathcal{P}\)。
定义 60.2 (标准形式)
最常出现的保持映射形式是以下两类标准形式：
(a) 类型 I（相似变换型）：\(\phi(A) = MAN\)，其中 \(M, N \in M_n(\mathbb{F})\) 是固定的可逆矩阵。
(b) 类型 II（含转置型）：\(\phi(A) = MA^\top N\) 或 \(\phi(A) = MA^* N\)（复数域上取共轭转置）。
大量线性保持问题的结论都是：保持映射必然是类型 I 或类型 II 的某种特殊形式。
定义 60.3 (保持问题的分类)
线性保持问题可按保持的对象分为几大类：
- 标量值函数保持：行列式、迹、谱半径等。
- 集合保持：秩-\(k\) 矩阵集合、可逆矩阵集合、幂等矩阵集合等。
- 子空间保持：对称矩阵、上三角矩阵等子空间。
- 关系保持：交换性、相似性等二元关系。
- 序保持：正定序（Loewner 序）、谱序等。
例 60.1
一些具体的线性保持问题实例：
- 行列式保持：\(\det(\phi(A)) = \det(A)\)，\(\forall A\)。
- 秩保持：\(\mathrm{rank}(\phi(A)) = \mathrm{rank}(A)\)，\(\forall A\)。
- 可逆性保持：\(\phi(A)\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 可逆。
- 幂等保持：\(A^2 = A \Rightarrow \phi(A)^2 = \phi(A)\)。
- 正定保持：\(A \succ 0 \Rightarrow \phi(A) \succ 0\)。
60.2 Frobenius 行列式保持定理¶
核心问题：什么样的线性映射保持行列式？Frobenius 在 1897 年得到了什么结果？
定理 60.1 (Frobenius 行列式保持定理, 1897)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\) 是线性映射，满足
则存在可逆矩阵 \(M, N \in M_n(\mathbb{C})\)，\(\det(MN) = 1\)，使得
证明
这是一个深刻的定理，完整证明较长。我们给出主要步骤。
第一步：\(\phi\) 保持秩-1 矩阵。 设 \(A\) 是秩-1 矩阵。对任意 \(B\)，考虑多项式
利用行列式的多线性性和 \(\det(\phi(B + tA)) = \det(B + tA)\)，可以证明 \(\phi(A)\) 也是秩-1 矩阵。
具体地，\(\mathrm{rank}(A) = 1\) 意味着 \(\det(A + tB)\) 作为 \(t\) 的多项式次数至多为 1（对适当选择的 \(B\)）。由 \(\det(\phi(A + tB)) = \det(A + tB)\)，\(\phi(A)\) 也满足相同的次数约束，故 \(\mathrm{rank}(\phi(A)) = 1\)。
第二步：秩-1 保持映射的刻画。 由 Marcus-Moyls 定理（定理 60.3），秩-1 保持的线性映射必然具有以下形式之一：
或
因此 \(\phi(A) = MAN^\top\) 或 \(\phi(A) = MA^\top N^\top\)。
第三步：确定 \(\det(MN^\top) = 1\)。 由 \(\det(\phi(I)) = \det(I) = 1\)，得 \(\det(MN^\top) = 1\)（第一种情形）或 \(\det(M)\det(N) = 1\)（第二种情形）。
将 \(N^\top\) 重新记为 \(N\)（使得 \(\det(MN) = 1\)），即得 Frobenius 定理。\(\blacksquare\)
定理 60.2 (行列式乘法保持)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\) 线性，满足 \(\det(\phi(A)) = c \cdot \det(A)\)，\(\forall A\)，其中 \(c \neq 0\) 是常数。则
其中 \(\det(MN) = c\)。
例 60.2
转置映射保持行列式。 \(\phi(A) = A^\top\) 满足 \(\det(A^\top) = \det(A)\)。这对应 Frobenius 定理中的第二种形式，取 \(M = I\)，\(N = I\)。
相似变换保持行列式。 \(\phi(A) = PAP^{-1}\) 满足 \(\det(PAP^{-1}) = \det(A)\)。这对应第一种形式，\(M = P\)，\(N = P^{-1}\)，\(\det(MN) = 1\)。
非标准形式不可能。 映射 \(\phi(A) = \mathrm{tr}(A) \cdot I\) 是线性的，但 \(\det(\mathrm{tr}(A) \cdot I) = (\mathrm{tr}(A))^n\)，这一般不等于 \(\det(A)\)（\(n \geq 2\) 时）。
60.3 秩保持¶
核心问题：保持矩阵秩的线性映射有怎样的结构？秩-1 保持是否足以确定映射的形式？
定理 60.3 (Marcus-Moyls 定理, 1959)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})\)（\(\mathbb{F}\) 为无限域，\(n \geq 2\)）是线性映射，满足
则存在可逆矩阵 \(M, N\) 使得
证明
核心思路。 秩-1 矩阵恰好是形如 \(uv^\top\) 的矩阵（\(u \neq 0\)，\(v \neq 0\)）。
第一步：\(\phi\) 保持秩-1 矩阵空间的结构。 固定非零 \(u\)，考虑 \(\{uv^\top : v \in \mathbb{F}^n\}\)，这是一个 \(n\) 维子空间，其非零元素都是秩-1。\(\phi\) 将其映到一个子空间，非零元素仍为秩-1。
可以证明：一个子空间的非零元素全是秩-1 矩阵，当且仅当该子空间形如 \(\{u'v^\top : v \in \mathbb{F}^n\}\)（固定列空间）或 \(\{uv'^\top : u \in \mathbb{F}^n\}\)（固定行空间）中的某种。
第二步：确定映射对秩-1 矩阵的作用形式。 利用第一步的结构，可以证明 \(\phi(e_i e_j^\top) = M e_{\sigma(i)} e_{\tau(j)}^\top N'\)（某种行列置换），进而组合论证得到全局形式。
第三步：线性扩展。 每个矩阵都是秩-1 矩阵的线性组合，因此在秩-1 矩阵上确定的形式唯一地扩展到全体矩阵。\(\blacksquare\)
定理 60.4 (秩保持的完整刻画)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})\) 线性，\(n \geq 2\)。以下条件等价：
(a) \(\phi\) 保持秩：\(\mathrm{rank}(\phi(A)) = \mathrm{rank}(A)\)，\(\forall A\)。
(b) \(\phi\) 保持秩-1：\(\mathrm{rank}(A) = 1 \implies \mathrm{rank}(\phi(A)) = 1\)，且 \(\phi\) 是可逆的。
(c) 存在可逆矩阵 \(M, N\) 使得 \(\phi(A) = MAN\) 或 \(\phi(A) = MA^\top N\)。
证明
\((c) \Rightarrow (a)\)：\(\mathrm{rank}(MAN) = \mathrm{rank}(A)\)（因 \(M, N\) 可逆）。\(\mathrm{rank}(MA^\top N) = \mathrm{rank}(A^\top) = \mathrm{rank}(A)\)。
\((a) \Rightarrow (b)\)：秩保持显然蕴含秩-1 保持。\(\phi\) 的可逆性由 \(\phi\) 保持秩的事实推出（若 \(\phi(A) = 0\)，则 \(\mathrm{rank}(\phi(A)) = 0 = \mathrm{rank}(A)\)，故 \(A = 0\)）。
\((b) \Rightarrow (c)\)：由 Marcus-Moyls 定理（定理 60.3）。\(\blacksquare\)
例 60.3
秩-\(k\) 保持（\(k > 1\)）不蕴含标准形式。 映射 \(\phi(A) = A + c\,\mathrm{tr}(A)\, I\)（\(c\) 为适当选择的常数）保持秩-\(n\) 矩阵（可逆矩阵）但不保持秩-1。这说明秩-1 保持的特殊地位。
60.4 谱保持¶
核心问题：保持矩阵谱（特征值集合）的线性映射是什么形式？
定义 60.4 (谱保持映射)
线性映射 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\) 称为谱保持的，如果
其中 \(\sigma(A)\) 是 \(A\) 的特征值多重集。
定理 60.5 (谱保持映射的刻画)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\) 是单射线性映射，满足 \(\sigma(\phi(A)) = \sigma(A)\)，\(\forall A\)。则存在可逆矩阵 \(M\) 使得
证明
证明策略。 分三步。
第一步：\(\phi\) 保持迹和行列式。 \(\mathrm{tr}(A) = \sum \lambda_i = \sum \sigma_i(\phi(A)) = \mathrm{tr}(\phi(A))\)。类似地 \(\det(A) = \prod \lambda_i = \det(\phi(A))\)。更一般地，\(\phi\) 保持特征多项式的所有系数。
第二步：\(\phi\) 保持幂零矩阵。 \(A\) 幂零当且仅当 \(\sigma(A) = \{0\}\)。因此 \(\phi\) 保持幂零矩阵集合。
第三步：利用幂零保持推出标准形式。 这需要精细的结构分析。幂零矩阵的保持映射已被完全刻画（需要用到 Jordan 结构理论），最终得到 \(\phi\) 必须是 \(A \mapsto MAM^{-1}\) 或 \(A \mapsto MA^\top M^{-1}\)。
关键的技术引理是：如果 \(\phi\) 保持幂零性且保持迹，那么对任意两个矩阵 \(A, B\)，\(\mathrm{tr}(\phi(A)\phi(B)) = \mathrm{tr}(AB)\) 或 \(\mathrm{tr}(\phi(A)\phi(B)) = \mathrm{tr}(AB^\top)\)。由此通过 Killing 形式的非退化性推出映射的全局形式。\(\blacksquare\)
定理 60.6 (谱半径保持)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\) 是满射线性映射，满足 \(\rho(\phi(A)) = \rho(A)\)（\(\rho\) 为谱半径），\(\forall A\)。则
其中 \(\theta \in \mathbb{R}\)，\(M\) 可逆。
例 60.4
转置保持谱但不是相似变换。 映射 \(\phi(A) = A^\top\) 满足 \(\sigma(A^\top) = \sigma(A)\)（因为 \(A\) 和 \(A^\top\) 有相同的特征多项式）。但 \(A^\top\) 一般不相似于 \(A\)（在实矩阵中可以有不同的 Jordan 结构），不过特征值作为多重集确实相同。
这说明谱保持映射允许"转置"这种非相似变换型。
60.5 正定保持与正映射¶
核心问题：什么样的线性映射将正半定矩阵映射到正半定矩阵？正映射与完全正映射有什么区别？
定义 60.5 (正映射)
线性映射 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_m(\mathbb{C})\) 称为正映射（positive map），如果
例 60.5
以下都是正映射：
(a) \(\phi(A) = MAM^*\)（\(M\) 为任意矩阵）。验证：\(A \succeq 0 \Rightarrow x^* MAM^* x = (M^*x)^* A(M^*x) \geq 0\)。
(b) \(\phi(A) = A^\top\)（转置映射）。\(A \succeq 0 \Rightarrow A^\top \succeq 0\)。
(c) \(\phi(A) = \mathrm{tr}(A) \cdot I_m\)。\(A \succeq 0 \Rightarrow \mathrm{tr}(A) \geq 0 \Rightarrow \mathrm{tr}(A) \cdot I_m \succeq 0\)。
定义 60.6 (完全正映射)
线性映射 \(\phi: M_n \to M_m\) 称为完全正的（completely positive, CP），如果对所有 \(k \geq 1\)，扩展映射
是正映射。等价地，\((\phi \otimes \mathrm{id}_k)(X) \succeq 0\)，只要 \(X \in M_{nk}\) 是正半定的（将 \(M_{nk}\) 视为 \(M_n \otimes M_k\)）。
定理 60.7 (转置不是完全正映射)
转置映射 \(\phi(A) = A^\top\) 是正映射但不是完全正映射。
证明
考虑 \(n = 2\)，\(k = 2\)。构造 \(M_4\) 中的正半定矩阵
实际上取 \(X = |\psi\rangle\langle\psi|\)，其中 \(|\psi\rangle = (1, 0, 0, 1)^\top / \sqrt{2}\)（Bell 态的变体），则 \(X \succeq 0\)。
对 \(X\) 的每个 \(2 \times 2\) 块施加转置：
这个矩阵的特征值为 \(\{1, 1, 1, -1\}\)，存在负特征值，故不是正半定的。
因此 \(\phi \otimes \mathrm{id}_2\) 不保持正半定性，\(\phi\) 不是完全正映射。\(\blacksquare\)
定理 60.8 (Choi 定理, 1975)
线性映射 \(\phi: M_n \to M_m\) 是完全正的，当且仅当存在矩阵 \(V_1, \ldots, V_r \in M_{m \times n}\) 使得
这称为 Kraus 表示（或算子和表示）。
证明
"\(\Leftarrow\)"：若 \(\phi(A) = \sum V_i A V_i^*\) 且 \(A \succeq 0\)，则每个 \(V_i A V_i^* \succeq 0\)，故 \(\phi(A) \succeq 0\)。对 \(\phi \otimes \mathrm{id}_k\) 同理验证，因此 \(\phi\) 完全正。
"\(\Rightarrow\)"（Choi 矩阵方法）：定义 Choi 矩阵 \(C_\phi \in M_{mn}\)：
注意到 \(\sum_{i,j} E_{ij} \otimes E_{ij}\) 是 \(M_{n^2}\) 中的正半定矩阵（它是 \(|\Omega\rangle\langle\Omega|\) 的非归一化版本，\(|\Omega\rangle = \sum_i e_i \otimes e_i\)）。
如果 \(\phi\) 完全正，则 \(C_\phi \succeq 0\)。对 \(C_\phi\) 做谱分解 \(C_\phi = \sum_i \lambda_i u_i u_i^*\)，\(\lambda_i \geq 0\)。将每个 \(u_i \in \mathbb{C}^{mn}\) 重塑为 \(m \times n\) 矩阵 \(V_i\)（乘以 \(\sqrt{\lambda_i}\)），可以验证 \(\phi(A) = \sum V_i A V_i^*\)。\(\blacksquare\)
定理 60.9 (正映射的结构——Storevig 分解)
每个正映射 \(\phi: M_n \to M_n\) 可以分解为
其中 \(\phi_1, \phi_2\) 是完全正映射，\(\tau\) 是转置映射。但这种分解不总是可行的（仅在 \(n = 2\) 时成立）。对一般 \(n\)，正映射的完整结构描述是开放问题。
60.6 可逆性保持¶
核心问题：什么样的线性映射保持矩阵的可逆性？
定义 60.7 (可逆性保持映射)
线性映射 \(\phi: M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})\) 称为可逆性保持的，如果
定理 60.10 (Dieudonne 定理, 1949)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})\)（\(\mathbb{F}\) 为无限域）是线性映射，保持可逆性。如果 \(\phi\) 是满射的，则存在可逆矩阵 \(M, N\) 使得
证明
核心思路。 \(\phi\) 保持可逆性等价于 \(\phi\) 保持奇异性的补集。更有用的是等价条件：对所有 \(A, B\)，如果 \(\det(A + tB) \not\equiv 0\)（作为 \(t\) 的多项式），则 \(\det(\phi(A) + t\phi(B)) \not\equiv 0\)。
第一步。 证明 \(\phi\) 保持秩-\((n-1)\) 矩阵的零空间维度不增（即 \(\phi\) 不将秩 \(n-1\) 矩阵映到更低秩的矩阵）。
第二步。 利用第一步，证明 \(\phi\) 是可逆的（\(\phi\) 的核是零），因此 \(\phi\) 是双射。
第三步。 双射且保持可逆性的线性映射也保持奇异性。由此可证明 \(\phi\) 保持秩-1（通过分析 \(\det(A + tB) = 0\) 的根的重数），然后由 Marcus-Moyls 定理得到标准形式。\(\blacksquare\)
例 60.6
单位映射保持可逆性的推广。 \(\phi(A) = A + f(A) \cdot I\)，其中 \(f: M_n \to \mathbb{F}\) 是线性泛函。如果 \(f\) 足够"小"，\(\phi\) 可能保持可逆性。
例如 \(f(A) = c\,\mathrm{tr}(A)\)。\(\phi(A) = A + c\,\mathrm{tr}(A)\,I\)。其行列式
一般不等于 \(\det(A)\)。当 \(c\) 足够小时，\(\phi\) 保持可逆性，但不具有标准形式。
然而 Dieudonne 定理要求 \(\phi\) 是满射的。\(\phi(A) = A + c\,\mathrm{tr}(A)I\) 是满射的（对 \(n \geq 2\)，\(1 + cn \neq 0\) 时），因此必须具有标准形式——这意味着当 \(c \neq 0\) 时，它不保持可逆性。
60.7 交换性保持¶
核心问题：如果线性映射保持矩阵的交换性（\(AB = BA\)），它必须是什么形式？
定义 60.8 (交换性保持映射)
线性映射 \(\phi: M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})\) 称为交换性保持的，如果
定理 60.11 (Watkins 定理, 1976)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\)（\(n \geq 3\)）是满射线性映射，保持交换性。则 \(\phi\) 具有以下形式之一：
(a) \(\phi(A) = \alpha MAM^{-1} + f(A) I\)；
(b) \(\phi(A) = \alpha MA^\top M^{-1} + f(A) I\)；
其中 \(\alpha \in \mathbb{C}^*\)（非零标量），\(M\) 可逆，\(f: M_n \to \mathbb{C}\) 是线性泛函。
证明
证明要点。
第一步：\(\phi\) 将标量矩阵映到标量矩阵。 标量矩阵 \(cI\) 与所有矩阵交换，因此 \(\phi(cI)\) 也与所有 \(\phi(A)\) 交换。由 \(\phi\) 的满射性，\(\phi(cI)\) 与所有矩阵交换，故 \(\phi(cI) = g(c)I\)（\(g\) 是某个标量函数）。
第二步：模去标量部分。 定义 \(\psi(A) = \phi(A) - f(A)I\)，其中 \(f(A) = \frac{1}{n}\mathrm{tr}(\phi(A))\)。则 \(\psi\) 保持交换性（模标量矩阵），且 \(\mathrm{tr}(\psi(A)) = 0\)。
第三步：分析 \(\psi\) 在迹零矩阵上的作用。 利用迹零矩阵空间 \(\mathfrak{sl}_n\) 的 Lie 代数结构，\(\psi\) 保持 Lie 括号 \([A,B] = AB - BA = 0\) 的条件。这与 \(\mathfrak{sl}_n\) 的自同构密切相关。
第四步：\(\mathfrak{sl}_n\) 的自同构。 对 \(n \geq 3\)，简单 Lie 代数 \(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})\) 的自同构只有内自同构 \(A \mapsto MAM^{-1}\) 和图自同构 \(A \mapsto -A^\top\)。因此 \(\psi\) 的限制（到 \(\mathfrak{sl}_n\)）必为 \(A \mapsto \alpha MAM^{-1}\) 或 \(A \mapsto \alpha MA^\top M^{-1}\)。\(\blacksquare\)
例 60.7
\(n = 2\) 的特殊情况。 当 \(n = 2\) 时，\(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\) 是 3 维 Lie 代数，其自同构群更大（\(SO(3, \mathbb{C})\)），因此交换性保持映射有更多形式。Watkins 定理需要 \(n \geq 3\) 的条件。
定理 60.12 (强交换性保持)
如果 \(\phi: M_n \to M_n\) 是线性双射，满足更强的条件
则 \(\phi(A) = \alpha MAM^{-1} + f(A)I\) 或 \(\phi(A) = \alpha MA^\top M^{-1} + f(A)I\)（\(n \geq 3\)）。
60.8 现代方向¶
核心问题：线性保持问题有哪些现代推广和开放问题？
60.8.1 数值域保持¶
定义 60.9 (数值域)
矩阵 \(A \in M_n(\mathbb{C})\) 的数值域（numerical range）为
Toeplitz-Hausdorff 定理保证 \(W(A)\) 是 \(\mathbb{C}\) 的紧凸子集。
定理 60.13 (数值域保持映射)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\) 是线性映射，满足 \(W(\phi(A)) = W(A)\)，\(\forall A\)。则存在酉矩阵 \(U\) 使得
60.8.2 算子代数上的保持问题¶
定义 60.10 (Jordan 同态)
线性映射 \(\phi: \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)（\(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 为代数）称为 Jordan 同态，如果
等价条件：\(\phi(AB + BA) = \phi(A)\phi(B) + \phi(B)\phi(A)\)。
定理 60.14 (Jordan 同态的刻画)
\(M_n(\mathbb{C})\) 上的满射 Jordan 同态 \(\phi\) 是以下形式之一：
(a) 同态：\(\phi(AB) = \phi(A)\phi(B)\)，即 \(\phi(A) = MAM^{-1}\)；
(b) 反同态：\(\phi(AB) = \phi(B)\phi(A)\)，即 \(\phi(A) = MA^\top M^{-1}\)。
60.8.3 非线性保持问题¶
定义 60.11 (非线性保持问题)
现代研究的一个方向是将"线性"条件放松为更弱的条件：
- 加法保持：\(\phi(A + B) = \phi(A) + \phi(B)\)（不要求齐次性）。
- 乘法保持：\(\phi(AB) = \phi(A)\phi(B)\)。
- 谱加法保持：\(\sigma(A + B) = \sigma(\phi(A) + \phi(B))\)。
在这些更弱的条件下，保持映射的刻画往往更困难但也更有趣。
定理 60.15 (Kaplansky 猜想的解决)
设 \(\phi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})\) 是满射映射（不一定线性），满足
则 \(\phi(A) = MAM^{-1} + C\) 或 \(\phi(A) = MA^\top M^{-1} + C\)（\(M\) 可逆，\(C\) 为常矩阵）。
60.8.4 量子信息中的保持问题¶
例 60.8
在量子信息理论中，量子信道是密度矩阵空间上的完全正迹保持（CPTP）映射。Choi 定理（定理 60.8）为量子信道提供了 Kraus 表示。判断一个映射是否为合法的量子信道，本质上是一个线性保持问题：保持正半定性（量子态的合法性）和迹（概率归一化）。
纠缠见证（entanglement witness）利用了正映射与完全正映射的差异：若 \(\phi\) 是正映射但非完全正映射，则 \((\phi \otimes \mathrm{id})(\rho) \not\succeq 0\) 可以检测纠缠态 \(\rho\)。
本章要点总结：
- 线性保持问题研究保持矩阵某种性质的线性映射的完整刻画。
- Frobenius 定理（1897）：行列式保持映射的形式为 \(A \mapsto MAN\) 或 \(A \mapsto MA^\top N\)。
- Marcus-Moyls 定理：秩-1 保持是许多保持问题的核心中间步骤。
- 谱保持映射必为相似变换或转置+相似变换。
- 正映射与完全正映射之间的鸿沟（转置是正映射但非完全正映射）有深刻的量子信息含义。
- Choi 定理给出完全正映射的 Kraus 算子和表示。
- 交换性保持、可逆性保持等问题都指向相同的标准形式，体现了矩阵性质的内在刚性。
- 现代方向包括非线性保持、算子代数保持和量子信息应用。